1-4复变函数的极限和连续

z → z0 x → x0 y → y0 x → x0 y → y0 x → x0 y → y0
例 lim | z |=| z0 |
z → z0
因为|z|在整个复平面上连续
P27,6
14
z∈ E , z → z 0
lim
f (z) = A
2
• z→z0的路径无穷，不能都列举 的路径无穷，
z∈E , z → z0
lim
f ( z ) = A ⇔ lim
z∈E , z → z0
f ( z) − A = 0
z→ z → z0
lim [ f1 ( z ) ± f 2 ( z )] = A1 ± A2
8
定义： 定义：如果对于任给定常数 A > 0 ，存 0 在 δ = δ ( A ) > 0 ，使当 z ∈ E ， < | z − z 0 |< δ 时，有
| f ( z ) |> A
则称当z在E 中趋于 z0 时 记作
z∈ E , z → z 0
f (z ) 趋于无穷大 ，
lim
f (z) = ∞
z → z0
lim [ f1 ( z ) ⋅ f 2 ( z )] = A1 ⋅ A2
f1 ( z ) A1 A2 ≠ 0时， lim = z → z0 f ( z ) A2 2
3
• 复变函数在一点的极限可用两个二元实 函数在一点的极限来讨论， 函数在一点的极限来讨论，即
z → z0
lim f ( z ) = A ⇔
x0 =π (3) 在y＝0，x<0的半直线上 arg z0 = arccos − x0 x 可是 lim − arccos = − arccos( −1) = −π
x → x0 y →0 −

x2 + y2
所以分段定义的二元函数argz在y=0且x<0这些点处不连续 综上所述，argz在出去负实轴和原点的整个复平面上处处 连续。
6
与数学分析中的连续函数一样， 与数学分析中的连续函数一样，我们可类似 地证得以下定理 定理1 定理1 若函数 f (z )与函数 g(z) 均在点 z0 连 续，则 f ( z ) ± g ( z ) 和 f ( z ) g ( z ) 在点 z0 g(z0 ) ≠ 0 ，那么 f ( z ) 连续．进一步， 连续．进一步，如果 g (z) 连续。 在点 z0 连续。
§1-4 复变函数的极限和连续
一、复变函数的极限 二、复变函数的连续性
1
定义： 在复平面上已给点集E 定义：设函数 w = f (z ) 在复平面上已给点集E 的一个聚点， 为一复常数， 上确定， 上确定，A为E 的一个聚点，z 0 为一复常数， δ = δ ( ε ，使当 )> 0 ε,>存在 0 如果对任意 0 <时，z 0 |< δ |z− 有 且 z∈E | f ( z ) − A |< ε 趋于极 则称当z 在E 中趋于 z 0 时, w = f (z ) 趋于极 限A ，记作
Re z → Re z0 Im z → Im z0
lim Re f ( z ) = Re A
且
Re z → Re z 0 Im z → Im z 0
lim Im f ( z ) = Im A
4
z 定义： 在复平面上已给点集E上确定， 定义：设函数 w = f (z ) 在复平面上已给点集E上确定， 0 为 的一个聚点， E 的一个聚点，且 z 0 ∈ E ，如果对任意ε > 0 ，存在 δ = δ ( ε ) > 0 ，使当 z ∈ E 且 | z − z 0 |< δ 时，有
lim f ( z ) = f ( z0 )
z → z0
方法2： 当不能判断f(z)在z0点是否连续时， 方法 ： 首先，把f(z)写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。 然后，利用教材24页定理2，分别求两个函数u(x,y)和 v(x,y)的极限，即
lim f ( z ) = lim f ( z ) = lim u( x, y ) + i lim v ( x, y )
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定义：如果对于任给定常数ε 定义：如果对于任给定常数ε>0 ，存 在 ρ = ρ ( ε ) > 0 ，使当 z ∈ E 且| z | > ρ 时，有 | f ( z ) − α |< ε 则称当z 在E 中趋于无穷大 时 于 α ，记作
z∈ E , z → ∞
f (z )
趋
lim
f (z) = α
lim f ( z ) 不存在或存在但 lim f ( z ) ≠ f ( z0 ) z→ z z→ z
0 0
只需验证 z → z0 在某方向上 lim f ( z ) ≠ f ( z0 ) z→ z 或存在某方向 ( x, y ) → ( x0 , y0 ) 时，有
0
x → x0 y → y0
lim u( x, y ) ≠ u( x0 , y0 ) 或 lim v ( x, y ) ≠ v ( x0 , y0 ) x→ x
y → y0
0
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证明argz在原点和负实轴不连续
x arccos ( y ≥ 0) 2 2 x +y 由于 arg z = 是分段定义的二元函数 x − arccos ( y < 0) 2 2 x +y
当y>0或y<0时，显然是连续的。只要考虑y=0上的点函数 argz是否连续即可。 (1)由于当x0>0时有 xlim arccos →x
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函数在某点处连续性的判别 基本解法： 基本解法： (1)把函数f(z)化为形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (2)利用教材24页定理2判别u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)处是 否连续 若都连续，则f(z)在z0连续 若不连续，则 f(z0)无意义，即u(x0,y0), v(x0,y0)至少一个不存在
| f ( z ) − f ( z 0 ) |< ε
则称函数 w = f (z ) 在 z 0 点连续 ，若 f (z ) 在E 中每一点都 连续， 连续. 连续，则称 f ( z ) 在E连续.
5
• 定理：复变函数f(z)在点z0=x0+y0连续的 充要条件是实部和虚部的两个二元函数 在点(x0,y0)都连续。
y →0 +
0
x x +y x
2 2
= arccos
x0 x +0
2 0 2
=0
x → x0 y →0 −
lim arccos
x +y
2
2
=0
即当x → x0且 y → 0 时，函数的极限值等于在点(x0,0)处 的函数值，此二元函数在点(x0,0)处连续，因此argz在 正实轴连续。
12
(2百度文库 argz在z=0点无意义，因此不连续
f(z)=|z|的连续性？
f ( z ) = x 2 + y 2 是复变实值函数，是x,y的二元连续函数， 因此在整个复平面上连续。
P26,4 证明函数f(z)=ln|z|+iarg(z)在原点和负实
轴上不连续性。
13
函数极限的求法和极限不存在的判别法 方法1： 当容易看出f(z)在z0点连续时，可用函数在一 方法 ： 点处连续的定义来求极限。即
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定理2 定理2 函数 f (z )在简单曲线 C 或者有界闭区 上连续， 域 E 上连续，则 在它上为有界函数； ⑴ f (z ) 在它上为有界函数； 在它上能取到最大值与最小值； ⑵ f (z ) 在它上能取到最大值与最小值； 在它上一致连续， ⑶ f (z ) 在它上一致连续，即对任意的ε > 0 , 存在 δ =δ(ε) >0 ，使当 z1, z2 ∈E 或者 z1, z2 ∈C 且 | z 1 − z 2 | < δ 时，有 | f ( z 1 ) − f ( z 2 ) |< ε