隐函数及由参数方程所确定函数的导数

2 (t )
(t )
(t ) (t ) (t ) (t ) 3 (t )
注意 : 已知
?
对谁求导?
例6
求曲线
{
x t 1 3 在t =1处的切线方程 yt t
2
解： 曲线上对应t =1的点（x, y)为（0,0）, 曲线t =1在处的切线斜率为
例8 计算由参数方程
x a(t sin t ) 所确定的函数 y a(1 cos t )
d2y y y ( x)的二阶导数 2 dx
解 由于 dy sin t t (t 2n , n Z ) cot dx 1 cos t 2 于是
d2y 1 1 1 2 2 dx a (1 cos t ) a (1 cos t ) 2 t 2sin 2
两边取对数
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2
对 x 求导
u ( ln u ) u

y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4


1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
二阶可导, 且 可求二阶导数 .
x (t ) d y (t ) ,可得 dx (t )
tx d 2 y d ( d y ) d ( d y ) dd 2 xt dx dx d t dx dd dx (t ) (t ) (t ) (t )

1
再设函数 x ( t ), y ( t )都可导, 且 ( t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
若上述参数方程中 则由它确定的函数 利用新的参数方程
两边对 x 求导
1 y cos x ln x sin x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x 对数求导法：可用来求幂指函数和多个因子连乘积函
数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导
说明:
1) 对幂指函数 y u v , 其中u u ( x), v v( x),可用对数 求导法求导 :
x 3 1 所以 y ( x 1)(3 x 4)( x 1) 2 x 1 2(3 x 4) 2( x 1)
2
二、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x x 2 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
x (t ) 在方程 中, y (t )
设函数x (t )具有单调连续的反函数t 1 ( x ), y [ ( x )]
1.
ex y xey
x0 y0
例3
解：
dy 设y arctan( x 2 y ), 求 dx
两边对x求导得
1 y (1 2 y ) 2 1 ( x 2 y)
解出y , 得
1 y ( x 2 y)2 1
例4. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
例5
设y ( x 2 1)( 3 x 4)( x 1) , 求y
解： 将函数取自然对数得
1 1 1 2 ln y ln( x 1) ln( 3 x 4) ln( x 1) 2 2 2
两边对x求导得
1 x 3 1 y 2 y x 1 2( 3 x 4) 2( x 1)
隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 y 的方程)
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2

曲线在相应点的切线的斜率为
dy (b sin t ) ' b cos t b | | | dx t 4 (a cos t ) ' t 4 a sin t t 4 a
,
于是切线的方程为
2 b 2 y b x a 2 a 2
即
bx ay 2ab 0
4
因x=0时y=0, 故
例2 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
dy e x y 解得 , y dx x e
dy dx
x0
由原方程知 x 0, y 0,
dy k dx
t 1
1 3t 2 2t
t 1
2 1 2
于是所求的切线方程为 y =－x
x a cos t 在 t 相应点的切线方程. 例7 求曲线 4 y b sin t
解 当
t 时, 4
2 2 b x a cos a y 2 4 2
(t 2n , n Z )
1、 设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函 4 dy 数，则 =________. 3 dx (1,1 ) 2、 曲线 x 3 y 3 xy 7 在点（1，2）处的切线方程 是___________. x 11 y 23 0 x y 0 x t cos t 2 2 3、 曲线 在 t 处的法线方程________. 2 y t sin t x e t cos t dy dy 4、 已知 ,则 =______； =______. t dx dx t y e sin t 3 e x y y sin t cos t dy , 2 3 x e x y 5、 设 xy e x y ,则 =________. cos t sin t dx
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . ( x 1)( x 2) 如, y ( x 3)( x 4)
3.4 隐函数及由参数方程所确定的 函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所 确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如,
Hale Waihona Puke Baidu
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?