条件概率

§ 1.4 条件概率

一、条件概率

条件概率的直观定义：设有事件A ，B ，P （A ）>0，在事件A 发生的条件下，B 发生的概率称为条件概率。记为P （B|A ）

条件概率的性质

i i j i i i 1

i 11P(|A)12P(|)13i=12,i j,P(

|)P(|)B S A B B A B A φ∞∞

==≤≤=≠=∑（） 非负性：0；

（） 规范性： =；

（） 可列可加性；若B ，，，....，且B 则有；

以上是三条基本性质，象前面一般概率一样也可推出以下性质：

(1)P(|)0A φ=

i i j n

n i i i 1i 1i=12,i j,

P(

|)P(|)B B A B A φ===≠=∑（2）有限可加性；若B ，，，....，且B 则有；

(3)P(|A)1P(|)()B B A =-重要公式

(4)A B P{(B-A)|C}P(B|C)P(A|C)⊂=-（减法公式）若，则

(5)P{(A+B)|C}P(A|C)P(B|C)P(AB|C)=+-（一般加法公式）

n n

i i i j i=1i 11i j n n 1i j k 12n 1i j k n (6)(P(A |B)P(A |B)P(A A |B)P(A A A |B)...........(1)P(A A .......A |B)

=≤<≤-≤<<≤=-+-+-∑∑∑∑多除少补原理）

二、 乘法公式

将条件概率公式 P (A B )P (A |B )P (B )

= 改写 P(AB)P(B)P(A|B)

=称为乘法公式 利用结合律推出多个事件的乘法公式：

三个事件积的乘法公式 123P (A A A )12312

P (A A )P (A |A A )= 312=P()P()P(A |A A )１２１ＡＡ｜Ａ

n 个事件积的乘法公式

123n 1213123123n 123n-1P(A A A .........A )(A )(A |A )(A |A A )

(A |A A A )......(A |A A A .........A )

P P P P P =⋅

三、

全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。

从上面例1.4.9中可得到启发：“第二次取到新球”的概率受“第一次取到新球”和“第一次取到旧球”两个事件的影响，而我们对这两个事件又有所了解：（1）这两个事件构成完备事件组，且32P(A)P(A)55

==，. （2）又知这两个事件对B 的“影响程度”，23P(B|A)=

P(B|A)=44，. 在我们的社会生活实际中，一个事件的发生受多种“原因”影响，如果我们对诸多的“因素”有所了解，又知诸“原因”对该事件的“影响程度”，那么我们对这个事件发生的概率就能计算。

把这样的一个事实抽象为一个数学模型，就是全概率公式：

定理1.4.1 123n B B B ........B .....E 若，，是的完备事件组

i i j i=11B S 2B B i j,i,j 1,2,.....n......φ

∞

==≠=即（）

（）

i i i 1E A P(A)P(B )P(A |B )∞==∑则对的任意事件，有

证明：P(A)P(A S)=

i i=1P(A B )∞⎛⎫= ⎪⎝⎭

（等量代换i i 1

S B ∞== ） i i 1

P(

B A)∞== (分配律)

i i 1

P(AB )∞==∑ （可列可加性）

i i i 1

P(B )P(A |B )∞

==∑ （乘法公式）