数学符号研究论文

数学符号研究
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摘要
数学符号是数学发展的必然结果，可用数学符号来表示数量之间的关系。

数学外来符号的发展对我国数学的发展起到了突飞猛进的作用。

了解数学符号的演变历史，知道一些数学符号的由来，深入体会数学符号的演变过程，可以增进对数学学科学习的兴趣。

数学符号为数学的抽象思维提供了必要的物质形式，其对思维既有直接引导作用又提供了一种有形媒介；使抽象的内涵变成了具体的符号。

数学符号的使用可以提高数学理解的效率和质量，促进数学的发展。

数学语言的基础是数学符号，通过主题探究数学符号，体验数学符号语言明化数学问题、简化数学推理的过程，从而促发人们创造新的数学思维。

关键词：数学符号；符号由来；数学语言；数学符号应用
前言
我们现在通用的数学符号大约有两百多个，很多的数学符号的产生都是经历了漫长的历史才演变成今天这个样子，但是一些数学符号引进我国的历史还比较短。

数学符号的产生简化了数学原本具有的乏味，也是使数学语言更加的简明，俄国数学家罗巴切夫斯基说：“数学符号的语言更加完善，准确明了地提供了把一些概念传达给别人的方法。

利用了数学符号，数学上的每个论断和它所描述的东西就可以更快的被别人所了解。

”数学符号从最初的产生，经历了多次的演变，最终全世界得以使用统一的数学符号语言。

一、一些数学符号的由来
我国在很早的时候就出现了数学符号——甲骨文数码。

甲骨文数码出现于公元前16世纪，其也就是表达数的数学符号，共有13个，如下图：
图1-1 甲骨文数码
在我国的数学历史长河中，经历了无数次的演变，形成了以“一，二，三，···，十”这样的数的数学符号，但是我们发现，即便是我们现在所用的简体字“一，二，三，···，十”也很难和数学符号联系在一起。

用起来也很不舒服。

总之比不上阿拉伯数字“1，2，3，···，10”用起来简便，一目了然。

阿拉伯数字的产生地在印度，在公元前2500年左右，古印度出现了一种称为哈拉巴数码的铭文记数法，这就是我们今天所熟悉的阿拉伯数字的在在雏形，后经阿拉伯人把它传播到世界各地，后来才被世界所通用。

我们现在所用的简单的“+”号，我们看似简单，但是它从最开始的产生到现在的这个样子经历了漫长的历程。

“+”号是从拉丁文“et”演变而来的，十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“plu”（加的意思）的第一个字母“p”来表示加，草为“”最后都演变成了“+”号。

我们现在所用的“—”号是从拉丁文“minus”（减的意思）演变来的，简单写成m，再省略掉字母，就成了“—”了。

也有人说，卖酒的商人用“—”来表示酒桶里的酒卖了多少。

以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“—”上加一竖，意思是把原线条勾销，样就成了个“+”号。

到十五世纪，德国数学家魏德美正式开始在他所著的数学中以“+”用作加号，“—”用作减号。

直到16世纪，经数学家韦达的提倡和宣传，“+”，“—”号才获得大家的公认，后一直沿用至今。

乘法符号“⨯”是由英国数学家奥特雷德于1631年在他的著作中首次使用。

但是莱布尼茨反对使用它，原因是它与X相混，赞成用“·”来表示乘。

“⨯”与“·”就这样相持竞争着，一直到现在，“⨯”与“·”都用来表示乘法。

我们再小学的时候学习过乘法口诀“一一得一，一二得二，···，九九八十一”有了“⨯”号及阿拉伯数字符号，可以使乘法口诀更加国际化，更加明了了。

除法符号“÷”是由“:”以及“—”合二为一而成的。

1631年英国数学家奥屈特曾经用“:”
表示“除”或“比”，当时也有人主张用“—”来表示相除（即现在的a
b
），后来
瑞士的拉恩把“：”与“—”合二为一而成为我们今天所熟悉的“÷”号。

