基于投影矩阵的数码相机定位

基于投影矩阵的数码相机定位

摘 要

本文根据数码相机定位的相关数据图像，建立了一个多坐标系下投影矩阵的相机定位模型，并对模型进行了检验，使用立体几何的方法解决了双目定位。

1.针对问题一，根据图像坐标系、摄像机坐标系与世界坐标系之间关系及摄像机标定原理，引入了投影矩阵M ：

11031

120321303310321031

22032

23033

2033132

33

3x x x x y y y y f r u r f r u r f r u r f t u t M f r v r f r v r f r v r f t v t r r r t ++++⎡⎤

⎢⎥=++++⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

导出了世界坐标系中的点与其投影点之间的关系：

[][]1 M 1 T

T c w w

w Z u v X Y Z =

其中投影矩阵M 至少需要6个控制点才能确定。

2.问题二是在问题一的基础上，利用仿射变换的不变性，通过公切线交点法，确定出投影矩阵M ，从而得到靶标上圆的圆心在图像坐标系和摄相机坐标系中的坐标。如下表：

3.针对问题三，先求出靶标平面上特殊点（即控制点）在像平面上的坐标，然后将其与在像平面上相应点的距离作为检验模型的参数。通过测定得出该模型的误差小于3个像素，由此得出该方法有较高的精度和稳定性。

4.针对问题四，建立以靶标为xoy 面的空间直角坐标系，根据靶标及其对应的像，采用立体几何的方法建立了相机相对位置的数学模型，确定了两个相机在坐标系下的坐标以及其光轴与靶标平面的夹角。

关键字：世界坐标系投影矩阵控制点几何分析

一问题重述

数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，则必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。

（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；

（2）对由题中给出的图像分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；

（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；

（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

二 模型假设

（1）靶标为物平面；

（2）相机在拍照时，机身不晃动且靶标也是静止的； （3）在拍照时，光线充足； （4）不考虑拍照时发生畸变； （5）相机的焦距是不变的。

三 符号说明

(,,)w w w X Y Z 靶标中某一点的坐标（世界坐标系） (,,1)u v

像坐标系下点的坐标 (,,)c c c X Y Z 摄像机坐标下点的坐标

12M M M 、、 投影矩阵、外部参数矩阵、内部参数矩阵 ,dx dy

一个像素在x 轴和y 轴上的物理尺度 00(,)u v

光学中心在向坐标系下的坐标 R

旋转矩阵 t

三维平移向量

x y a a 、 焦距与一个像素物理尺寸的比 ij r

旋转矩阵中的元素 1234,,,H H H H …

靶标上圆共切线的切点 1234,,,H H H H ''''… 靶标上圆共切线的切点的像 ,,,,A B C D E '''''

靶标上圆的像 1020,h h … 靶标上圆的其它切点 12,h h …

圆对应像中的切点 a b c d 、、、

靶标所在平面方程的系数

α、β

靶标平面法向量与z 轴和光轴的夹角， p q 、

垂点及光轴与靶标平面的交点

四 模型分析建立与求解

4.1问题一

由于物平面（靶标）与相机像平面是分离的，而且靶标中的点(,,)w w w X Y Z 与像平面中的点(,,1)u v 是一一对应的关系，据此我们可以求得靶标中的点与像平面中的点满足的矩阵方程式(,,1)(,,)T T w w w u v M X Y Z =，只要确定投影矩阵M ，就可以确定靶标上任一点（例如圆的圆心）在该相机像平面的像坐标。这就是解决问题的相机模型。

这里(,,1)u v 中的,u v 是图像上定义的直角坐标系，每一个像素的坐标(,)u v 分别是指该像素在矩阵中的列数和行数，而z 坐标1是指三维图形所形成平面的像，称为齐次坐标。 4.1.1题目使用的四个坐标系

（1）世界坐标系

图一中w w w w O x y z -，在世界坐标系中，三维空间中的一点可以表示为

(,,)w w w w P X Y Z =。在本题中，靶标上的点就是在世界坐标系中度量的。

（2）照相机坐标系

图一中c c c c O x y z -，该坐标系以相机镜头的光学中心为原点,光轴为z 轴。摄像机坐标系上的一点可以表示为(,,)c c c c P X Y Z =。

（3）像素坐标系

图一中,u v ，每一个像素的坐标(,)u v 分别是指该像素在矩阵中的列数和行数。由于(,)u v 只表示像素位于矩阵中列数和行数，并没有用物理单位表示出该像素在图像中的位置，因而需要建立以物理单位（毫米）表示的图像坐标系。

（4）图像坐标系

图1中o xy -，该坐标系以图像内某一点o 为原点，x 轴与y 轴分别与,u v 轴平行，(,)x y 表示以毫米为单位的图像坐标系坐标。本题中，原点o 定义在相机