高等数学第三章课件-线性相关性

与
⎧ a11 x1 + ⋯ + a1,n−1 x n−1 = a1n ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎪ a j −1,1 x1 + ⋯ + a j −1,n−1 xn−1 = a j −1,n ⎨ ⎪ a j +1,1 x1 + ⋯ + a j +1,n −1 xn −1 = a j + 1,n ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎩ a s1 x1 + ⋯ + a s ,n−1 xn−1 = a sn
ε 1 = (1,0,⋯ ,0), ε 2 = (0,1,⋯ ,0), ⋯ , ε n = (0,0,⋯ ,1)
线性表出.
α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) , 事实上，对任意 皆有 α = a1ε 1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n也称为 n 维单位向量组．
若向量 β 可表成向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 的一个 α1 ,α 2 ,⋯ ,α β 线性组合, 则称向量 可由向量组 s 线性表出.
注： 1) 若 α = k β ，也称向量 α 与 β 成比例. ℝ 3 中,向量 α 与 β 成比例 ⇔ α 与 β 共线. ℝ 3 中,若向量 α 1与 α 2不成比例,则
⎛ α1 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜αs ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜αs ⎟ → ⎜ ⎟ ⎯⎯ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯ β1 ⎟ β1 ⎟ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ βt ⎠ ⎝ βt ⎠ ⎝ 0⎠
若能，写出它的一个线性组合．
α = (2, −1,3,4)
α 1 = (1, 2, −3,1), α 2 = (5, −5,12,11), α 3 = (1, −3,6, 3)
设 α = k1α 1 + k 2α 2 + k 3α 3 ,即有方程组 解： 解：设 ⎧ k1 + 5 k2 + k3 = 2 ⎪ 2k1 − 5k 2 − 3k 3 = −1 ⎨ −3k + 12k + 6k = 3 2 3 ⎪ k 1 ⎩ 1 + 11k 2 + 3k 3 = 4 （1）
同解. 此时, 第 j 个方程也称为多余方程 .
n � 设 α i = ( ai 1 , ai 2 ,⋯ , ain ) , β j = b j1 , b j 2 ,⋯ , b jn ∈ P ,
(
)
i = 1,⋯ , s , j = 1,⋯ , t . 若向量组 α 1 ,⋯ ,α s与向量组
β 1 ,⋯ , β t等价, 则
2. 线性表出的等价刻画 给定n维向量 β = (b1 , b2 ,⋯ , bn ),α1 = (a11 , a12 ,⋯ , a1 n ),
α 2 = (a21 , a22 ,⋯ , a2 n ),⋯ ,α s = (a s1 , a s 2 ,⋯ , a sn ) ∈ P n ,
则 β 可由向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s线性表出 ⇔ ∃k1 , k 2 ,⋯ , k s ∈ P , 使得
§3.3 线性相关性
一、线性组合、线性表出
1. 定义 定义1 我们称
n α , α , ⋯ , α ∈ P , ∀k1 , k 2 ,⋯ , k s ∈ P 设 1 2 s
k1α 1 + k2α 2 + ⋯ + ksα s 线性组合. 为向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s的一个 的一个线性组合
对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵 2 1 1 5 1 2 1 0 ⎛ − ⎛ ⎞ ⎛ 1 5 1 2⎞ 3 3⎞ 1⎟ 2 −5 −3 −1 ⎟ → ⎜ 0 3 1 1 ⎟ → ⎜ 0 1 1 ⎜ 3 3 A = ⎜ 3 12 6 3 ⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ − ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜ 1 11 3 4 ⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 所以方程组(1)有解．它的一般解为 2 1 ⎧ ⎪ k1 = 3 k 3 + 3 ⎨ 1 1 ⎪ k2 = − k3 + 3 3 ⎩ 令 k 3 = 1, 得(1)的一个解 (1,0,1)，从而有 α = α1 + α 3 ,线性表出的表示方式未必唯一 . 注:由上例可看出 由上例可看出, 线性表出的表示方式未必唯一.
β = k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k sα s 即, ∃k1 , k2 ,⋯ , k s ∈ P , 使得
⎧ a11k1 + a21k2 + ⋯ + as 1k s = b1 ⎪ a12k1 + a22k2 + ⋯ + as 2ks = b2 ⎨ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪a k + a k + ⋯ + a k = b sn s n ⎩ 1n 1 2n 2
即
⎧ a11 x1 + ⋯ + a1,n−1 x n−1 = a1 n ⎪ ⋯⋯ ⎨ ⎪a x + ⋯ + a s ,n −1 xn −1 = a sn ⎩ s1 1 ⎧ b11 x1 + ⋯ + b1,n−1 xn−1 = b1n ⎪ ⋯⋯ ⎨ 同解. ⎪b x +⋯+ b x = b t , n −1 n −1 tn ⎩ t1 1
4 若向量组α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 不是线性相关的 ,则称 定义 定义4 不是线性相关的, 向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 为线性无关的. 即 全为零的 数 k1 , k 2 ,⋯ , k s ∈ P,使 若不存在 P 中不 中不全为零的 全为零的数
k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k sα s = 0
α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s与 γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ p 等价 . 等价.
从线性方程组角度理解线性表出、等价 � 设 α i = ( ai 1 , ai 2 ,⋯ , ain ) ∈ P n , i = 1,⋯ , s. 若 α j 可由α 1 ,⋯ ,α j −1 ,α j +1 ,⋯ ,α s 线性表出, 即
β 可由 α 1 ,α 2 线性表出 ⇔ β , α1 , α 2 共面.
