2019-2020学年山东省济宁市金乡县八年级(上)期末数学试卷 及答案解析

2019-2020学年山东省济宁市金乡县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若分式a2−1
a−1
有意义，则a满足的条件是()
A. a≠1的实数
B. a为任意实数
C. a≠1或−1的实数
D. a=−1
2.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国
北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
3.一种新型材料的厚度大约为0.075忽米(1忽米=10−5米)，则此新型材料的厚度用科学记数法可
表示为()
A. 7.5×10−2米
B. 7.5×10−6米
C. 7.5×10−7米
D. 75×10−6米
4.若式子
√2x−1
在实数范围内有意义，则x满足()
A. x>1
2B. x<1
2
C. x≤1
2
D. x≥1
2
5.一艘轮船在静水中的最大航速为35km/ℎ，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间与以最
大航速逆流航行90km所用时间相等，设江水的流速为v km/ℎ，则可列方程为()
A. 120
v+35=90
v−35
B. 120
35−v
=90
35+v
C. 120
v−35=90
v+35
D. 120
35+v
=90
35−v
6.若等腰三角形中有两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为()
A. 13
B. 13或17
C. 10
D. 17
7.下列运算正确的是()
A. a10÷a5=a2
B. (x−y)2=x2−y2
C. 4a3⋅(−3a3)=−12a6
D. (a3)4=a7
8.如图所示，将△ABC沿着DE折叠，使点A与点N重合，若∠A=
65°，则∠1+∠2=()
A. 25°
B. 65°
C. 115°
D. 130°
9.如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E是CD上一动点，
将△ADE沿直线AE折叠后，点D落在点F处，DF的延长线交BC于
点G，EF的延长线交BC于点H，AE与DG交于点O，连接OC.则下
列结论中：①AE=DG；②EH=DE+BH；③OC的最小值为2√5−2；
④当点H为BC的中点时，∠CFG=45°.其中正确的有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式(a+b)n的展
开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”
根据”杨辉三角”请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为()
A. 84
B. 56
C. 35
D. 28
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.因式分解：a2−3ab=______．
12.已知点P(−3,1)，点A与点P关于y轴对称，则A点的坐标为______．
13.若x2+mx+16是完全平方式，则m=______．
14.若实数x，y满足√x−2+(y+√3)2=0，则y x的值为______．
15.如图，已知长方形ABCD的边长AB=16cm，BC=12cm，点E在边AB
上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C
向运动，同时，点Q在线段CD上由点D向C点运动．则当△BPE与△CQP全等时，P运动时间t为______ s.
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）
16.计算：
(1)(x+2y)(x−2y)+4(x+y)2
(2)(1−a2
a+2
+a−1)÷
a2−a
a2+4a+4
17.解分式方程：x−2
x −3
x−2
=1．
18.如图，电信部门要在公路m和公路n之间的区域内修建一座电视信号发射塔P.按照设计要求，
发射塔P到地点A和地点B的距离相等，到两条公路m和公路n的距离也相等．
(1)在所给的图中，作出发射塔P所处的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)简单说明作图的依据．
19.我市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽
可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加了20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？
20.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在边AB、AC上，DE//BC．
(1)试问△ADE是否是等腰三角形，并说明理由．
(2)若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC=8.求△ABC
的周长．
21.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是
边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形.并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1:________;方法2:________;
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系是________;
(3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2(请
画出这个图形即可);
(4)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值;
②已知(2018−a)2+(a−2017)2=5，求(2018−a)(a−2017)的值．
22.已知，如图(1)，a、b、c是△ABC的三边，且使得关于x的方程(b+c)x2+2ax−c+b=0有
两个相等的实数根，同时使得关于x的方程x2+2ax+c2=0也有两个相等的实数根，D为B点关于AC的对称点．
(1)判断△ABC与四边形ABCD的形状并给出证明；
(2)P为AC上一点，且PM⊥PD，PM交BC于M，延长DP交AB于N，赛赛猜想CD、CM、
DP三者之间的数量关系为CM+CD=√2CP，请你判断他的猜想是否正确，并给出证明；
(3)已知如图(2)，Q为AB上一点，连接CQ，并将CQ逆时针旋转90°至CG，连接QG，H为
GQ的中点，连接HD，试求出HD
．
AQ
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
有意义，
解析：解：∵分式a2−1
a−1
∴a−1≠0，
解得：a≠1．
故选：A．
直接利用分式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
2.答案：D
解析：
此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
3.答案：C
解析：
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.075忽米=7.5×10−7米.
