第4章频域图像增强

4.1背景知识

法国数学家傅里叶 在1822提出傅里叶 级数理论。任何周 期函数都表示为频 率不同的正(余)弦 和的形式，每个正 (余)弦乘以不同的 系数，称为傅里叶 级数。
4.1背景知识
•
非周期函数可以用正(余)弦和乘以系数的积分表 示，称为傅里叶变换。
傅里叶级数或变换表示的函数可以完全通过逆过 程重建，不丢失任何信息⇒频域中的处理转化到 原始域不会丢失任何信息 1950’s后计算机技术的发展和1965年CooleyTukey提出FFT，在信号处理领域产生了巨大变革。
4.4 单变量的离散傅里叶变换 p140

例4.4： 离散函数f的值 f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3 求其傅里叶变换
4.5.5 二维傅里叶变换
离散形式DFT
147页
M 1N 1 N 11 1M j 2 ( ux / M vy / N ) uu ,v f( ,,yy )e 正变换 F F(( ,) v ) f (x x )e j 2 ( ux / M vy / N ) MN y x x 00 y 00

for u 0,1,2,...,M 1, v 0,1,2,..., N 1
M 1 N 1M 1 N 1
式4.5-15
1 j 2 ( ux / M j vy N )/ M vy / N ) 式4.5-16 2 / ( ux f ( x , y ) F ( u , v ) e x , y ) F ( u , v ) e 反变换 MN u 0 v 0 u 0 v 0 for x 0,1,2,...,M 1, y 0,1,2,..., N 1
4.6二维傅里叶变换的性质
(a) 原图像
(b)无平移的傅里叶频谱
(c)平移后的傅里叶频谱
傅里叶频谱平移示意图
Matlab的快速傅立叶变换函数(补充)

fft2函数用于计算二维快速傅立叶变换， 其语法格式为：B = fft2(I) 其反函数：ifft2 fftshift函数用于将变换后的图象频谱中 心从矩阵的原点移到矩阵的中心，其语 法格式为：B = fftshift(I) 其反函数： ifftshift
D0
式4.8.4
4.8.1 理想低通滤波器
图4.41距DFT 原点的图像功率分布图
4.8.1 理想低通滤波器
D0=5, α=92% 消除所有图像细节， 只剩大物体的“斑 点”。细节在被滤 除的8％功率中。
D0=15,α=94.6%
严重的振铃现象 (由于ILPF 特性)
D0=30,α= 96.4% 标准低通振铃现象
3
4
5
2
，求该图像的傅里
4.6二维傅里叶变换的性质



1、傅里叶谱和相角 2、平移特性 3、旋转性
4.6二维傅里叶变换的性质
1、傅里叶谱和相角 p154
j (u ,v )
二维离散傅里叶变换在极坐标下表示:
F (u) F (u, v) e
傅里叶谱(频谱) F (u , v)
2
R (u , v) I (u , v)
4.8.1 理想低通滤波器 p169
理想的低通滤波器是截断傅里叶变换中所有高频
部分，这些成份处与原点的距离大于指定距离D0 。
理想的低通滤波器的变换函数:
1 H (u, v) 0
D(u, v) D0 D(u, v) D0
D0是截止频率, 是一非负数值,
D(u,v)是(u,v)点距频率矩形原点的距离
图4.29 图像和傅里叶频谱谱对应关系示例
4.7频域滤波
4.7频域滤波
4.7频域滤波
4.7频域滤波
4.7 频域滤波
4.7 频域滤波
频率域中滤波步骤：p165-p166页 1. 用(-1)x+y乘以输入图像来进行中心变化。
[ f ( x, y)(1) x y ] F (u M / 2, v N / 2) 2. 由(1)计算图像的DFT，即F(u,v)； 3. 用滤波函数H(u,v)乘以F(u,v)。
x r cos , y r sin u cos , v sin
f (r, 0 ) F (, 0 )
4.6二维傅里叶变换及其性质

频谱图 p155
4.6二维傅里叶变换及其性质

4、二维卷积定理 p157
式4.6-24 式4.6-25
空间域和频域的滤波器组成傅里叶变换对 h ( x , y )和 H( u,v ) 。 给出频率域滤波器H(u,v) ，通过反傅里叶 变换可以得到空间域相应的滤波器h(x,y)
PT P(u, v)
u 0 v 0 M 1 N 1
式4.8.3
其中P(u,v) 是傅立叶变换功率谱：
P(u, v) F (u, v) R 2 (u, v) I 2 (u, v)
通过的功率为原点在频率矩形的中心、半径为r的圆包 含α% 的功率，图像的功率，即：
2
100 P(u, v) / P T
4.5.5 二维傅里叶变换
(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为
1 M 1 N 1 F (0,0) f ( x, y) f ( x, y) MN x 0 y 0
即f(x,y) 的均值，原点(0,0) 的傅里叶变换是图 像的平均灰度。F(0,0) 称为频率谱的直流分量(系 数)，其它F(u,v) 值称为交流分量(交流系数)。 练习：有一个2×2的图像 叶谱。
matlab实现过程
1. 2. 3. 4. 5.
F=fft2(f) F=fftshift(F) G=F.*H G=ifftshift(G); f=ifft2(G)
4.8使用频率域滤波器平滑图像
低通滤波
Circular symmetry
高通滤波
图4.7
P128页
4.8使用频率域滤波器平滑图像

