高等数学-函数与极限ppt课件

解 当t[0,]时, 2
U
E
t
2E t;
2 当t(,]时,
2
U ( ,E) 2
E
o
2
(,0) t
单三角脉冲信号的电压
U0E0(t ),
即U2E(t)
2
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当 t(,) 时 ,U0.
U ( ,E)
2
E
UU(t)是一个分段函 , 数
其表达式为
o
Hale Waihona Puke Baidu
(,0) t
2
2Et,
t [0,] 2
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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3.邻域: 设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数 {xx 集 a } 称a 的 为 邻 ,点 域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
U ( a ) { x a x a } .
a
a
a x
点 a的去心 邻的 ,域 记作 U0(a).
U ( a ) { x 0 x a } .
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4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
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(3) 狄利克雷函数
yD(x)10
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
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(4) 取最值函数
y mf( a x )g x ,(x ){}y mf(ix )n g ,(x ) {}
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当 x 0 D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点
函数值全体组成的数集 W{yy f(x),xD}称为函数的 . 值域
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函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0 )
Q----有理数集 R----实数集
数集间的关系: N Z ,Z Q ,Q R . 若 A B ,且 B A ,就称 A 与 B 相 集 .(A等 合 B)
例如 A{1,2}, C{xx23x20},则AC.
不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, {xxR ,x210}
规定 空集为任何集合的子集.
微积分（高等数学）
——中国药科大学 龙益如
CONTENTS
01 初等数学预备知识
02 极限与连续
03 导数与微分
04 导数的应用
目
05
不定积分
录
06
定积分
07 多元函数微分学
08
微分方程
.
数 学
之 美
从事科学研究，最重要的是掌握思维方法。在这里，我举 两个例子：牛顿是伟大的物理学家和数学家，他在《自然 哲学的数学原理》中叙述了四条法则。其中“法则1：除那 些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻找自然界事物 的其他原因”。这条法则后来被人们称作“简单性原则”， 正如爱因斯坦所说：“从希腊哲学到现代物理学的整个科 学史中，不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结 为几个简单的基本概念和关系。这就是整个自然哲学的基 本原理。”
y
y
f (x)
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
o
x
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在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例,如 f(x) 2 xx 2 1 1,,
x0 x0
yx2 1
y2x1
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例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间 t(t 0)的函数关系式.
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2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a ,b R ,且 a b .
{xaxb} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{xaxb} 称为闭区间, 记作 [a,b]
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oa
b
x
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{xaxb} 称为半开区间, 记作 [a,b) {xaxb} 称为半开区间, 记作 (a,b]有限区间 [a,) {xax}(,b ){xxb } 无限区间
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5.绝对值: a aa
a0 a0
运算性质:
abab;
(a 0)
a
a ;
bb
a b a b a b .
绝对值不等式:
xa(a0)
axa ;
xa(a0)
xa或 x a;
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二、函数概念
定 义 设 x 和 y 是 两 个 变 量 , D 是 一 个 给 定 的 数 集 ， 如 果 对 于 每 个 数 xD, 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数，记作
(x, y)
x
x
D
定义: 点C 集 {x (,y)yf(x)x ,D }称为
函y数 f(x)的图 . 形
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几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
y
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
1
o
x
-1
xsgxn x
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(2) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x的最大整数 4
数学既是对于自然界事实的总结和归纳，如英国的哲学家培 根所说“一切多依赖于我们把眼睛紧盯在自然界的事实之 上”；又是抽象思考的结果，如法国哲学家笛卡尔所说“我 思故我在”。这两个方法造就了目前绚丽多彩，美丽非凡的 数学，非常值得欣赏。
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函 数
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4
一、基本概念
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如 y， 1x2 例如y， 1
1x2
D:[1,1] D:(1,1)
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如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
o
例如 x2， y2a2．
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM,
A { a 1 ,a 2 , ,a n }
有限集
M{xx所具有的}特无征限集
若 x A ,则 x B 必 ,就 A 是 说 B 的.子集 记作 AB.
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数集分类: N----自然数集 Z----整数集