3.3解对初值的连续性与可微性定理

y1 ( x1 , x0 , y0 ), 则由解的唯一性知,
(3.1.1)过点( x1 , y1 )与过点( x0 , y0 )的解是同一条积分曲线 ,
即此解也可写成: 且显然有:
y ( x, x1 , y1 ),
y0 ( x0 , x1 , y1 ),
由于点( x1 , y1 )是积分曲线上任一点 ,
2 了解解对初值及参数的可微性定理。
dy f ( x, y ) 考察 dx , ( x, y ) G R 2 y ( x0 ) y0
(1)
的解 y ( x, x0 , y0 ) 对初值的一些基本性质
内容:
•解对初值的连续性 •解对初值和参数的连续性 •解对初值的可微性
y ( x, x0 , y0 ) 是初值问题
dy f ( x, y ), y ( x0 ) y0 dx 的解，它于区间 a x b 有定义 (a x0 b) ，那么， 对任意给定的 0 ，必存在正数 ( , a, b) 使得当
( x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 2
§3.3 解对初值的连续性和可微性
/Continuous and differentiable dependence of the solutions/
§3.3 Continuity & differentiability
内容提要
解对初值的连续性

解对初值的可微性
本节要求： 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理；
a x b.
思路分析：
y ( x, x0 , y0 ) ( x ), x [a, b] (见下图) 记积分曲线段S： 显然S是xy平面上的有界闭集.
第一步:找区域D,使 S D ,且 f ( x, y) 在D上满足Lips.条件.
由已知条件,对 ( x, y ) S ,存在以它为中心的圆 Ci G,使 f ( x, y) 在其内满足Lips.条件,李普希茨常数为 Li.根据有限
( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e
2 2 2 L x x0
( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) e
2
2 L x x0
§3.3 Continuity & differentiability
( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e
区间
[a, ) 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性
问题.
§3.3 Continuity & differentiability
3.3.1 解对初值的对称性定理 设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，
( x0 , y0 ) G,
是初值问题
y ( x, x0 , y0 )
Q1: 解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值 ( x0 , y0 ) 的
微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容
包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b] 上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小? Q2: 解在某个无限闭区间 [a, )上有定义,讨论初值 ( x0 , y0 ) 的微小变化是否仍有解在 [a, ) 上有定义,且解在整个
到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为 (c, (c))和
(d , (d )),c d , 这是必然有 c a, d b.
§3.3 Continuity & differentiability
因为否则设 c a, d b, 则由引理
( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e L x x , c x d
因此关系式y0 ( x0 , x, y)对该积分曲线上任意 点( x, y)均成立。
§3.3 Continuity & differentiability
3.3.2解对初值的连续依赖性定理
假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希 茨条件， ( x0 , y0 ) G,
G
0
c a
x0 x0
b d
x
§3.3 Continuity & differentiability
断言，必存在这样的正数 ( , a, b) ( ), 使得只要 x0 , y0 满足不等式
( x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 2
则解 y ( x, x0 , y0 ) ( x) 必然在区间 a x b 也有定义。 由于D是有界闭区域，且 f (x，y)在其内关于 y 满足利普 希茨条件，由延拓性定理知，解 y ( x, x0 , y0 )必能延拓
时，方程满足条件 y( x0 ) y0 的解 y ( x, x0 , y0 ) 在区间
a x b 也有定义，并且
( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 ) , a x b
§3.3 Continuity & differentiability
y ( x, x0 , y0 )

