粮食产量时间序列的单分形检验及RS预测

第1组计量经济学理论与方法

（5500字）

粮食产量时间序列的单分形检验及R/S预测

郑永冰1

（东北财经大学数学与数量经济学院）

【摘要】采用配分函数方法，判定了1949年以来粮食总产量时间序列的单分形

特征，并利用S

R/分析方法确定一个代表粮食产量变化趋势的时间序列的Hurst 幂，从而得到预测粮食产量变化趋势的分形方法。根据历史资料，用此方法对我

国粮食产量的变化趋势进行了短期预测。经检验，结果较好。

关键词配分函数单分形S

R/分析预测

中图分类号F064.1文献标识码A

Single Fractal T est and R/S Analysis of Grain Yield

Time Series

Abstract: In this paper partition function method is employed in studying fractal characteristics of the grain yield time series of China, which from 1949 to 2007 . Then

R/S analysis is used to determine Hurst Exponent of the time series, so the tendency of

grain yield can be forecast by this fractal method.

Key words: Partition Function ; Single Fractal ; R/S Analysis ; Forecast

粮食产量的变化是一个重要的问题，同时又是一个很复杂的问题。它受到多种因素的影响，如政策因素，价格因素，种籽、化肥、灌溉、农药、农机以及气象因素等等。这些因素综合作用，影响粮食产量的长期趋势和年度间波动。所以，粮食产量时间序列可以看成各种外部因素综合作用的结果。在产量预测方法上，较为流行的有气象产量预测法、遥感技术预测法、统计动力学生长模拟法和系统综合因素预测法等]1[。

为简化问题的讨论，假定粮食产量数据的变化只与时间有关，外部因素的影响由序列中各个数据间存在一定的相关性来体现。这样，就可以尝试用分形分析中的重要方法——S

R/方法对其1进行讨论。这种方法要求度量对象必须满足的假定很少，因而在很多领域中应用广泛。

但粮食产量时间序列是否具有均匀的分形结构？如果是均匀的，则可以用单分形来讨论它；如果是非均匀的，则用一个分形维数就只能解释它的整体，而对各个局部的各异的特征就无法细致地分析。即只有用多重分形才能较为精细地讨论粮食产量波动规律的复杂性。

1 郑永冰，男，1964年9月生，硕士，副教授。工作单位：东北财经大学数学与数量经济学院。( 大连，116025 )

本文首先采用配分函数（统计矩）方法，对我国1949年以来的粮食总产量时间序列*进行分析，判断判断这个时间序列是否为单分形，然后根据S R /分析方法对时间序列的预测功能，对我国粮食产量的变化趋势进行讨论。

一、分形维数

自20世纪70年代中期美籍科学家B.B.Mandelbrot 提出分形理论以后，分形方法越来越广泛地应用于信息、化工、物理、经济等诸多领域，尤其是近年来，其影响方兴未艾。

分形即分数维。Mandelbrot 认为，分形描述的是“局部以某种方式与整体相似的对象”。一般而言，对复杂的实际现象按不同尺度建立分布曲线，若其每一部分在平移、旋转、缩放等变换下与其他部分相似，换句话说，按较多的数据细算和按较少的数据粗算时，统计曲线相似，则可认为是统计意义上的自相似，就可以利用时间分形方法去讨论。事实上，这种自相似性可以理解为此时间序列的演化受到其自身某种隐含规则的支配。

分形维数的定义式是

D

cr

r N -=)( （1）

其中r 为尺规基准，可以是时间、长度、面积等等。)(r N 为所量测的对象的量值，如汇率、产量、河流的流量、化工过程中的压力等等。D 即分形维数，它表征了分形的粗糙程度。c 为常数。

由（1）式推得

)

1ln(ln )(ln r c

r N D -=

（2）

二、配分函数法判断单分形过程

用配分函数（统计矩函数）方法可以判断一个随机过程是单分形还是多重分形。判别的具体步骤为][2：

1． 对于时间序列}],[)({T t t x 0∈，将区间],[T 0分成若干不相交的子区间。设λ为

2

子区间长度与总区间长度之比的最大值。M 为整个区间内对象数据总和：

∑∈=

]

,[)(T t t x M 0

2．设),(i N λ为第i 个小区间内对象的量值总和，则第i 个小区间内的平均密度为 M

i N i ),(),(λλε=

3．构造统计矩函数 ∑=

i

q

i q M )

,(),(λελ (3)

* 粮食总产量数据引自《新中国五十五年统计资料汇编》（中国统计出版社2005）及国家统计局网站。

规定000=

统计矩函数),(q M λ能够显示出平均密度),(i λε的大小和作用。当1>>q 时，在统计矩函数),(q M λ中，密度大的),(i λε起主要作用，此时，),(q M λ主要反映大密度区间的性质；反之，当1<

4．如果统计矩

)(),(q q M τλλ∝， (4)

称)(q τ为配分函数。若)(q τ是关于q 的线性函数，则时间序列是单分形过程；若)(q τ是关于q 的非线性函数，则时间序列是多重分形的。

在本文讨论的1949年至2007年我国粮食总产量时间序列中，总区间为],[590，小区间长度分别取1年至8年，则分别得到59

859

1=

=

λλ,, . 分别取q 的值为0.5，1.0，1.5，

2.0，2.2，

3.0，则得到q 阶统计矩),(q M λ与λ的关系。再根据 λ

λτλln )

,(ln lim

)(0

q M q →= (5)

拟合),(ln q M λ与λln ，所得直线斜率即为)(q τ. 此时，得q q -)(τ关系表如下：

表1 q q -)(τ关系表

其散点图与拟合直线如图：

图1. )(q τ与q 关系图