The basic model for filtering in the frequency domain
离散形式
F (u )
M 1
x, u 0, 1, , M 1
f ( x)e j 2ux / M
M 1 u 0 j 2ux / M F ( u ) e

x 0
式4.4-6 式4.4-7
1 f ( x) M
1/M可以放在反变换前， 也可在正变换和逆变换前分 别乘以1 / M 。但注意：正变换和逆变换前系数乘积 必须等于1/M。
当u0=M/2, v0=N/2时
j 2 (u0 x / M v0 y / N )
f ( x, y)e
j 2 (u0 x / M v0 y / N )
e
j ( x y )
(1)
x y
4.6二维傅里叶变换及其性质
2、平移特性 p148
通常在变换前用(-1)x+y 乘以输入图像函数，实现中 心平移： f ( x, y)(1) x y F (u M , v N )
2
相角
I (u, v) (u, v) arct an R(u, v)
4.6二维傅里叶变换及其性质
2、平移特性 p148
f ( x, y)e F (u u0 , v v0 ) j 2 (ux0 / M vy0 / N ) f ( x x0 , y y0 ) F (u, v)e
2 2
f(x,y)乘以(-1)x+y后,将F(u,v)原点变换到 (M/2,N/2),它是频域的中心。要求M和N为偶数。 频率范围：u∈[0,M-1], v∈[0,N-1]。 计算过程中，变量u∈[1,M]，而v∈[1,N]，变换的 实际中心变为u=(M/2)+1，/ 2) 2 (v N / 2) 2
4.8.2 Butterworth低通滤波器
图4.44
BLPF滤波器的 3D 透视图
以图像显示的 BLPF 滤波器
•
•
4.2基本概念
F(u ) R jI
p126
式4.2.2 式4.2.3
F (u) F (u) (cos j sin ) （极坐标）
e
j
cos j sin
j
（欧拉公式）
式4.2.4 式4.2.5
F (u) F (u) e
（极坐标）
4.4 单变量的离散傅里叶变换 p139
第四章 频域图像增强
Image Enhancement in the Frequency Domain
第4章 频率域图像增强

本章重点：建立对二维，傅里叶变换和频域 的理解，明确如何将它们应用在图像增强上。
重点阐述：图像特征及其数学描述，用来处 理特征的数学工具，而不去深入探讨傅里叶 变换的具体细节( FS, FT, DFS, DFT, DTFS,DTFT)
G(u, v) H (u, v) F (u, v)
4. 计算(3)中结果的反DFT。
5. 得到(4)中结果的实部。
6. 用 (-1)x+y乘以(5)中的结果。
4.7 频域滤波
频滤波器的基本步骤
Including multiplication the input/output image by (-1)x+y.

Matlab的快速傅立叶变换函数(补充)

abs(F):求出F的频谱 angle(F):求出F的相角
4.6二维傅里叶变换及其性质

3、旋转性 p148

引入极坐标
f(x,y) 旋转角度θ 0,F(u,v) 将转过相同的角度。类 似, 旋转F(u,v) ,f(x,y)也将转过相同的角度。


直流分量F(0,0)对应一幅图像的平均灰度。 低频部分对应图像缓慢变化的分量 高频部分对应图像边缘和灰度级突变的部分
4.7 频域滤波 p161
下图是上图的傅里叶频谱， •沿±45°方向对应上图边缘突起 •沿垂直轴偏左部分(~95℃方向)有垂 直分量，由氧化突起的上下黑白边沿 形成。
频率域的基本性质：频域的中心 邻域对应图像中慢变化部分;较 高的频率开始对应图像中变化较 快的部分（如：物体的边缘、线 条等）。
r=5 的频域ILPF 的H(u,v)
h(x,y)
中心水平扫描线的 灰度级剖面线
4.8.2 Butterworth低通滤波器 p172
•n阶Butterworth低通滤波器(BLPF)的传递函 数定义: 1 H (u, v) 2n 式4.8.5 1 [ D(u, v) / D0 ] •D0是截止频率, D(u,v)是(u,v)点距频率矩 形原点的距离 .
4.7 频域滤波
频域的基本性质：

每个F(u,v)包含被指数项修正的f(x,y)的所有值。
1 F (u, v) MN
M 1 N 1

x 0 y 0
f ( x, y )e j 2 (ux / M vy / N )
for u 0,1,2,...,M 1, v 0,1,2,..., N 1
4.8.1 理想低通滤波器 p170
a. 理想低通滤波器 b. 以图像显示的理 ILPF的3D 透视图 想滤波器
c. 理想滤波器的 径向横截面
图4.40
D(u, v) (u M / 2) (v N / 2)
2
2
4.8.1 理想低通滤波器 p170
通过基于截止频率的函数对LPF 性能比较。 总功率PT是频域全部点(u,v) 的功率谱成份之和：
G(u, v) H (u, v) F (u, v)
F(u,v): 被平滑的图像傅立叶变换
H(u,v): 滤波器变换函数


目标是选择滤波器函数H(u,v)，通过衰减F(u,v) 的高 频部分生成G(u,v)。 低通滤波器： 理想低通滤波器Ideal lowpass filter 巴特沃思滤波器Butterworth lowpass filter 高斯滤波器Gaussian lowpass filter
D0=80, α= 98%
D0=230,α= 99.5%
4.8.1 理想低通滤波器
模糊和振铃特性的解释 如r=5 的ILPF，空间滤波器单位脉冲响应h(x,y) H(u,v) 乘以(-1)u+v 中心化； 反傅里叶变换； IDFT 的实部乘以(-1)x+y 得到h(x,y) .
IDFT