等于号“=”是1540年由英国数学家雷科德首先使用的，他认为“最相像的两件东西莫过于两条平行线”。

“=”的普遍使用是17世纪以后了。

小括号“（）”是1544年出现的，或称为圆括号。

对于中括号“[]”，大括号“{}”都是由数学家韦达1593年引入的。

1631年美国代数学家哈里奥特首创了大于号“>”和小于号“<”。

近似号“≈”和全等号“≌”在17
国数学家笛卡尔首先在17世纪初使用。

指数符号“n a”的产生经历了复杂的演变过程，从14世纪的法国的奥利深，1484年法国的舒开，1637年的笛卡尔，直到1801年由法国著名数学家高斯用2x代替xx。

而较高的幂指数3x，4x等则是由笛卡尔开始引用的，但是没有用n x。

直到牛顿指出不论什么指数，都用“n a”来表示。

对数符号“log，ln”：“log”是“logarithm（对数）”的缩写，进一步缩写“lg”表示以10为底的对数即常用对数。

以e为底的对数称为自然对数，用符号“ln”来表示。

“log，ln”这两个对数符号由德国数学家开普勒于1624年首创。

圆周率及圆的周长与直径之比。

我国古代数学家祖冲之已经算出其值在3.1415926与3.1415927之间，但是没有用符号π来表示圆周率。

1706年英国数学家琼斯提出了用希腊字母“π”来表示圆周率。

数学符号经历了漫长的演变才能成为现今国际化的语言。

它不仅简化和丰富
了数学理论的表达方式，还支撑着数学学科的一个庞大的符号体系。

伴随着一个新概念的产生，必定会有一个或一组新符号的诞生。

数学符号不断地推动着数学继续向前高速发展。

二、数学符号与数学
（一）数学符号与数学语言
数学符号的形成是数学语言形成的基础。

数学符号就是最为明了、具有可操作性、通用性、简洁性、无歧义性的数学语言。

“+”，“-”，“⨯”，“÷”这些简单的数学语言符号，我们的生活当中无处不在，其作用是最为明了的。

数学语言具有操作性，数学符号简化了数学问题，符号的操作，最终的作用是解决了问题。

数学语言是现代数学界的通用语言，只要知道了一些数学符号，不管你是美国人还是中国人都能读懂其表示的数学意义。

繁杂的数学问题能用数学符号语言表示出来，使其达到简化、简洁，没有了太多的“啰嗦”。

数学语言的绝对精确性,消除了模棱两可、似是而非的现象,不会引起认识上的误会，如有些人会对f 和f(X)所表示出来的数学意义混淆不清。

但是数学语言表示出来的是f 代表的是对应法则，而f （X ）所表示的是X 在f 下的函数值。

（二）数学符号与中国古代数学
在世界数学史上，中国古代数学堪称世界先例。

我国在纸张没有发明以前，已经开始用“算筹”进行记数和运算了。

“算筹”是指用来计算用的小竹棍(或木、骨棍)，这也是世界上最早的计算符号。

我国流传至今最早的数学著作是《九章算术》。

在这本古代数学著作中有个著名的例子：把线性方程组
32392334
2326x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
用算筹码表示成下图
图2-1 算筹码
上图中的算筹码表示出来数的符号，但是未知符号没有表示。

上图所表示的是现代教科书中的增广矩阵。

这样的列子在《九章算术》中还有，书中有一章是专讲盈亏问题及其解法的“盈不足”章。

其中有一题：
“今有（人）共买物，（每）人出八（钱）盈（余）三钱；（每）人出七（钱）不足四（钱），问人数、物价各几何”。

其解法如下：置所出率，盈、不足各居其下，今维乘所出率，并以为实，并盈，不足为法，······置所出率，以少减多，余，以约法，实。

实为物价，法为人数。

其算筹演算如下图： 所得率
盈 不足
维乘得
实
法
图2-2 算筹演算图
所以人数为7个，物价为53钱。

其盈不足术，用现代数学符号体系表示为：
12112b b k a a +=- 2112212
a b a b k a a +=- 其中1k ，2k 分别为“物价”，“人”；12,a a 为所出率，12,b b 为相应“所出率”的“盈”
或“不足”。

