热弹性结构阻尼对微谐振器品质因子的影响

热弹性结构阻尼对微谐振器品质因子的影响
孟思;郝淑英;高芬;冯晶晶;张琪昌
【摘要】In order to study the influence of ambient temperature on the natural frequency and quality factor of micro-resonator, the effect of temperature on the natural frequency of single micro-beam and micro-resonator was studied by means of finite element analysis. It is found that the softening effect of temperature on the elastic modulus has a great influence on the natural frequency, so the influence of temperature stress and elastic modulus softening on natural frequency should be considered.
A mechanical model for deducing the equivalent thermoelastic damping of micro-resonator is proposed. The relationship between the thermoelastic damping coefficient of the micro-resonator and the single beam is derived by the ingenious treatment of the side plate of a supporting beam, which provides the possibility of using the Zener standard model to calculate the thermoelastic damping and the quality factor of the micro-resonator. The effect of ambient temperature on the quality factor of micro-resonator is studied by combining the finite element analysis and analytical method.%为研究环境温度对微谐振器固有频率和品质因子的影响, 采用有限元分析的方法研究了温度对单根微梁和微谐振器固有频率的影响, 发现温度对弹性模量的软化作用对固有频率有很大的影响, 应综合考虑温度应力和弹性模量软化对固有频率的影响;提出了推导微谐振器等效热弹性结构阻尼的力学模型, 通过对支撑梁侧板的巧妙处理导出了微谐振器热弹性阻尼系数与单根微梁的热弹性阻尼系数关系式, 为利用
Zener标准模型来计算微谐振器的热弹性阻尼及品质因子提供了可能;将有限元分析结果与解析分析方法结合研究了环境温度对微谐振器品质因子的影响规律.【期刊名称】《天津理工大学学报》
【年(卷),期】2019(035)002
【总页数】7页(P19-24,41)
【关键词】微谐振器;空气阻尼;热弹性结构阻尼;温度特性;有限元分析
【作者】孟思;郝淑英;高芬;冯晶晶;张琪昌
【作者单位】天津理工大学机械工程学院天津市先进机电系统设计与控制重点实验室机电工程国家级实验教学示范中心(天津理工大学),天津 300384;天津理工大学机械工程学院天津市先进机电系统设计与控制重点实验室机电工程国家级实验教学示范中心(天津理工大学),天津 300384;天津理工大学机械工程学院天津市先进机电系统设计与控制重点实验室机电工程国家级实验教学示范中心(天津理工大学),天津 300384;天津理工大学机械工程学院天津市先进机电系统设计与控制重点实验室机电工程国家级实验教学示范中心(天津理工大学),天津 300384;天津大学天津市非线性动力学与控制重点实验室,天津 300072
【正文语种】中文
【中图分类】TN751.2
微谐振器是微传感器和微执行器等的核心元件，谐振频率与品质因子是微谐振器的两个重要参数，直接响应微机构的性能[1].Harness 等对硅微谐振器品质因子的影响因素进行分析，研究了基面与微谐振器之间的空气阻尼对品质因子的影响，并建
立了两种滑膜阻尼模型来求解空气阻尼[2].王小萍等分析了不同真空度下空气阻尼和微谐振器品质因子之间的关系[3].谐振频率对微谐振器的工作状态影响较大，如果频率变化异常将导致微谐振器产生输出误差.微谐振器系统的谐振频率与弹性梁的弹性模量有关，而温度对其弹性模量的影响较大.不同温度下，弹性模量值存在较大差异，因此温度对微谐振器输出影响较大[4].微谐振器工作过程中，谐振频率还会受到真空度、热弹性阻尼等的影响[5].
热弹性阻尼是由热弹性效应引起的材料固有能量耗散机制，在设计制造中无法避免.在真空环境中工作时，热弹性结构阻尼是限制微谐振器品质因子进一步提高的主要因素.台永鹏等[6]以高品质因子扭转式微谐振器件为研究对象，建立了扭转-弯曲耦合的热弹性阻尼解析模型.姜劭栋等[7]分析了温度在高真空环境下对硅微机械陀螺品质因子的影响机理，阐述了热弹性阻尼的复频率模型和硅材料的温度特性，并建立了品质因子温度特性的理论模型.陆苏杰等[8]对菱形截面微梁的热弹性阻尼机理与模型进行分析，推导了计算公式.左万里等[9]以多层复合结构微机械谐振器为研究对象，建立了三种不同结构下的热弹性阻尼解析模型.
