空间直线度误差评定的新算法

k
k
∑ ∑ m ( xi - x0 ) ( yi - y0 ) +n ( xi - x0 ) ( zi - z0 )
l = i=1
k
i =1 k
(7)
∑ ∑ ( yi - y0 ) 2 +
( zi - z0 ) 2
i =1
i =1
k
k
∑ ∑ l ( xi - x0 ) ( yi - y0 ) +n ( yi - y0 ) ( zi - z0 )
i =1
i =1
∑K
f=
i =1
[m ( xi -
x0 )
-
l ( yi -
y0 ) ]2
+ [ n ( xi
- x0 ) - l ( zi l2 + m 2 + n2
z0 ) ]2
+ [ n ( yi
-
y0 )
- m ( zi -
z0 ) ]2
(4)
令其 1阶偏导数为零时 ,可得
5f 5l
=
0,
空间直线度误差是最复杂的形位误差之一 ,其 评定算法一直处于探索之中 [ 1～4 ] 。空间直线度误差 的评定算法主要有两类 :一类是近似算法如两端点 连线算法 、传统的最小二乘算法 ( least squares meth2 od, LSM ) [ 1, 2 ] ,其中 ,两端点连线算法不稳定 ,随着空 间直线度误差测点的分布不同 ,其评定结果有时较 精确 ,有时偏差很大 ; LSM 算法具有一定的精度 、且 鲁棒性好 ,是目前较实用的方法 。在数字化的坐标 测量机 CMM 上的误差评定系统中 ,几乎都是采用
A New A lgor ithm for Eva lua tion of Spa tia l Stra ightness Error
Hu Zhongxun, W ang Fulin, Zhou Haip ing
(College of M echanical and Automobile Engineering, Hunan University, Changsha 410082)
摘 要 :针对在坐标测量机 CMM 上测得的空间直线度误差测点集 (测点序列 ) ,为提高空间直线度 误差的评定精度 ,运用误差理论和最小二乘原理 ,提出了基于测点集中心的最小二乘算法 (LSABC 算法 ) ,推导出了 LSABC算法的数学模型 。并根据其基于测点集中心的特点 ,在按 LSABC算法对 全部测点进行高低排序后 ,以其中两最高点的中点为基点 ,设计出了 LSABC改进算法 。最后 ,利用 UG / GR IP语言对以上新算法编制了计算机程序 ,以进行数字实验验证 。数字实验结果表明 :新算 法比传统的最小二乘算法和其他多种算法具有更高的正确度 。 关 键 词 :空间直线度误差 ;测点集 ; LSABC算法 ; LSABC改进算法 中图分类号 : TH161. 12 文献标识码 : A 文章编号 : 100328728 (2008) 0720879204
依据形位误差评定理论 ,空间直线度误差的包 容区域是包容所有误差测点的 、以其拟合直线为轴 线的一个理想圆柱面 ,空间直线度误差值等于该理 想包容圆柱面的直径 。
因此 ,按基于测点集中心的最小二乘算法评定 的空间直线度误差 fLSMC就是以最小二乘拟合直线 L E0为轴线的一个理想圆柱面的直径 , 也就是 di 最 大值的 2倍 ,即
m = i=1
k
i =1 k
(8)
∑ ∑ ( xi - x0 ) 2 +
( zi - z0 ) 2
i =1
i =1
k
k
∑ ∑ l ( xi - x0 ) ( zi - z0 ) +m ( yi - y0 ) ( zi - z0 )
n = i=1
k
i =1 k
(9)
∑ ∑ ( xi - x0 ) 2 +
880
机械科学与技术
第 27卷
算实例所得的结果相对于最小区域法应得的最小值 若在坐标测量机上测得某零件的空间直线度误
有所偏大 。总之 ,以上所有算法 ,都只是从求解非线 性方程组 、优化理论 、坐标变换原理等纯粹的数学角 度提出的 ,没有有效地利用空间直线度误差测点集 的有关信息 ,求解过程繁杂 ,且正确度较低 。
5f 5m
=
0,
5f 5n
=0
(5)
根据空间解析几何理论 ,可以对空间最小二乘
拟合直线 L E0的方向数 l, m , n进行归一化处理 ,即
l2 + m 2 + n2 = 1
(6)
K
∑ ∑ 若记 :
= , xi - x0 = X , yi - y0 = Y, zi -
i =1
z0 = Z;则式 ( 7) ～式 ( 9) 可以变为
Abstract: In order to imp rove the evaluation p recision of the spatial straightness error, using the measured points set of the spatial straightness error by a coordinate measurement machine (CMM ) , the Least Squares A lgorithm Based on the Center of the measured points set (LSABC) is p roposed. The mathematical model of the LSABC algorithm is de2 rived. Since the datum mark of the LSABC algorithm is the center of the measured points set, we first distinguish the height taxis of all measured points with the LSABC algorithm , then an imp roved LSABC algorithm is designed based on the m id2point of the two highest points in the measured points set. Finally, the above new algorithm s are p ro2 grammed with UG/ GR IP language and verified by numerical experiments. The experimental results show that the a2 bove new algorithm s are more accurate than the traditional least squares method (LSM ) and other algorithm s. Key words: spatial straightness error; measured points set; LSABC algorithm; imp roved LSABC algorithm
