常微分方程中常用的解题方法

常微分方程中常用的解题方法

1、变量分离法，一阶常微分方程求解有两个重要的方法：一是变量分离方法，

二是全微分方程及积分因子的方法。其中前者是通过适当的变形及变换，将自变量、自变量的微分和因变量的微分分别置于方程的两端，然后分别进行积分即可得方程的通解后者则是寻求适当的积分因子，将方程化为通解的恰当方程，进一

步得通解。如求方程

d

d

的通解。 y=0是解，若y ≠0，分离变量，得

ln|y|=x^2+c 。所以原方程通解

(c ∈R) 2、积分因子的方法 ，形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 的一阶微分方程，因为其

中X 和Y 的地位对等性，所以较之于一阶微分方程的常见形式

更具有一般性。若该方程中有

则存在u(x,y)，使得 du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy ，此时，该方程称为恰当微分方程，其通解为u(x,y) =c 。

当然大部分的方程并不是恰当微分方程，但是我们可以寻求与其通解的恰当微分方程，即可以寻求积分因子μ(x,y) ，使得通解方程μM(x,y)dx+μN(x,y)dy=0为恰当方程。积分因子的方法为求解一般的一阶微分方程提供了一种全新的思路。例

如求解ydx+(y-x)dy=0 解：

如μ(y)的积分因子，代入，得

，故与原方程通解的恰当方程为

3、待定系数的方法，待定系数的方法是大学数学分析类学科中应用较为广

泛的一种方法。在常微分方程中，该方法主要体现在已利用定性分析、解的结构

或其他方法确定了解的形式，

但是其中具体系数未定，这时我们往往将形式解代入微分方程，进一步求得系数或系数函数。应用该方法的关键在与确定的形式。

例如，求解方程

λ =+-1 ，

因为i 不是特征根，所以可以寻找形如 x'(t)=Acost+Bsint 的特解，代入原方程，得-2Acost-2Bsint=cost ，解得

A 1

2

所以

x' t

，从

而原方程通解为

x t

c 1e t c 2e t

4、参数的方法，参数解法是常微分方程中重要而常用的方法之一，参数解法

是一种变量变化的方法，即在常微分方程中引人一个或几个新的变量，并用该变

量表示方程中未知函数，表达式即为方程的参数解，新变量即称参变量，参数解法往往能解决一些基本方法不能解决的问题。例如，求解方程

x 3y'33

解 ：令y'=p=tx ，代入方程，得

x ，所以

p ，从而

所以原方程的通解为