本文以微谐振器为研究对象，建立了系统等效热弹性阻尼力学模型，并据此建立其动力学微分方程.模型中对支撑梁侧板进行巧妙处理，进而推导出单根微梁的热弹性阻尼系数与微谐振器热弹性阻尼系数的关系，为利用Zener 标准模型来计算微谐振器的热弹性阻尼及品质因子提供了可能；通过有限元分析的方法研究了温度对单根微梁及微谐振器固有频率的影响，将有限元分析结果与解析分析方法结合研究了环境温度对微谐振器品质因子的影响规律.研究结果可为梳状微谐振器的温度补偿设计提供依据.
1 梳状微谐振器工作原理
图1 是静电驱动梳状微谐振器的结构示意图，主要由弹性支撑梁、平行梳齿、可动质量块组成.可动部分通过支撑梁与锚点相接，在微谐振器固定梳齿两端施加直
流偏置电压，微谐振器在静电力的作用下保持平衡，交流电激励信号从驱动电极输入端输入，谐振器在静电力与支撑梁的弹性力作用下发生振动，当驱动交流电压产生的静电激振力的频率接近谐振器的固有频率时就会发生谐振.微谐振器的固有频
率对输入信号进行机械选频后，将所需的电信号输出到检测电极端进行检测，因此准确评估微谐振器的固有频率非常重要.
图1 静电驱动梳状微谐振器的整体结构Fig.1 Overall structure of electrostatically driven comb micro-resonator
结构的材料为单晶硅，弹性模量E=140 GPa，泊松比λ=0.3，密度ρ=2 329
kg/m3.梳状微谐振器的结构参数如表1 所示[10].
表1 梳状微谐振器各部分结构的尺寸Tab.1 Dimensions of the structure of each part of the comb micro-resonator结构的名称尺寸/μm 结构的名称尺寸/μm结构厚度h 2 梳齿宽度w 2齿间间隙d 4 基底间隙h0 2支撑梁宽度 2 支撑
梁侧板宽度 10支撑梁侧板长度 82 可动极板2 60×10质量块20×78
2 温度对谐振频率的影响
硅为一种热敏材料，温度的变化对材料硅的物理特性和机械特性影响较大，其弹性模量与温度的关系[11]为：
式中：E（T）为温度T 下硅的弹性模量，E（T0）为常温（T0= 27 ℃）时硅的弹性模量；E 是硅材料弹性模量的温度变化系数，单位是℃-1，一般可通过试验测得，根据文献资料[12]可查到其值在-25×10-6~-75×10-6 之间，本文取均值-50×10-6.
根据表1 中的尺寸参数构建了微谐振器的有限元分析模型，如图2 所示.采用ANSYS 分析软件对其进行静力分析，逐渐施加温度载荷，测量不同温度下的温度应力.根据微谐振器的应用场合和工作范围，分别将-20 ℃、20 ℃、60 ℃及100 ℃
等温度下的温度应力作为初始预应力施加在微谐振器上，对其进行有限元分析，记录不同工况下系统的固有频率及模态变化情况，进一步分析获得谐振频率随温度变化的关系曲线，如图3 所示.
图2 微谐振器的有限元模型Fig.2 Finite element model of micro-resonator
图3 弹性模量的温度效应对谐振频率的影响Fig.3 Effect of temperature effect of elastic modulus on resonant frequency
温度应力对固有频率的影响表现为软特性，即固有频率随温度应力的增加而减小.弹性模量随温度的升高而减小，温度应力的软特性及温度对刚度的软化效果的综合作用使得温度对谐振频率的影响较不考虑弹性模量影响时更加显著，与常温27 ℃时相比，温度为-20 ℃时谐振频率增加了0.9%；温度上升到60 ℃和100 ℃时，系统谐振频率均发生了下降，前者下降幅度约为2%，后者为3.4%.温度变化将引起系统频率发生漂移，进而使得系统固有频率和激励频率出现偏差，由于其带宽很窄，在共振区内激励频率较小的变化会引起其响应的放大系数明显降低，使得系统实际输出信号与设计值出现较大偏差，灵敏度会受到严重影响，导致其稳定性下降.通过对比图3 中的两条变化曲线，可以发现谐振频率与弹性模量的温度效应相关性较高，温度变化导致的弹性模量变化会造成系统谐振频率发生较大波动.因此分析系统谐振频率时，必须综合考虑弹性模量的温度效应及温度应力对其的影响.
3 温度对微谐振器品质因子的影响
微谐振器的品质因子Q-1 根据定义[13]计算如下：
其中，W 为单个振动周期内，系统存储的总能量；△W为单个周期内，系统耗散的总能量.
真空封装情况下结构的热弹性阻尼起主导作用，非真空封装下空气阻尼对品质因子的影响最显著，因此在本文研究过程中，只考虑系统空气阻尼和热弹性阻尼两个因
素在温度变化下对品质因子的影响.根据假设和式（2）可得微谐振器的品质因子计算公式如下.
其中分别为单独考虑空气阻尼和热弹性阻尼时系统的品质因子.
