第4章 量纲分析与相似理论

第4章 量纲分析与相似理论
2.基本物理量：具有独立性，但不具唯一性 在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取3个相互独立的物
理量作为基本物理量。 如ρ(密度)、V(流速)、d(管径)或F(力)、a(加速度)、l(长度)等。 ☈基本物理量独立性判别 任何两个物理量的组合不能推出第3个物理量的量纲，即为3个物理 量相互独立。
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几点说明：
•弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的 常用准则. •一般弗劳德准则、雷诺准则为独立准则，而欧拉准则 为导出准则.
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§4-5 模型试验设计
一、模型律的选择 从理论上讲，流动相似应保证所有作用力相似，但一般难以 实现。如仅保证重力和粘性力相似，则应同时满足弗劳德准则 和雷诺准则，故有
p p 0 gh
用 gh 除其余各项，可得无量纲方程：
p
gh

p0
gh
1
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§4-2 量纲分析法
常用的量纲分析方法有瑞利法和泊金汉法（也称π定理）。
一、瑞利法
基本思想：假定各物理量之间呈指数形式的乘积组合。
例题1
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二、 π定理
CV Vp Vm
•加速度比尺：
Ca
ap am

Vp /tp Vm / tm

CV Cl
2
Ct
Cl CV
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三、动力相似 原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小成比例。
C G C F p C FT C F I C F
☈说明 •几何相似是运动相似和动力相似的前提； •动力相似是决定流动相似的主要因素； •运动相似是几何相似和动力相似的表现。
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二、模型设计
•定长度比尺 C ，确定模型流动的几何边界；
l
•选介质
C
，一般采用同一介质：C
1
；
•选模型律.
例题3
例题1
[例1] 已知管流的特征流速Vc与流体的密度ρ、动力粘度μ和管径d 有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构. [解] 假定 V k c
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★本章重点掌握：

量纲分析方法 相似理论及其应用
§4-1 量纲分析的基本概念
一、单位与量纲


单位：表征各物理量的大小。如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、 分、秒等。 量纲：表征各物理量单位的种类。如m、cm、mm等同属于长度类，用 L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属 于质量类，用M表示。
3
s
35 . 8 L
f1 ( , F D , V , d , ) 0
( 1 , 2 ) 0
选基本物理量ρ、V、d，根据π定理，上式可变为
1 2 1 2 1
其中
1 2
V V
d
FD
d
2
例题2
对π1： M 0 L0 T
0
( ML
3 1
)
( LT
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故得雷诺准则方程：
CV C l C
1 or (
Vl

)p (
Vl

)m
即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两 者对应的雷诺数 Re Vl / 必须相等.
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三、欧拉准则：压力相似
要保证原型流动和模型流动的压力相似，则根据 动力相似要求有：
Vd

1 Re
代入 ( 1 , 2 ) 0 ，并就FD解出，可得：
F D f (Re) V d
2 2
C D V d
2
2
式中 C D f (Re) 为绕流阻力系数，由实验确定。
例题3
[例3] 已知溢流坝的过流量Q＝1000m3/s,若用长度比尺CL＝60的模型(介
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二、雷诺准则：粘性力相似
要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则 根据动力相似要求有：
C FT C F I
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式中，粘性力比尺：
( A C
FT
du dy du dy
)
p
( A
C C lCV )m
C C C l C V
C C C
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§4-4 流动相似的准则
流动相似的本质是原型和模型被同一个物理方程所描述，这个 物理方程即相似准则方程。 一、弗劳德准则——重力相似 要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似，则据动力相似要 求有
C G C FI
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式中： 重力比尺：C G 惯性力比尺： C
§4-3 流动相似的基本概念
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一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定比尺。
•长度比尺： •面积比尺： •体积比尺：
Cl
lp lm
CA
Ap Am
Cl
2
CV
Vp Vm
Cl
3
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二、运动相似 原型和模型的流速场相似，即流场中各对应点的流速大小成比例， 方向相同。 •流速比尺：
1 1
)
L MLT
1
2
M : 0 1 1 L : 0 3 1 1 1 1 T : 0 1 2
解上述三元一次方程组得： 1 1, 1 2 , 1 2
故
1
FD
V d
2
2
例题2
同理：
2
C F p C FI
式中，压力比尺：
C Fp
( pA ) p ( pA ) m
C pC l
2
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故得欧拉准则方程：
Cp C CV
2
1 or
(
p pV
2
)p (
p pV
2
)m
即要保证原型流动和模型流动的压力相似，则要求两者 对应的欧拉数 Eu p /( V 2 ) 必须相等.
质相同)进行实验研究，试求模型的流量Q [解]
.
溢流坝流动，起主要作用的是重力，应选择弗劳德准则进行 模型设计.
例题3
Qp Qm (VA ) p (VA ) m CV C l
2
Cl
CV C l
2 .5
由Fr准则：
Qm
Qp Cl
2 .5

1000 60 s
2 .5
0 . 0358 m
C C l
3/2
即应按上式选择模型流体，一般难以实现；若取 C 1 即原、模型采用同一流体，则将导致 C l ，失去了模型试 1 验的价值。
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•实际应用时，通常只保证主要力相似. 一般情况下： 有压管流、潜体绕流： 明渠流动、绕桥墩流动： 选雷诺准则 选弗劳得准则
( V g ) p ( V g ) m CCl C g
3
FI
(V a) p (Va)m
2
CCl Ca
2
3
C C l CV
Ca
CV
2
Cl
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故得弗劳德准则方程：
CV C gCl
1 or (
V gl
)p (
V gl
)m
即要保证原型流动和模型流动的重力相似，则要求两者对应的弗劳 德数 Fr V / gl 必须相等.
基本思想：对于某个物理现象，若存在n个变量互为函数关 系，即
F ( q1 , q 2 ,..., q n ) 0
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成为(n – m)个无量纲π数的函数关系，即
( 1 , 2 ,..., n m ) 0
例题2
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解上述三元一次方程组得：
1, 1, 1
故得：
Vc k
d
其中常数k需由实验确定.
例题2
[例2] 实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受阻力FD与球体 直径d、球体运动速度V、流体的密度ρ和动力粘度μ有关，试用 π定理量纲分析法建立FD的公式结构. [解] 假定

d

式中k为无量纲常数。其中，各物理量的量纲为：
dim V c LT
1 1
, dim ML
1
3
dim ML T
, dim d L
例题1
代入指数方程，则得相应的量纲方程
LT
1
( ML
3
)

( ML
1
T
1
)
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L

根据量纲齐次性原理，有
M :0 L : 1 3 T : 1
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二、基本量纲与基本物理量
1.基本量纲：具有独立性、唯一性
在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M、长度L和时 间T三个作为基本量纲。其它物理量的量纲可用基本量纲表示，如 流速 dimv＝LT－1 密度 dimρ＝ML－3

力
dimF＝MLT－2
压强
dim p=M L－1 T－1
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三、物理方程的量纲齐次性原理 凡是正确描述自然现象的物理方程，其方程各项的量纲必然相同。 量纲齐次性原理是量纲分析的理论基础。 工程中仍有个别经验公式存在量纲不齐次。 满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为 无量纲方程。如流体静力学基本方程