专题六微专题4导数的综合应用-2021届高三数学二轮专题复习课件

微专题4 导数的综合应用
对点训练
大题考法 2 利用导数研究函数的零点
(2020·深圳模拟)已知函数 f(x)＝ln x－x－a 1.
(1)当 a＝1 时，求 f(x)的最大值．
(2)若 f(x)在区间(2，e)上存在零点，求实数 a 的取值
范围．
解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝ln x－x＋1，定义域为(0，
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对点训练
h(x)≥0 在(0，＋∞)上恒成立，此时 f′(x)≥0，
所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时，函数 f(x)没
有极值点；
当 Δ>0，即 a> 2时，令 h(x)＝0，则 x＝a± a22－2，
当a－
a2－2 a＋ 2 <x<
2a2－2时，h(x)<0，即 f′(x)<0；
根．
因为 ln x≠0，所以方程可转化为 a＝xln－x1.
设
g(x)＝xln－x1，则
ln g′(x)＝
x－（1xln（xx）－21）＝ln（xl＋n x1x）－21.
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对点训练
设 h(x)＝ln x＋1x－1，则 h′(x)＝1x－x12. 当 2<x<e 时，h′(x)>0，所以 h(x)在(2，e)上单调递增． 所以 h(x)>h(2)＝ln 2－12>0，于是 g′(x)>0，所以 g(x) 在(2，e)上单调递增， 所以 g(2)<g(x)<g(e)，即ln12<g(x)<e－1. 综上所述，实数 a 的取值范围是ln12，e－1.
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对点训练
②若 Δ＝1＋8a>0，即 a>－18时，令 f′(x)＝－x2＋x＋
2a＝0，得两根
x1＝1－
21＋8a，x2＝1＋
1＋8a 2.
当 x<x1 或 x>x2 时 f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x1<x<x2 时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述：当 a≤－18时，f(x)的单调递减区间为(－
当
a－ 0<x<
2a2－2或
a＋ x>
2a2－2时，
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对点训练
h(x)>0，即 f′(x)>0； 所以当 a> 2时，x＝a－ 2a2－2是函数 f(x)的极大值点； x＝a＋ 2a2－2是函数 f(x)的极小值点． 综上，当 a≤ 2时，函数 f(x)没有极值点； 当 a> 2时，x＝a－ 2a2－2是函数 f(x)的极大值点； x＝a＋ 2a2－2是函数 f(x)的极小值点．
x1<x<x2 ＋
单调递增
x＝x2 0
极大 值
x>x2 －
单调递 减
微专题4 导数的综合应用
对点训练
当 0<a<2 时，有 x1<1<x2<4，所以 f(x)在[1，4]上的最大 值为 f(x2)，
又 f(4)－f(1)＝－227＋6a<0，即 f(4)<f(1)． 所以 f(x)在[1，4]上的最小值为 f(4)＝8a－430＝－136. 得 a＝1，x2＝2，从而 f(x)在[1，4]上的最大值为 f(x2)＝130.
则 f′(x)＝1x＋2x＝2x2x＋1，当 x∈[1，e]时，f′(x)>0，
所以 f(x)在[1，e]上是增函数，当 x＝1 时，f(x)取得
最小值 f(1)＝1，
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对点训练
所以 f(x)在[1，e]上的最小值为 1. (2)f(x)＝ln x－2ax＋x2，则 f′(x)＝2x2－2xax＋1(x>0)， 令 h(x)＝2x2－2ax＋1(x>0)， ①当 a≤0 时，h(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，此时 f′(x)>0， 所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 此时，函数 f(x)没有极值点； ②当 a>0 时，当 Δ＝(－2a)2－8≤0，即 0<a≤ 2时，
＋∞)，则 f′(x)＝1x－1，
令 f′(x)＝0 得 x＝1.
当 x∈(0，1)时 f′(x)>0，f(x)单调递增；
当 x∈(1，＋∞)时 f′(x)<0，f(x)单调递减．
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对点训练
所以 f(x)max＝f(1)＝0. (2)由题意知，方程 f(x)＝ln x－x－a 1＝0 在(2，e)上有实
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对点训练
1．求函数 f(x)的极值，则先求方程 f′(x)＝0 的根， 再检查 f′(x)在方程根的左右函数值的符号．
2．若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f′(x)＝0 根的大小或存在情况来求解．
3．求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极 值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各 极值进行比较得到函数的最值．
∞，＋∞)；
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对点训练
当
a>
－
1 8
时
，
f(x)
的
单
调
递
减
区
间
为
－∞，1－ 21＋8a和1＋ 21＋8a，＋∞，
单调递增区间为1－ 21＋8a，1＋ 21＋8a. (2)f′(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：
x
x<x1 x＝x1
Hale Waihona Puke Baidu
f′(x) －
0
单调递 极小
f(x)
减
值
专题六 函数与导数
微专题4 导数的综合应用
对点训练
大题考法 1 利用导数解决函数的单调性、极值、最
值问题
(2020·汕头模拟)设函数 f(x)＝ln x－2ax＋x2，a
∈R.
(1)若 a＝0，求函数 f(x)在[1，e]上的最小值；
(2)求函数 f(x)的极值点． 解：(1)当 a＝0 时，f(x)＝ln x＋x2(x>0)，
微专题4 导数的综合应用
对点训练
设 f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax(a∈R)． (1)讨论 f(x)的单调区间； (2)当 0<a<2 时，f(x)在[1，4]上的最小值为－136，求 f(x)在[1，4]上的最大值．
解：(1)f′(x)＝－x2＋x＋2a，其 Δ＝1＋8a. ①若 Δ＝1＋8a≤0，即 a≤－18时，f′(x)＝－x2＋x＋ 2a≤0 恒成立，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
微专题4 导数的综合应用
对点训练
1．三步求解函数零点(方程根)的个数问题． 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为 函数的图象与 x 轴(或直线 y＝k)在该区间上的交点问题． 第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极 值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象． 第三步：结合图象求解． 2．根据函数零点情况求参数范围． (1)要注意端点的取舍． (2)选择恰当的分类标准进行讨论．