3.1 真空封装条件下热弹性阻尼对微谐振器品质因子的影响
对于高真空封装的微谐振器而言，空气阻尼很小，可以忽略不计，系统能量发生损耗主要与锚点阻尼、热弹性阻尼、电阻尼以及表面吸附阻尼等有关，其中弹性支撑梁弯曲振动产生的热弹性阻尼处于主导地位，是限制微谐振器品质因子进一步提高的重要因素[14].
3.1.1 弯曲振动梁的热弹性阻尼系数
热弹性结构阻尼导致的系统能量耗散是系统固有的能量耗散方式，是无法通过设计和制造消除的，因此热弹性阻尼成为微机电器件在真空状态下主要的能量耗散方式.根据微谐振器的工作原理和组成可知，系统支撑梁的刚度远小于支撑梁侧板、可动电极和质量块的刚度，因此可将质量块、可动极板、支撑梁侧板等视为刚性体，在系统工作时没有热弹性阻尼导致的能量耗散.因此，本文认为只有结构中的八根支撑梁的弯曲振动会导致热弹性阻尼能量耗散，可用Zener 标准模型[15]来估计.在只考虑热弹性阻尼的情况下，单根支撑梁的品质因子计算公式如式（4）.
其中：E 和T 分别为弹性模量和系统的温度；α、χ 分别为热膨胀系数和热扩散系数；CV 为定容比热容；b为单根支撑梁的宽度；ω0 为单根梁的固有频率.单晶硅在不同温度下的相关热动力学参数[16]如表2 所示.
表2 硅材料的热动力学特性参数Tab.2 Thermodynamic properties of silicon materialsT/℃ χ（/m2·s-1） CV（/J（/K·m3））α/K-1-20 1.4168e-4
1.5043e6
2.0808e-6 20 0.939e-4 1.6606e6 2.59e-6 60 0.8029e-4 1.723e6
2.8379e-6 100 0.6669e-4 1.786e6
3.0857e-6
只考虑热弹性阻尼时单根支撑梁的品质因子根据定义为
式中：ξ 为阻尼比，m0 为单根支撑梁的质量，ω0 为单根支撑梁的固有频率，c0 为单根支撑梁的阻尼系数.
将式（7）代入式（6），可得微谐振器单根支撑梁的热弹性阻尼系数为
3.1.2 微谐振器等效热弹性阻尼系数
由图1 可知微谐振器的结构是对称的，因此为方便研究，本文以如图4 所示的四分之一结构为研究对象.根据图4 建立系统的简化动力学模型，如图5 所示，其运动微分方程见式（9）.
其中：m1 为研究对象中的可动极板、活动梳齿和质量块的质量之和；m2 为连接两支撑梁侧板的质量.k1 和k2 分别为研究对象中与可动极板端相连的支撑梁刚度和与锚点相连的支撑梁刚度，两者的热弹性阻尼系数分别为c1 和c2，其横向位移分别为x1 和x2.
图4 微谐振器的四分之一模型Fig.4 Quarter model of micro-resonator
图5 振动系统简化力学模型Fig.5 Vibration system simplified model
为推导出微谐振器热弹性阻尼系数与单根微梁热弹性阻尼系数的关系，对模型进行了巧妙处理，即在驱动梳齿质量m1 远远大于支撑梁侧板质量m2 的前提下假设m2=0.两支撑梁的结构与约束条件是完全一样的，因此可认为其刚度和阻尼完全相同，即可得k1≈k2，c1≈c2= c0.将上述假设条件代入式（9）化简得：
根据式（10）可得微谐振器四分之一结构的等效热弹性阻尼系数为c0/2.四组支撑
梁之间相互并联，因此系统的总热弹性阻尼力的计算公式如式（11）.
故梳状微谐振器的结构等效热弹性阻尼系数为：
式中：c热为系统总的热弹性阻尼系数，m 为系统的质量.
3.1.3 真空封装条件下温度对微谐振器品质因子的影响
将式（12）代入式（6）可得，只考虑热弹性阻尼时微谐振器的品质因子：
其中：m、c热分别为微谐振器的等效质量和等效热弹性阻尼系数；ξ 和ω 分别为微谐振器的阻尼比和谐振频率.
首先建立单根支撑梁的有限元分析模型，支撑梁一端固定，一端游动，游动端可在XY 平面内平动.然后对支撑梁施加不同的温度载荷进行静力分析，最后对其进行模态分析，从而获得不同温度下单根支撑梁固有频率的变化情况，两者间的变化关系如图6 所示.由图6 可以看出，单根支撑梁的固有频率与温度大致呈线性负增长关系.