∑ ∑ ∑ ∑ l ( Y2 + Z2 ) = m X Y + n X Z ( 10)
∑ ∑ ∑ ∑ m ( X2 + Z2 ) = l X Y + n YZ ( 11)
联立式 (5)与式 (6)求解 ,即可求得
∑ ∑ ∑ ∑ n ( X2 + Y2 ) = l X Z + m YZ ( 12)
( yi - y0 ) 2
i =1
i =1
若令 :
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Tl = ( Y2 + Z2 ) ( YZ ) + ( X Z ) ( X Y) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Tm = ( X2 + Z2 ) ( X Z ) + ( YZ ) ( X Y) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Tn = ( X2 + Y2 ) ( X Y) + ( X Z ) ( YZ )
本文拟根据误差理论 、最小二乘原理和空间解 析几何理论 ,充分利用空间直线度误差测点集的有 关信息 ,以测点集的算术平均中心点等为基点 ,提出 正确度和处理效率较高的新算法 ,即 LSABC算法和 LSABC改进算法 。
1 LSABC算法的数学模型与 LSABC改进算法的设计
差的测点序列为 : P1 ( x1 , y1 , z1 ) , P2 ( x2 , y2 , z2 ) , …, Pi
值最接近的 。则空间直线度误差 K个测点序列 (测
点集 )的算术平均中心点是与其理想直线最接近
的 ;按最小二乘原理 , 空间直线度误差 K个测点集
的最小二乘拟合直线可作为它的一种理想直线 。因
此 ,以测点集算术平均中心点为基点的最小二乘拟
合直线 L E0是一种更为理想的理想直线 。
若设空间最小二乘拟合直线 L E0 的方向向量
1
T=
1
T
2 l
+
1wenku.baidu.com
T
2 m
+
1
T
2 n
则可求得
l = T / Tl , m = T / Tm , n = T / Tn ( 13) 根据式 (1)和式 (13)可以完全确定最小二乘拟
第 7期
胡仲勋等 :空间直线度误差评定的新算法
881
合直线 L E0的方程式 ( 2) ,从而根据式 ( 3)和各测点 Pi ( xi , yi , zi ) 的 坐 标 值 , 求 出 各 测 点 到 L E0 的 距 离 di。
2008年 7月 第 27卷 第 7期
机械科学与技术 M echanical Science and Technology for Aerospace Engineering
July 2008 Vol. 27 No. 7
空间直线度误差评定的新算法
胡仲勋
胡仲勋 ,王伏林 ,周海萍
(湖南大学 机械与汽车工程学院 ,长沙 410082)
di =
[m ( xi - x0 ) - l ( yi - y0 ) ]2 + [ n ( xi - x0 ) - l ( zi - z0 ) ]2 + [ n ( yi - y0 ) - m ( zi - z0 ) ]2 l2 + m 2 + n2
(3)
K
K
∑ ∑ 根据最小二乘原理 ,应使 d2i = m in,若设 f = d2i ,即是求解式 ( 4) 的最小值 。
收稿日期 : 2007 04 10 基金项目 :中国博士后科学基金项目 (20060400872)资助 作者简介 :胡仲勋 (1964 - ) ,副教授 ,博士研究生 ,研究方向为几何
误差检测和评定 , 机械制造工艺和模具制造工艺 , hdhu2 hzx0505@163. com
LSM 算法 。另一类是符合“最小条件 ”的 、基于最小 区域的算法 。如 Xiangyan Zhu等 [ 3 ]基于最小区域准 则提出 了 迭 代 再 加 权 最 小 二 乘 算 法 ( iterative re2 weighted least squares, IRLS) ,可用于空间直线度等 多种形状误差的评定 ; L iM in Zhu等 [ 4 ]基于最小区域 准则提出了一种评定空间直线度误差的新算法 。但 文献 [ 3, 4 ]的数学模型是在假定以 Z 坐标轴为测量 基准 ,并定义参考直线的方向向量为 (Ψx ,Ψy , 1 ) , 即 与 Z 坐标轴平行的条件下而建立的 ,有失一般性 ; 因此 ,其评定结果并不是符合最小区域的最小值 。 廖平等 [ 5 ]以最小区域法为出发点 ,采用遗传算法求 解空间直线度误差 ,试图得到全局最优解 。李淑娟 等 [ 6 ]介绍了一种基于坐标变换原理的最小区域法 评定空间直线度误差的算法 。但文献 [ 5, 6 ]中的计
( xi , yi , zi ) , …, Pk ( xk , yk , zk ) ,则该 K个测点序列的算
术平均中心点 P0 ( x0 , y0 , z0 )的坐标为 (见图 1)
K
K
K
∑ ∑ ∑ x0
=
1 K
i =1
xi ,
y0
=
1 K
i =1
yi ,
z0
1 = K i =1 zi
(1)
根据误差理论 ,测量列的算术平均值是与其真
为 ( l, m , n ) , 并使该最小二乘拟合直线 L E0 通过
P0 ( x0 , y0 , z0 )点 ;因此 ,以 P0 ( x0 , y0 , z0 )为基点的最 小二乘拟合直线 L E0的方程为
图 1 空间直线度误差测点坐标系
x - x0
y=
y0
z=
z0
(2)
l
m
n
空间直线度误差测点序列中任一点 Pi ( xi , yi , zi )到 L E0的距离为 di