故选C．
4.答案：A
解析：
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解：由题意得，2x−1>0，
解得x>1
2
．
故选A．
5.答案：D
解析：
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程．
根据题意可得顺水速度为(35+v)km/ℎ，逆水速度为(35−v)km/ℎ，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等，根据等量关系列出方程即可．
解：设江水的流速为vkm/ℎ，根据题意得：
120 35+v =90
35−v
，
故选D．
6.答案：D
解析：解：(1)若3为腰长，7为底边长，由于3+3<7，则三角形不存在；
(2)若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+3=17．
故选：D．
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
7.答案：C
解析：解：A、a10÷a5=a5，此选项错误；
B、(x−y)2=x2−2xy+y2，此选项错误；
C、4a3⋅(−3a3)=−12a6，此选项正确；
D(a3)4=a12，此选项错误；
故选：C．
根据幂的运算法则与单项式乘单项式的法则及完全平方公式计算可得．
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握幂的运算法则与单项式乘单项式的法则及完全平方公式．
8.答案：D
解析：解：∵△NDE是△ADE翻折变换而成，
∴∠AED=∠NED，∠ADE=∠NDE，∠A=∠N=65°，
∴∠AED+∠ADE=∠NED+∠NDE=180°−65°=115°，
∴∠1+∠2=360°−2×115°=130°．
故选：D．
先根据图形翻折变化的性质得出∠AED=∠NED，∠ADE=∠NDE，再根据三角形内角和定理即可求出∠AED+∠ADE及∠NED+∠NDE的度数，再根据平角的性质即可求出答案．
本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9.答案：D
解析：解：∵四边形ABCD是正方形，
∵AD=CD，∠ADE=∠DCG=90°，
∵AE⊥DG，
∴∠AOD=90°，
∴∠DAE+∠ADO=90°，
∵∠ADO+∠CDG=90°，
∴∠DAE=∠CDG，
∴△ADE≌△DCG(SAS)，
∴AE=DG，故①正确，
连接AH，
∵AD=AF=AB，AH=AH，
∴Rt△AHF≌Rt△AHB(HL)，
∴HF=BH，
由翻折可知：ED=EF，
∴EH=EF+FH=DE+BH，故②正确，取AD的中点K，连接OK，CK．
∵∠AOD=90°，DK=AK，
AD=2，
∴OK=1
2
∵CK=√DK2+CD2=2√5，
∵OC≥CK−OK，
∴OC≥2√5−2，
∴OC的最小值为2√5−2，故③正确，
连接BF．
∵HB=HC=HF，
∴∠BFC=90°，
∵AD=AF=AB，∠DAB=90°，
∴∠ADF=∠AFD，∠AFB=∠ABF，
∴∠AFD+∠AFB=135°，
∴∠BGF=45°，
∴∠CFG=90°−45°=45°，故④正确，
故选：D．
①证明△ADE≌△DCG(SAS)，可得结论．
②分别证明ED=EF，HF=HB即可．
③利用三角形的三边关系解决问题即可．
④首先证明∠BFC=90°，再证明∠BFD=135°，即可解决问题．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
10.答案：B
解析：解：找规律发现(a+b)4的第四项系数为4=3+1；
(a+b)5的第四项系数为10=6+4；
(a+b)6的第四项系数为20=10+10；
(a+b)7的第四项系数为35=15+20；
∴(a+b)8第四项系数为21+35=56．
故选：B．
根据图形中的规律即可求出(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数．
此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
11.答案：a(a−3b)
解析：
本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．
先确定公因式为a，然后提取公因式整理即可．
解：a2−3ab=a(a−3b)．
12.答案：(3,1)
解析：解：∵点P(−3,1)，点A 与点P 关于y 轴对称，
∴A 点的坐标为：(3,1)．
故答案为：(3,1)．
直接利用关于y 轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
13.答案：±8
解析：解：∵x 2+mx +16是完全平方式，
∴m =±8．
故答案为：±8．
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m 的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.答案：3
解析：
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
根据非负数的性质列出方程求出x 、y 的值，代入所求代数式计算即可．
解：根据题意得：{x −2=0y +√3=0
， 解得：{x =2y =−√3
， 则y x =(−√3)2
=3
故答案为3． 15.答案：1或3
解析：
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握三边对应相等的两个三角形全等．
分别利用：①当EB =PC 时，△BPE≌△CQP ，②当BP =CP 时，△BEP≌△CQP ，进而求出即可． 解：①当EB =PC 时，△BPE≌△CQP ，
∵AB =16cm ，AE =6cm ，
∴BE =10cm ，
∴PC=10cm，
∵CB=12cm，
∴BP=2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，∴时间为：2÷2=1s；
②当BP=CP时，△BEP≌△CQP，
设x秒时，BP=CP，
由题意得：2x=12−2x，
解得：x=3，
故答案为：1或3．
16.答案：解：(1)(x+2y)(x−2y)+4(x+y)2
=x2−4y2+4(x+y)2
=x2−4y2+4(x2+2xy+y2)
=x2−4y2+4x2+8xy+4y2