又如我国古代的《孙子算经》（纪元前后）提出了如下问题：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”“答曰二十三”。

这是一道求含有一个未知数的同余式。

用现在的数学语言翻译过来就是：
设x 是所求物数，则依题意
2(mod3)x ≡ ， 3(mod5)x ≡ ， 2(mod7)x ≡。

《算子算经》里面的所用的解法用今天的数学符号语言列表解同余式如下表：
把上面的结果加以推广就成了我们今天的初等数论里面的孙子定理，即设12,,,k m m m L 是k 个两两互质的正整数，12,,1,2,,,k i i m m m m m m M i k ===L L 则同于
式组1122(mod ),(mod ),,(mod )k k x b m x b m x b m ≡≡≡L 的解是:''111222x M M b M M b ≡+
'(mod ),k k k M M b m ++L 其中'1(mod ),1,2,,.i i i M M m i k ==L
在《算法统宗》一书中有道“百羊问题”，其实也就是一首诗歌，题目我们现在看起来意义不甚明朗，但是用今天的代数里面的解方程很容易解答。

题目如下：
甲赶羊群逐草茂，乙拽一样随其后。

戏问甲及一百否？甲云所说无差谬；
若得这般一群凌，于添半群小羊群；
得您一只来方凌，玄机奥妙谁猜透。

其解答为：设原有羊x 只，据题意，有
11110024
x x x x ++++= 解得x=36，故知道甲原有羊36只。

由于引进了数学符号未知数符号“x ”，加号“+”和阿拉伯数字，可以很直观的表示出来要求的解。

我国清代时的数学家李善兰（1811--1822），在他的一些译著作里引进出现
了一些西方的数学符号，如前面所述的加号“+”，减号“—”，乘号“⨯”，除号
“÷”。

但其著作还有许多汉字，当时的阿拉伯数字1，2，3···用汉字一，二，三···所代替。

a，b，c，···，f，g则用甲，乙，丙，···癸来代替，而k，l，m，···，v用十二字地支（子，丑，寅，···，亥）所代替，等等。

对于这样的一些古书的数学记载，不备今人所理解，就是因为没有发明并使用数学符号，这也是我国数学随着历史而落后于世界的原因。

如李善兰记载的（1）天彳天⊥地彳地 = 卯地彳天
（2）二天⊥三地┬人 = 四五
以上两题一般人没有经过专业的研究很难读懂，用我们今天的数学语言符号体系表示成：
+=
(1)xdx ydy nydx
+-=
x y z
(2)2345
（三）数学符号与现代数学
集合是现代数学的基本概念，其概念与方法几乎渗透到现代数学的各个分支以及其他自然学科。

集合论和数理逻辑的符号也正逐步向数学发展的各个领域渗透。

19世纪中叶以来，意大利数学家皮亚诺引进了集合论与数理逻辑的一些符号。

如：
用英文大写字母A，B，C，······表示集合，小写字母a，b，c，······表示集合的元素；
∈-----属于；U-----并；I-----交；
∅-----空集；
A
C-----A的补集；⊆------包含；
:f X Y
→------f是映射X入Y的映射；
T-----真命题（真）；F-----假命题（假）；
⇒-----推出(或蕴含 ,或弱收敛) ;
⇔------等价(或当且仅当) ;
等等一些符号，上面所列出的只是基本的的数理逻辑符号。

