有理函数的不定积分

§7.3 有理函数的不定积分

(一) 教学目的：

会求有理函数的不定积分．

(二) 教学内容：

化有理假分式为有理真分式, 拆分为分项分式, 有理函数的不定积分．

(三) 教学建议：

通过讲练结合,掌握拆分分项分式, 从而掌握求有理函数不定积分的方法.

有理函数是指两个多项式的商表示的函数 m

m m n n n b x b x b a x a x a x Q x P ++++++=-- 110110)()( 其中n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 为常数，且00≠a ，00≠b 。

如果分子多项式)(x P 的次数n 小于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为真分式；如果分子多项式)(x P 的次数n 大于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为假分式。利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如：

1

111223++=+++x x x x x 因此，我们仅讨论真分式的积分。

先介绍代数学中两个定理：

定理1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式)(x Q 总那个可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积：

v s l k h rx x q px x b x a x b x Q )()()()()(220++++--=

定理2 （部分分式展开定理）

v v v s l l k

k h rx x H x R h rx x H x R h rx x H x R q px x Q x P q px x Q x P q px x Q x P b x B b x B b x B a x A a x A a x A x Q x P )()()

()()

()()()()()()()(222222112112222211221221++++++++++++++++++++++++++++-++-+-++-++-+-=

因此有理函数的积分问题就归结为求 ⎰-m c x dx )( 和 ⎰+++n q px x N Mx )(2。

P ．298-304例题

例1 将22

1a x -分成分项分式 例2 将2

22)1)(2(1322+-++x x x x 分成分项分式 例3 将323)

1()1(13-+-x x x 分成分项分式 例4 求 dx a x 221-⎰

例5 求

dx x x x x 22)1(4116-+-⎰ 例6 求 dx x 113+⎰

例7 求 dx x x x x 2

22)1)(2(1322+-++⎰ 补充例题

例 8 将6

532+-+x x x 化为部分分式，并计算⎰+-+dx x x x 6532 解：()()()()()()32233

23236532--+-+=-+-=--+=+-+x x B A x B A x B x A x x x x x x ⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=+=+653

231B A B A B A 故⎰⎰⎰+-+--=-+--=+-+C x x x dx x dx dx x x x )3ln(6)2ln(536256532

例 9 求

⎰++dx x x )1)(21(12 解：根据分解式(4-3)，计算得

221515

22154)1)(21(1x

x x x x ++-++=++

因此得

C x x x dx x

x d x x d x dx x dx x x dx x dx

x x x dx x x +++-+=++++-++=+++-+=++-++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arctan 5

1)1ln(51|21|ln 52 1151)1(1151)21(21152 1151125121252 151522154)1)(21(122222

222 例10 求 ⎰-2)1(x x dx 解：⎰⎰⎰⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=-+--=-dx x x x dx x x x x x x dx 222)1(1)1(1)1(1)1( C x x x dx x x x +---=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----=⎰111ln )1(11112 例11 求 ⎰++dx x x 1

142 解： C x x x x x x d dx x x x dx x x +-=+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰21arctan 2121111111222242 小结： 本节学习了有理函数的不定积分， 有理函数的不定积分总能用初等函数表示出来，有理函数存在初等函数的原函数（不定积分），有理函数的不定积分总能“积”出来。

作业：P.305 1, 3, 5, 6, 8, 10