数列不等式的证明方法

求证：当
时:
数列不等式证明的几种方法
数列和不等式都是高中数学重要内容，这两个重点知识的联袂、交汇融合，更能 考查学生对知识的综合理解与运用的能力。

这类交汇题充分体现了 “以能力立意” 的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则。

下面就介绍 数列不等式证明的几种方法，供复习参考。

、巧妙构造，利用数列的单调性
例1.对任意自然数n ，求证：（3X1垢）•…（"右八乔
2n.十 2
■+ 2
加4
- 1 十2
所以耳“ f ，即&〕为单调递增数列
--^>1
所以
' ，即
点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题， 均可
构造数列，通过数列的单调性解决。

二、放缩自然，顺理成章
例2.已知函数f （对=护7”，数列区）為九）的首项衍°】，以后每项按如下方 式取定：曲线厂
f ⑻在点血（仏小处的切线与经过（0，0）和（轧F （xJ ）两点 的直线平行。

证明: “W 』T ）需朋詈•
2□十2
l ）（Zn +
弓）
构造数列
（1）為J+% =了召『+2盘曲；
(2)
证明：（1）因为3） = 3宀血，所以曲线沪聴）在（3』（如））处的切线斜率为召J +刼讪。

又因为过点（0, 0）和’…7 ■'两点的斜率为'；'_ ,所以结论成立。

（2）因为函数唸）=，斗耳当Q耐单调递増则有衬斗弧=轧J + %】三
% J斗刼站广（％+1沱+ （和1）
?
鱼g丄
所以召'厶+1，即耳二，因此
靭衍^-1 2
因此,
2
所以 点评：本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题，在证 明过程中多次运用放缩，放缩自然，推理逻辑严密，顺理成章，巧妙灵活。

三、导数引入，更显神威
1丄亠…丄如①昱
例3.求证：2 3 4 n
2
a
1 h 1
n+1
n ，且当仃12时，沈_i ・S 仏氐■如+丄
证明：令
，所以
lnn = ln —
11。

要证明原不等式，只须证
1
1 ---- ; <ln ------ C —= n + 1
n n 1 x+ 1 1
<ln < —> 1
X+ 1 K
-1
所以
W 占弓而芦詬訂
隘-畧厂诚叶1）-
设
二:-.，
所以 h （t ）＞xi ）=o ，即
所咖耳
同理可证
丄讪江L 丄艮卩丄皿皿』 所以■ -1
: -
|| 1丄丄…亠山丄―
n-l ，得 2 3 4 n
2 3 4 n + 1
点评：导数进入中学数学新教材，为解决数列与不等式的交汇问题展示了新的思 路和广阔的空间，其解题方法新颖独特，尤其是对数、指数次幕形式出现的一类 问题，更显导数在解题中的工具性和独特的神威。

四、裂项求和，简捷明了
，证明
號十1
1
In ------ > -
x : S 所以 所以 h(t)在(g
上为增函数。

对上式中的n 分别取1，2，3,…,
例4. 设二是数列-
的前n 项和，且
(1) 求数列迢J 的首项匀，及通项-；
(2)
解: (1)首项哲=2代=軒_严© = 1,&3…)
（过程略）。

得-*— 扣叫|寻7）（~）
而达到证题目的，整个证题过程简捷明了 五、独辟蹊径，灵活变通
独辟蹊径指处事有独创的新方法，对问题不局限于一种思路和方法, 活变通，独自开辟新思路、新方法。

例5.已知函数n = R 伐7。

设数列｛3JSS 足引+"伽) 足足|\ H V3 LS H = bj +b a + -+
V UG M')
（i ）求证：九'埠
（2）求证：11
3
点评：本题通过对
T ■
乳的变形，利用裂项求和法化为“连续相差 形式，从
（2）证明：将
4
2 4-咖V 訊
而是善于灵 3 3
（后M7■ 2爲绰屮■,削
证明：（1证法1:由 2 （J3十D
令屁I）%,则只须证C^2；易知6・2,只须证九"』。

由分析法：C祸WOQ】严叽机£0（* + L） | %】-妁
莎十丽血刖音皿叫"冃占刃―即
因为3讥］+」—謂2）a iL-l 斗］a n-l 卜1
所以耳》1 0% + 1匕2 ,得证
■饨言〉■ 5十?
证法2:由于心）"得f㈤的两个不动点为土霭。

又2 " %",所
^+1-据.包血斗3 _冶.（1_历）@血_
% +1 " a^ + 1
且現+1 + ^ =电斗+ J5
弘+ 1
_〔1 +石）（务+羽）
务+ 1
% . Q-⑹（耳-后所以
所以
%i -后1 -晶 %_1 _浙（］_石）2 ___ （［-丽严】引-加% + J5 1 + /5 片_［4語I + 石％_= + 苗1 + %斗灵
4.- -J5, j】击
由上可求得〔,
j厂亠
因此只需证〔1十巧尸71_占尸尸,
即证：|汽“1■: ：j ' ：|
又（1斗妙-〔1-孙
=2（C和+ C：（孙十C：（屈P +…）
=2小（疣十疣乳⑴賢十…）
二历KCjq +C；+・M C：）+2（C： 2 + W 2 …）] =箱0 十2（環2十Cj 8+-]]>? 75,^证°
b $厲厅
（2）由（1）知，'严】
所以
由上可求得
〔,
7牛尸
1
=』_1) ------------- F ------ < 祐 ~[)-
1一上
2
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点评：本题（1）中法1通过构造新数列“；门
，将复杂的问题转化为
证数列⑴」为递减数列，进而用分析法展示出证明思路的魅力； 法2则是独辟蹊 径利用“不动点”，求出通项公式，借助二项式定理放缩给出证明。

其解题过程 灵活变通
-J5 - 1 1 _ ------
2
故对任意
ne N*?S n <-^3。