=5x2+8xy
(2)(1−a2
a+2
+a−1)÷
a2−a
a2+4a+4
=[1−a2
a+2
+
(a−1)(a+2)
a+2
]÷
a2−a
a2+4a+4
=(1−a2+a2+2a−a−2
a+2
)÷
a2−a
a2+4a+4
=a−1
a+2
÷
a(a−1)
(a+2)2
=a−1
a+2
×
(a+2)2
a(a−1)
=a+2
a
．
解析：(1)根据平方差公式和完全平方公式对要求的式子进行化简即可；
(2)先把括号里面的式子进行通分，再把分子与分母进行因式分解，然后约分即可得出答案．
此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
17.答案：解：方程x−2x −3
x−2=1， 去分母得：x 2−4x +4−3x =x 2−2x ，
解得：x =4
5， 经检验x =45是分式方程的解．
解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.答案：解：(1)如图所示：
(2)依据：角平分线上的点到角的两边的距离相等；线段的中垂线上的点到线段两个端的距离相等．
解析：(1)作线段AB 的垂直平分线，再作直公路m 和公路n 的夹角的角平分线，两线的交点就是P 点；
(2)根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质解答即可．
此题主要考查了应用设计与作图，关键是掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 19.答案：解：设原计划每天铺设管道x 米，
依题意得：120
x +300−120
x(1+20％)=27，
解得x =10，
经检验，x =10是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设管道10米．
解析：设原计划每天铺设管道x米，根据需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，根据等量关系：铺设120米管道的时间+铺设(300−120)米管道的时间=27天，可列方程求解．
20.答案：解：(1)△ADE是等腰三角形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED．
(2)∵BM平分∠DBC，
∴∠DBM=∠MBC，
∵DE//BC，
∴∠DBM=∠DMB，
∴DM=DB，同理可证：EM=EC，
∵AD+DE+AE=AD+DM+EM+AE=AD+DB+AE+EC=AB+AC=20，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=28．
解析：(1)欲证明AD=AE，只要证明∠ADE=∠AED．
(2)只要证明AB+AC=AD+DE+AE=20即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.答案：解：(1)(a+b)2；a2+b2+2ab；
(2)(a+b)2=a2+2ab+b2；
(3)如图所示：
(4)①∵a+b=5，
∴(a+b)2=25，
∴a2+b2+2ab=25，
又∵a2+b2=11，
∴ab=7；
②设2018−a=x，a−2017=y，则x+y=1，
∵(2018−a)2+(a−2017)2=5，∴x2+y2=5，
∵(x+y)2=x2+2xy+y2，
∴xy=(x+y)2−(x2+y2)
2
=−2
即(2018−a)(a−2017)=−2．
解析：
本题考查完全平方公式的几何背景，
(1)如图所示，根据边长和面积写出代数式即可;
(2)如图所示，写出等式即可;
(3)画出长为(a+2b)宽(a+b)的矩形即可．
(4)利用完全平方公式和整体思想即可解答．解：(1)图2大正方形的面积=(a+b)2；
图2大正方形的面积=a2+b2+2ab，
故答案为(a+b)2；a2+b2+2ab；
(2)(a+b)2=a2+2ab+b2，
故答案为(a+b)2=a2+2ab+b2；
(3)见答案；
(4)见答案．
22.答案：解：(1)结论：△ABC是等腰直角三角形．四边形ABCD是正方形；理由：∵关于x的方程(b+c)x2+2ax−c+b=0有两个相等的实数根，
∴4a2−4(b+c)(b−c)=0，
∴a2+c2=b2，
∴∠B=90°，
又∵关于x的方程x2+2ax+c2=0也有两个相等的实数根，
∴4a2−4c2=0，
∴a=c，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D、B关于AC对称，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
(2)猜想正确．
理由：如图1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PCE=∠PCF=45°，
∵PE⊥CB，PF⊥CD，
∴PE=PF，
∵∠PFC=∠PEM=∠ECF=90°，PM⊥PD，
∴∠EPF=∠MPD=90°，四边形PECF是正方形，
∴∠MPE=∠DPF，
∴△PEM≌△PFD，
∴EM=DF，
∴CM+CCE−EM+CF+DF=2CF，
∵PC=√2CF，
∴CM+CD=√2PC．
(3)连接DG、CH，作QK⊥CD于K.则四边形BCKQ是矩形．
∵∠BCD=∠QCG=90°，
∴∠BCQ=∠DCG，
∵CB=CD，CQ=CG，
∴△CBQ≌△CDG，
∴∠CBQ=∠CDG=90°，BQ=DG=CK，
∵CQ=CG，QH=HG，
∴CH=HQ=HG，CH⊥QG，
∵∠CHO=∠GOD，∠COH=∠GOD，
∴∠HGD=∠HCK，
∴△CKH≌△GDH，
∴KH=DH，∠CHK=∠GHD，
∴∠CHG=∠KHD=90°，
∴△DHK是等腰直角三角形，
∴DK=AQ=√2DH，
∴DH
AQ =√2
2
．
解析：(1)结论：△ABC是等腰直角三角形．四边形ABCD是正方形；根据根的判别式=0即可解决问题；
(2)猜想正确．如图1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F.只要证明△PEM≌△PFD即可解决问题；
(3)连接DG、CH，作QK⊥CD于K.则四边形BCKQ是矩形．只要证明△CKH≌△GDH，△DHK是等腰直角三角形即可解决问题；
本题考查四边形综合题、正方形的性质和判定．等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。