图例分析(见右)
dy f ( x, y ) 2 , ( x , y ) G R dx y ( x0 ) y0
y
( x0 , y0 )
G
解可看成是关于 x, x0 , y0 dy ( x, x0y , y0 ) y y e x x0 的三元函数 y dx 例: 0 x(0x , 0y)0 ) 满足 y0 ( x y0 0 ,y
dy f ( x, y ), (3.1.1) dx y ( x0 ) y0
的唯一解，则在此表达式中， ( x0 , y0 ) 与 ( x, y ) 可以调 换其相对位臵，即在解的存在范围内成立着关系式
y0 ( x0 , x, y)
值x1 , 证明 在(3.1.1)满足y( x0 ) y0的解存在区间内任取一
0 0
0 , ( , a, b) 0使得当
( x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 2
时,方程(1)过点 ( x0 , y0 ) 的解 y ( x, x0 , y0 ) 在[a,b]上也有 定义,且 ( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 ) ,
t?
a
注意到 (t ) t x V ( x)及 (t0 ) V ( x0 )
V ( x) V ( x0 )e2 L( x x0 ) , a x x0
因此
V ( x) V ( x0 )e
2 L x x0
, a x b, a x0 b
0
两边取平方根，得
解对初值的对称性: y ( x, x0 , y0 )
前提
( x1 , y1 )
y ( x, x0 , y0 )
x
( x0 , y0 )
解存在唯一
y0 ( x0 , x, y)
Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？
按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:
2
2
2 L x x0 2 2 L x x0
( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) e 2 ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) ( x0 )

2
2
e
2 L x x0
2 y0 y0
2 1
第三步:证明
( x) ( x) , a x b

在不等式(*)中将区间[c,d] 换成[a,b]即得.
§3.3 Continuity & differentiability
解对初值的连续性定理 假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希
a
S : y ( x, x0 , y0 )
b
( x0 , y0 )
x
y
G
D
min( , / 2)
y0
p( x0 , y0 )
0
a
Fra Baidu bibliotek
x0
b
x
第二步:证明 ( x) ( x, x0 , y0 ) 在[a,b]上有定义.
y
D
min( , / 2)
y0
y0
p( x0 , y0 )
( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e L x x
解对初值的连续依赖性定理的证明
方程
dy f ( x, y) , dx ( x, y ) G R2 (1)
条件: I. f ( x , y ) 在G内连续且关于 y 满足局部Lips.条件; ( x0 , y0 ) G 的解,定义 II. y ( x, x , y )是(1)满足 区间为[a,b]. 结论: 对

2

) e2 L (ba 412e2 L(ba ) 2 , c x d ......(*)
于是 ( x) ( x) 对一切 x [c, d ] 成立，特别地有
(c) (c)
(d ) (d )
即点 (c, (c))和 (d , (d )) 均落在D的内部，而不可能 位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解 ( x)在区间 [a,b]上有定义。
引理 如果 f(x,y) 在某域 D 内连续，且关于 y 满足 利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)
任意两个解 ( x)及 ( x)在它们公共存在区间成立 不等式
( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e L x x
其中 x0 为所考虑区间内的某一值。 证明
V ( x)e2 Lx 2LV ( x)e2 Lx 0
于是
d (V ( x)e 2 Lx ) 0 dx
因此，在区间 [a,b] 上 V ( x)e2 Lx 为减函数，有
V ( x) V ( x0 )e2 L( x x0 ) , x0 x b
§3.3 Continuity & differentiability
0
1 L ( b a ) 必存在 0, , 2 由 ( x) 的连续性，对 1 e 2
使得当 x x0 2 时有 ( x) ( x0 ) 1
1 , 2 ), 则当 ( x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 2 取 min(
对于区间
a x x0 , 令 x t , 并记 x0 t0， 则 dy f (t , y ) dt 并且已知它有解 y (t ), y (t )
类似以上推导过程，令 (t ) [ (t ) (t )]2
s (t ) ＃s (t0 )e2 L(t- t0 ) , t0
0
设 ( x), ( x)在区间 a x b 均有定义，令
V ( x) [ ( x) ( x)]2 a x b 不妨设 ( x) ( x) 因此，有
§3.3 Continuity & differentiability
则
V ( x) 2[ ( x) ( x)][ ( x) ( x)] 2[ ( x) ( x)][ f ( x, ) f ( x, )] 2L[ ( x) ( x)][ ( x) ( x)] 2 LV ( x)
覆盖定理,存在N,当G
N
i 1
Ci
时,有 S G G
y
对 0 ,记 d (G, S ), min , / 2
L max L1, , LN
Ci
G
G
则以 为半径的圆,当其圆心从S的 左端点沿S 运动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D