平面和平面垂直的判定定理

平面和平面垂直的判定定理是几何学中一个重要的定理，它描述了两个平面是否垂直

的方法。定理指出，如果两个平面中的任意一个法线与另一个平面中的法线成垂直，则这

两个平面垂直。

这个定理是由正视图学家威尔海姆所建立的，他是17世纪的著名几何学家，对对角

线性质有许多研究和推导，其中最著名的可以说是他提出的“平面和平面垂直判定定理”。它是一个抽象几何学中重要的な定理之一，而且被许多数学家和几何学家用于求解各种数

学问题。

定理的公式明确指出，如果在两个平面中的任意一个法线都垂直地与另一个平面的法

线上，那么这两个平面就是垂直的。这个定理可以应用于求解各种数学问题，比如求解平

面的夹角，平面的平行性，折线平面与特定平面的相交情况等等。

此外，这个定理还有许多应用场景，比如工程、机械制造和机械设计就要求精确知晓

平面和平面的夹角，或者剖分几何中对平面的夹角也经常用到它。最后，实际制图中也用

平面和平面垂直判定定理，比如航空航天和地球物理实验中用到的三维坐标系，就有用到它。

总而言之，平面和平面垂直的判定定理是一个重要的数学定理，它的主要作用在于用

于判断两个平面是否垂直，同时也有许多数学实际应用场景，比如机械设计、航空航天以

及地球物理实验等。

平面与平面垂直的性质和判定

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。面面垂直的判定方法 ① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是 ②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥ 平面与平面垂直的性质一、选择题： 1、下列命题中，不正确的是（） A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 B. 平面的垂线一定与平面相交 C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论： ①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内； ③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。其中真命题是：（） A. ② B. ③ C. ①、④ D. ②、③ 3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 8 4、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题： ①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（） A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ 5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）

面面垂直线面垂直的判定定理

面面垂直线面垂直的判定定理一、引言在几何学中，面面垂直是一个基本的概念。当两个平面垂直时，我们称它们是面面垂直的。本文将介绍面面垂直线面垂直的判定定理。二、定义 1. 面：在三维空间中，由无数条线段组成的平坦曲面。 2. 平行：两条线或两个平面在同一平面内，且不相交。 3. 垂直：两条线或两个平面相交于一个角度为90度的交点。 4. 面面垂直：当两个平面相互垂直时，它们被称为“面面垂直”。三、定理如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。四、证明

假设有两个不同的平面A和B，并且这两个平面相互垂直。我们需要证明如果一条直线同时与这两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面A的交线是另一个平面B上的一条直线，则这两个平面是“ 面面垂直”的。首先，我们需要证明这条直线存在。假设这两个平面A和B相交于一条直线L。因为这两个平面相互垂直，所以它们的交角为90度，因此直线L与平面A和平面B的交线都是垂直的。接下来，我们需要证明这条直线与平面A和平面B的交线是垂直的。假设这条直线与平面A的交点为P，与平面B的交点为Q，并且PQ 在平面B上。我们需要证明AP和BQ是垂直的。由于PQ在平面B上，所以PQ与平面A的交线PA也在平面B上。因此，我们可以得到三角形APQ和三角形BPQ共享一个角度PQB，并且它们有一个共同边界PQ。根据余弦定理： cos(APQ) = (AQ² + PQ² - AP²) / (2 * AQ * PQ) cos(BPQ) = (BQ² + PQ² - BP²) / (2 * BQ * PQ) 由于AP = BQ（因为它们都等于L），所以AP² = BQ²。将其代入上

平面与平面的垂直判定

平面与平面垂直的判定 [新知初探] 1．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 (如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．记法：α-AB-β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P-AB-Q；当棱记为l时，可记作α-l-β或P-l-Q. (2)二面角的平面角： ①定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． ②直二面角：平面角是直角的二面角． [点睛]二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 2．平面与平面垂直 (1)面面垂直的定义 ①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②画法：记作：α⊥β. (2)两平面垂直的判定定理： ①文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． ②图形语言：如图． ③符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β. [点睛]定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直() (2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°()

答案：(1)√(2)√ 2．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是() A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 答案：D 3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是() A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β C．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：选C A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C. 面面垂直的判定 [典例]如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE ＝2DF，AE⊥EC. 证明：平面AEC⊥平面AFC. [证明]如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3. 由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC. 在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝ 2 2. 在Rt△FDG中，可得FG＝ 6 2. 在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝ 2 2，可得EF＝32 2. 从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG. 又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC. 因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.