2）零向量0可由任一向量组的线性表出. 3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出. ∀1 ≤ i ≤ s,向量 α i 可由向量组 α 1 ,⋯ ,α s线性表出. 即，
4）任一 n 维向量 α = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) 都可由向量组
与
三、线性相关性
1. 定义 定义3 如果向量组α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s ( s ≥ 2)中有一向量 其余向量线性表出，则向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 可经 可经其余向量线性表出，则向量组 线性相关 的. 称为 称为线性相关 线性相关的
定义3’
线性相关 向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s ( s ≥ 1) 称为 称为线性相关
n β ( b , b , ⋯ , b ), α ( a , a , ⋯ , a ) ∈ P , = = 命题 设 1 2 n i i1 i2 in i = 1, 2,⋯ , s , 则 β 可由向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s线性表出
⇔ 线性方程组
⎧ a11 x1 + a 21 x 2 + ⋯ + a s1 x s = b1 ⎪a x + a x +⋯+ a x = b ⎪ 12 1 22 2 s2 s 2 ⎨ ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎩ a1n x1 + a2 n x2 + ⋯ + asn xs = bn 在数域 P 上有解 . 上有解.
α j = k1α 1 + ⋯ + k j −1α j −1 + k j +1α j +1 + ⋯ + k sα s
则
⎛ α A=⎜ j ⎟ ⎜α ⎟ ⎜ j +1 ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ α ⎝ s ⎠
⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟ ⋮ ⎜ ⎟ ⎜ α j −1 ⎟ − k1 r1 −⋯− k j −1 rj −1 − k j +1 rj +1 −⋯− ks rs + rj ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜α ⎟ ⎜ j +1 ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ α ⎟ ⎝ s ⎠
例 n 维单位向量组 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 线性无关. 例 已知向量组 α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关，向量
β 1 = α1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3 , β 3 = α 3 + α1 ,
证明： β 1 , β 2 , β 3 线性无关. 证：设 x1 β 1 + x2 β 2 + x3 β 3 = 0, 即 ( x1 + x3 )α 1 + ( x1 + x2 )α 2 + ( x 2 + x 3 )α 3 = 0 ⎧ ⎪ x1 + x3 = 0 ,于是有 ⎨ x1 + x2 = 0 由于 α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关 线性无关, ⎪ ⎩ x2 + x3 = 0 解之得 x1 = x2 = x3 = 0. 所以 β 1 , β 2 , β 3 线性无关 .
的, 如果存在 P 上不全为零的数 k1 , k 2 ,⋯ , k s , 使得
k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k sα s = 0.
定义 3与定义 3' 是等价的 . 注：在 s ≥ 2 时， 时，定义 定义3 定义3' 3'是等价的 是等价的. 注：特殊情形 1）单个向量 α 线性相关 ⇔α = 0. . 成比例. 2）向量组 α 1 ,α 2 线性相关 ⇔ α1 ,α 2 成比例 . 任意一个含零向量的向量组必线性相关. 3）任意一个含零向量的向量组必线性相关
两层含义 1) 判断 β 能否由 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s线性表出, 可转化为 判定线性方程组 x1α 1 + x 2α 2 + ⋯ + x sα s = β 是否 有解. 2) 理论上, 研究线性方程组是否有解 , 只要研究 β 能否由α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 线性表出.
例1
α 能否由向量组 α 1 ,α 2 ,α 3 线性表出 . 判断向量 线性表出.
二、向量组的等价
1. 定义 2 定义 定义2 若向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 中每一个向量 α i
( i = 1,2,⋯ , s ) 皆可经向量组 β 1 , β 2 ,⋯ , β t线性表出 , 线性表出,
则称向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s可经向量组 β 1 , β 2 ,⋯ , β t . 线性表出 线性表出. 若两个向量组可以互相线性表出，则称这 向量组等价 . 两个 两个向量组等价 向量组等价.
2. 性质 性质 : 向量组的等价关系具有如下性质 向量组的等价关系具有如下性质:
: α1 ,α 2 ,⋯ ,α s与α1 ,α 2 ,⋯ ,α s 等价 反身性: . 1) 反身性 等价. : 若α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 与 β 1 , β 2 ,⋯ , β t等价 对称性: , 2) 对称性 等价, 则 β 1 , β 2 ,⋯ , β t与 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 等价 . 等价. : 若α1 ,α 2 ,⋯ ,α s 与 β 1 , β 2 ,⋯ , β t等价 传递性: , 3) 传递性 等价, , 则向量组 且 β 1 , β 2 ,⋯ , β t与 γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ p 等价 等价,
则称向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 为线性无关的. ,对于一个向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s , 若由 换句话说 换句话说,
k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k sα s = 0
必可推出 k1 = k 2 = ⋯ = k s = 0, 则称向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 为线性无关的.
即
⎧ a11 x1 + ⋯ + a1, n−1 xn−1 = a1 n ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ a j −1,1 x1 + ⋯ + a j −1, n−1 xn−1 = a j −1, n ⎪ ⎪ a x +⋯+ a j1 1 j , n−1 x n−1 = a jn ⎨ ⎪a x + ⋯ + a j +1, n −1 xn −1 = a j +1, n ⎪ j +1,1 1 ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎩ as1 x1 + ⋯ + as , n−1 xn−1 = asn