高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题3.9 曲线是否过定点可推可算可检验

【题型综述】

直线过定点问题在全国卷近几年高考中出现的频率较低，是圆锥曲线部分的小概率考点．此种平民解法思维上比较接地气，但是实际操作上属于暴力美学范畴．定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可．技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？

【典例指引】

例1、（“手电筒”模型）已知椭圆C：错误!未找到引用源。若直线错误!未找到引用源。与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线错误!未找到引用源。过定点，并求出该定点的坐标．

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相

互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点错误!未找到引用源。．（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）

◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件（如错误!未找到引用源。定值，错误!未找到引用源。定值），直线AB依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）．

此模型解题步骤：

Step1：设AB直线错误!未找到引用源。，联立曲线方程得根与系数关系，错误!未找到引用源。求出参数范围；

Step2：由AP与BP关系（如错误!未找到引用源。），得一次函数错误!未找到引用源。；

Step3：将错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。，得错误!未找到引用源。．例2、（切点弦恒过定点）有如下结论：“圆错误!未找到引用源。上一点错误!未找到引用源。处的切线方程为错误!未找到引用源。”，类比也有结论：“椭圆错误!未找到引用源。处的切线方程为错误!未找到引用源。”，过椭圆C：错误!未找到引用源。的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B．

（1）求证：直线AB恒过一定点；

（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程．

例3、（相交弦过定点）如图，已知直线L ：)0(1:122

22>>=++=b a b

y a x C my x 过椭圆的右焦点F ，且交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、B 在直线2:G x a =上的射影依次为点D 、E ．连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由．

法2：本题也可以直接得出AE 和BD 方程，令y=0，得与x 轴交点M 、N ，然后两个坐标相减

=0．计算量也不大．

◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法．这一类题在答题过程中要注意步骤．

例4、已知椭圆C：错误!未找到引用源。，若直线错误!未找到引用源。与x轴交于点T，点P为直线错误!未找到引用源。上异于点T的任一点，直线PA1，PA2分别与椭圆交于M、N 点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论．

方法1：

【思路引导】

点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2，0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标．动点P在直线错误!未找到引用源。上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在．

方法总结：本题由点A1(-2，0)的横坐标－2是方程错误!未找到引用源。的一个根，结合韦达定理，得到点M的横纵坐标：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。；其实由错误!未找到引用源。消y整理得错误!未找到引用源。，得到错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。很快．不过如果看到：将错误!未找到引用源。中的错误!未找到引用源。换下来，错误!未找到引用源。前的系数2用－2换下来，就得点N 的坐标错误!未找到引用源。，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量．本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线错误!未找到引用源。上也在直线A2N上，进而得到错误!未找到引用源。，由直线MN的方程错误!未找到引用源。得直线与x轴的交点，即横截距错误!未找到引用源。，将点M、N的坐标代入，化简易得错误!未找到引用源。，由错误!未找到引用源。解出错误!未找到引用源。，到此不要忘了考察错误!未找到引用源。是否满足错误!未找到引用源。．

◆方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已．因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了．相较法1，未知数更少，思路更明确．

◆方法点评：相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用，但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法．

例5、（动圆过定点）已知椭圆错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。是抛物线错误!未找到引用源。的一条切线．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点错误!未找到引用源。的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（I）由错误!未找到引用源。

因直线错误!未找到引用源。相切错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。，故所求椭圆方程为错误!未找到引用源。（II）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：错误!未找到引用源。