线面、面面平行和垂直的八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。符号表示： b a b a a a ////⇒⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。符号表示： β α//////⇒⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭ ⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。）四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥⇒⊂⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，

证明面面垂直的方法及定理五篇

证明面面垂直的方法及定理五篇证明面面垂直的方法1 CD=BD-BC,AC=BC-BA,AD=BD-BA. 对角线的点积：AC·BD=(BC-BA)·BD=BC·BD-BA·BD 两组对边平方和分别为： AB2+CD2=AB2+(BD-BC)2=AB2+BD2+BC2-2BD·BC AD2+BC2=(BD-BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2BD·BA 则AB2+CD2=AD2+BC2等价于BD·BC=BD·BA等价于AC·BD=0 所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的'垂线在另一个平面内，即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。这是解析几何的方法。平面平行与平面垂直的知识点2 1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行。 2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行。(“线面平行，面面平行”) 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行。 [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面。 3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。(“面面平行，线线平行”) 4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直。两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条

直线的平面垂直于这个平面。(“线面垂直，面面垂直”) 注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系。 5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面。推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面。证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于，因为则。 6. 两异面直线任意两点间的距离公式：(为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有) 面面垂直学生如何证明3 一、初中部分 1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

证明两个平面垂直的判定定理

证明两个平面垂直的判定定理一、引言在几何学中，平面垂直是一个基本的概念。两个平面垂直是指它们的法向量垂直。本文将证明两个平面垂直的判定定理。二、定义和符号说明 1. 平面：由无限多条互不相交的直线组成的集合。 2. 法向量：与平面垂直且长度为1的向量。 3. 垂直：两个向量夹角为90度。三、定理陈述若两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面是垂直的。四、证明设平面$P_1$和$P_2$分别由点集合$S_1$和$S_2$上所有点组成，它们的法向量分别为$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$，且$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直。

首先证明，对于任意一个在平面$P_1$上的点$A\in S_1$，其到平面$P_2$上任意一点距离$d(A,P_2)$等于该点到平面$P_2$上任意一点距离$d(B,P_2)$（其中B为在平面上任意取得一个点）。假设存在一个在平面上任意取得的点B，使得$d(A,P_2)\neq d(B,P_2)$。则连接$A$和$B$的线段与平面$P_1$的交点为点$C$，连接$A$和$B$的线段与平面$P_2$的交点为点$D$。由于 $\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直，则向量$\vec{CD}$在平面上任意取得一条向量$\vec{v}$都与$\vec{n_1}$垂直。又由于向量 $\vec{AB}$在平面上任意取得一条向量$\vec{w}$都在平面内，则向量$\vec{w}$与$\vec{n_1}$垂直。因此，向量$\vec{v}+\vec{w}$也在平面内且与$\vec{n_1}$垂直。但是，向量 $(\vec{v}+\vec{w})\cdot\cos(\angle ACB)$显然不是法向量。这与假设矛盾，因此$d(A,P_2)=d(B,P_2)$。接下来证明，对于任意一个在平面上的点A和B，它们到另一个平面的距离相等。假设存在一个在平面上任意取得的点C，使得$d(A,P_2)\neq d(B,P_2)$。则连接$A,B,C$三点所构成的三角形ABC必定不是一个等腰三角形。不失一般性，假设$AC>BC$。连接$A$和$B$的线段与平面$P_1$的交点为点D，连接$A,B,C$三点所构成的平面与平面