复数列级数、复变函数项级数小结
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复数列级数敛散性小结
0000
00lim 1lim lim lim 2lim 0lim 0lim 0lim 0)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x z z y y z z z z z z z z z →∞
→∞→∞→∞
→∞→∞
∞∞→∞→∞==∞∞==⎧=⎧⎪⎪=⇔⎨
=⎪⎪⎪⎩⎨
=⇔=⎪⎪⎪⎩≠⇒=⇔∑∑∑∑）1、复数列极限：）
，（适合于实部和虚部不容易求得的复数列极限）复数列1）若，则必发散,(若收敛2、复数列级数：2）复数列级数收敛实数列级数0000n n n n n n n n x y z z ∞∞
==∞∞==⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎧⎪
⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪
⇒⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎩⎩
∑∑∑∑收敛和收敛
3）若级数（正项级数）收敛绝对收敛
（适合于实部和虚部不容易求得的复数列级数）
100
001,11111lim ,21lim 34n n n n n n
n n n n
n n n n
n n n n z z z z C R C C z R C z R C z C z λλλλ∞
=+∞→∞=→∞∞
=∞
=∞=⎧<⎪-⎨⎪≥⎩
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑∑、发散，1）比值法：=则、收敛半径2）根值法：=则、收敛区域：在半径为在圆域内绝对收敛，在圆外发散，在圆周上可能收敛、可能发散、可能有些点收敛有些点发散、的和函数：求收敛域（收敛半径）、
幂级数000()00
0(21)0()2()()!1(1),11(2),!52)(3)sin (1),(21)!(n n n
n n n n n
n n z
n n n n z
f z z z R f z C z f z C n z z z z e z n z z z n ∞
=∞=∞=∞=+∞=−−−−−−−→⎧⎪-<⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩=<-=<+∞=-<+∞+∑∑∑∑∑逐
项微分、逐项积分在收敛域内求和函数（1）在圆域内解析1）泰勒级数定理（）可展开为幂，且唯一（3）、泰勒级数直接展开法201024)cos (1),(2)!3)()2()1()2(6n n
n n n n n z z z n f z R z z R f z C z f C i ζπζ∞
=∞
=-∞⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-<+∞
⎪⎪⎩⎪−−−−−−−−−−−−→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
<-<=∑∑逐项微分、逐项积分、求导、求积分等方法
间接展开法上面展开式（1）在圆环域内解析1）泰勒级数定理（）可展开为幂，且唯一（3）、洛朗级数01
10202
10,1,10110
000202
)2)113),11n C n n
z z R R z z R z z R n n d z z z R R z z z z R z z R ζ+-∞∞
<-<<<-==⎧⎪
⎪⎪⎪
⎪
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⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
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⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩⎪⎪
⎨⎪⎛⎫⎛⎫-⎪−−−−−−−−−→== ⎪ ⎪⎪--⎝⎭
⎝⎭--⎪
-⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎰∑∑ 直接展开法间接展开法或⎪
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