数学符号紧密地运用于数学新发展起来的数学学科分支。

二十世纪发展起来的数学新分支的一些学科，如：数理逻辑、泛函分析、模糊数学、突变理论、拓扑学、组合数学、数学建模等等。

这些学科对数学符号的规范化要求越来越高，数学符号种类也越来越多，所表示的意义也不是原来的那么单一。

比如英国数学家使数理逻辑真正地成了代数符号化，他给出了现代所谓的“布尔代数”的原型，即其对象是事物的类，“1”表示全类，“0”表示空类；“x y
+”表示x和y两类所合成的类，运算是逻辑加法；“xy”表示的是x和y的同分子所组成的类，运算是逻辑乘法；所以逻辑命题可表示为：凡x是y可表示成x（1—y）=0，没有x是y可表示成xy=0，它还可以表示矛盾律x（1—x）=0；排中律x+（1—x）=1。

数理逻辑的兴起，把原有的数学符号的意义赋予了另外的意义，使数学符号的意义没有了单一，数学符号也因此而得到了扩充。

一些数学符号随着新学科的诞生
也随之诞生，有些符号我们会觉得不可思议。

如：符号0
（the sign
），一看，
按我们较为传统的认识理解分母为零，没意义了，这符号还有什么用，其实不然，
在现代数学分析教程中，符号0
表示分子、分母同时趋于零的一种不确定的分式
极限形式，简称“零分之零型的不定式”。

随着计算机的诞生，电子计算机进入数学领域，产生深远而巨大的影响。

MATLAB9(MATrix LABoratory)数学应用软件就是针对数学建模而开发的，其中的一些数学符号也随之被计算机所运算应用。

数学符号变得越来越繁杂，同时也越来越严谨，逻辑性也越来越高而不失规范化。

数学符号渗透到数学的各个领域，在我国现代数学发展史中，出现中国函数论的学科奠基人——陈建功，开拓了我国研究单叶函数论、复变函数逼近论以及拟似共形映射的三个方向。

著有《三角级数论》、《直交函数级数的和》、《实函数论》等。

在他的研究的领域里和这些著作中，都采用了国际上通行的先进的数学符号。

1935年7月25日，中国数学会成立。

我国数学科学从此进入了一个新的时代，得到了突飞猛进的发展。

涌现出了华罗庚、陈省深、陈景润、吴文俊等一些国内外著名的数学家。

三、数学符号在其它学科中的应用
当今数学已经应用到生物、物理、化学、计算机等等自然学科。

不仅数学的发展依赖于先进的数学符号，其他自然学科的成熟发展也是如此。

由于牛顿、麦克斯韦、爱因斯坦等科学家分别使用了微积分、偏微分方程、黎曼方程、矩阵等数学工具，才促使了其他自然学科的发展，特别是物理科学的发展。

数学符号在当中扮演了相当重要的角色。

在物理学科当中应用最广的就是函数符号、积分符号。

数学符号语言的应用是非常广泛的，随着数学符号语言的被运用产生了其它新的学科分支。

数学符号是数学体系与其它自然科学体系的桥梁，促使数学体系与其它自然科学体系更好地服务于人类。

结论
数学符号来源于生活，数学符号的诞生促进了数学的空前发展。

其经历了漫长的历史演变，最终成为了现在通用的数学语言。

数学符号在国古代的数学当中早就有使用，在我国古代数学所使用的数学符号工具没有得到很好的发展，所使
用的数学符号过于繁杂，没有简化明了，但其为推动数学学科在我国的发展起到了不可磨灭的作用。

现代数学符号紧密的运用于数学学科所产生的新的分支，基本的数理逻辑符号是现代数学符号的基础，其渗透到数学的各个分支体系。

越来越多的数学符号产生，随之产生了数学的分支，数学符号推动了数学的不断发展。

数学符号应用于其它自然学科，把数学学科与其他自然科学紧密的联系起来，更好地推动了社会的进步。

参考文献
[1] 张景中，易南轩。

《数学美拾趣（第二版）》[M]。

北京：科学出版社，2004。

232—237。

[2] 车燕，任开隆。

数学符号及其历史和作用[D]。

北京：北京联合大学学报，2001。

[3] 方坤夫。

数学符号与数学发展[D]。

湖南：湖南师专学报，1993。

[4] 孙金海。

《数学物理方程与特殊函数》[M]。

北京：高等教育出版社，2001。

97—102。