图6 单根支撑梁的频率随温度的变化Fig.6 The frequency of a single support beam varies with temperature
将表3 中不同温度下的硅材料热动力学特性参数和微弹性梁的固有频率代入式（4）可求得单根微梁的然后将及通过有限元分析求得的不同温度下的单根微梁及微谐振器的固有频率代入式（12）和式（13），最终获得真空封装情况下微谐振器系统
的品质因子与温度的关系变化曲线，如图7所示.品质因子随温度的增加而降低，
低于20 ℃时品质因子对温度变化非常敏感，温度超过20 ℃以后，敏感度降低.在高真空下，微谐振器的品质因子可达在105 以上，显然温度低于0 ℃时微谐振器
的品质因子可以提高一个量级.
3.2 非真空封闭条件下空气阻尼对微谐振器品质因子的影响
在微谐振器的工作过程中，如果处于非密封环境下，系统的空气阻尼将远大于其他阻尼，此时空气阻尼占主导地位，一般不再考虑其他阻尼的影响.非密封环境下微
谐振器的空气阻尼系数可通过式（14）来计算[17-20].
图7 真空封装微谐振器品质因子与温度的关系Fig.7 Relationship between quality factor and temperature of vacuum packaged micro-resonator
其中：δ 是表征空气有效穿透深度的量，其值等于距离流速最大值的1%处，且和ω 分别为空气的运动粘度系数和系统的谐振频率；v 和μ存在如下关系v=μ/ρ，
其中ρ 和μ 分别为空气的密度和动力粘度系数为可动部分与固定基底之间的间隙
为可动梳齿与固定梳齿间的间距；A1 和A4 分别为系统可动部分总等效面积和侧
面等效面积；A3 为可动梳齿和固定梳齿间重叠部分的面积；l 为为支撑梁的长度，用来表征微谐振器可动部分尺寸，即l=Lb.
谐振频率和空气动力粘度系数以及密度均随温度的变化而变化，不同温度下空气的密度如表3 所示.温度对空气动力粘度系数的影响较大，动力粘度系数随着温度的
升高而逐渐增大，压强对空气动力粘度系数的影响很小，可忽略不计.故空气动力
粘度系数与温度的关系式为[21-24]：
式中：μ 表示温度为T 时空气的动力粘度系数.μ0 为T0=25 ℃时空气的动力粘度
系数，μ0=1.844 8e5 Pa·s.
表3 不同温度下空气的密度Tab.3 Density of air at different temperatures温
度T/℃ -20 20 27 60 80 100密度ρ/kgm-3 1.396 1.205 1.177 1.060 1.000
0.947
单独考虑空气阻尼时微谐振器的品质因子计算公式如式（16）所示.
其中：ξ 和m 分别为微谐振器的阻尼比和等效质量，ω 是微谐振器的谐振频率，c 空是系统的等效空气阻尼系数.
将与温度有关的各参数代入式（16），可计算出不同温度下微谐振器的品质因子.为便于分析，将不同温度下品质因子的变化情况表示为如图8 所示的曲线.从图中可以发现，随着温度的逐渐升高，微谐振器的品质因子在不断下降.其中温度由常温（27 ℃）增加到70 ℃时，非真空封装下系统的品质因子约下降17%；与之相反，温度降低时，品质因子则大幅度增加.由此可得出结论，温度变化对非真空封装的微谐振器系统的品质因子影响显著，系统工作在非密封场合时应着重考虑温度对品质因子的影响.
图8 只考虑空气阻尼时的品质因子与温度的关系Fig.8 Considering only the relationship between quality factor and temperature in air damping
对比图7 和图8 可知，在非真空环境下，由于受空气阻尼的影响，微谐振器的品质因子在-20~100 ℃内低于42；而在高真空环境下，虽然会受到热弹性阻尼的影响，但微谐振器的品质因子在-20~100 ℃内仍保持在105 量级.很多因素会影响微谐振器的品质因子，其中空气阻尼最为显著，因此为提高品质因子，微谐振器一般采用真空封装.另外，不论在真空环境还是非真空环境下，温度的变化都对微谐振器的品质因子有较大的影响.因此，微谐振器的设计与应用应考虑其工作的环境温度.
4 结论
本文所提出的微谐振器等效热弹性结构阻尼的力学模型的计算方法，为利用Zener 标准模型来计算微谐振器的热弹性阻尼及品质因子提供了可能；温度对弹性模量的软化效应对微谐振器的固有频率有较大的影响，应综合考虑温度应力与弹性模量软化对固有频率的影响；当温度低于20 ℃时，热弹性结构阻尼对品质因子
的影响较为显著，当温度高于20 ℃时，影响则相对较弱，总体是随温度的增加而降低.空气阻尼对品质因子的影响也是随温度的增加而降低，基本上呈线性关系.由
于空气阻尼远大于热弹性阻尼，为获得较高的灵敏度和品质因数，应尽量降低阻尼，对微谐振器进行真空封装可达到这一目的.
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