测电源电动势和内电阻的三种误差分析

测电源电动势和内电阻的三种误差分析

河南省信阳高级中学陈庆威2016.12.14

用电流表和电压表测电源电动势和内电阻的实验是高中物理电学中的一个重要实验，也是电学实验中的一个难点。教材中给出了如图甲所示的实验方案，但同学们对教材中所给的测量电路图体会不深，认为把电流表放在支路中（如图甲所示）和放在滑动变阻器的干路中（如图乙所示）效果是一样的。下面我们从两种实验方法所产生的系统误差角度来加以论述。由于同学们的知识所限，课堂上一般采用定量计算的方法和用图象进行定性分析的方法，对于参加过竞赛培训的同学还可以用戴维宁定理（等效电压源定理）来定量分析。

1．定量计算的方法

设电源的电动势和内电阻的真实值分别为ε和r，电源的电动势和内电阻的测量值分别为ε'和r'。电流表和电压表的内阻分别为A R和V R。滑动变阻器从右向左移动，得到的两组示数分别为（U1，I1）和（U2，I2）。

对于图甲所示电路：

如果不考虑电压表和电流表的内阻，由闭合电路欧姆定律有：

1122U I r U I r εε''=+⎧⎨

''=+⎩ 解得：21

12

21I I U U r I I ⎪-⎪⎨-⎪'=⎪-⎩

这就是电动势和内电阻的测量值。 如果考虑电压表和电流表的内阻，由闭合电路欧姆定律有：

111222()()V V

U U I r R U U I r

R εε⎧

=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩

解得：122121

2112

2121V V U I U I U U I I R U U r U U I I R ε-⎧

=⎪--+⎪

⎪

⎨-⎪=-⎪-+⎪⎩

这就是电动势和内电阻的真实值。 因为12U U >，所以

21

0V

U U R -<，因此：εε'<，r r '<。也就是说测得的电动势和内电阻都是偏小的。它们的相对误差分别为：

2121()V V U U r I I R R r

εεεσε'--===-+ 2121()r V V U U r r r

r I I R R r

σ'--=

==-+其中r Rv >>，所以两者的相对误差都很小。我们采用的就是这种测量电路测量电源的电动势和内电阻。

对于图乙所示电路：

如果不考虑电压表和电流表的内阻，由闭合电路欧姆定律有：

11

22U I r U I r εε''=+⎧⎨

''=+⎩ 解得：1221

211

221U I U I I I U U r I I ε-⎧'=⎪-⎪⎨-⎪'=⎪-⎩

这就是电动势和内电阻的测量值。 如果考虑电压表和电流表的内阻，由闭合电路欧姆定律有：

111222()()A A U I R I r U I R I r εε

=++⎧⎨=++⎩ 解得：211221A

I I U U r R

I I ⎪-⎪

⎨-⎪=-⎪-⎩

这就是电动势和内电阻的真实值。

由此可见：εε'=，A r r R '=+。也就是说测得的电动势是准确的；测量值r '的相

对误差为A

r R r r r r

σ'-=

=。由于实验设备所限，电源内电阻r 和电流表的内阻A R 的阻值差不多，这样内电阻就会有很大的相对误差。所以我们不采用这种测量方法。

2．用图象定性分析

对于图甲所示电路：

测出几组U 、I 值，然后在U-I 坐标系中描点

并连线如图中○

1线所示。直线○1与U 轴的交点表示电源电动势的测量值，直线○

1斜率的绝对值表示内电阻的测量值。由于电压表的分流作用，对于某一组具体的（1U '，1I '），电压表测得电压1U '就是电源的路端电压，而通过电源的电流比电流表测

得的1I '略大，满足111

V

U I I R '

'=+关系，可见U '越大，I I I '∆=-越大；U '越小，I I I '∆=-越小，特别的当0U '=时，0I I I '∆=-=。对每一个点进行修正，每一个点的电压值不变，电流值略微变大，而且当电压值越大，对应的调整量也越大。证明调整过的点位于同一条直线上的方法如上面所述。把经过修

I

U

正的点连接起来，如图中○

2线所示。这样直线○2与U 轴的交点表示电源电动势的真实值，图线斜率的绝对值表示内电阻的真实值。可见，用图二所示电路测得的电动势和内电阻都是偏小的。 对于图乙所示电路：

测出几组U 、I 值，然后在U-I 坐标系中描点并连线如图中○

1线所示。直线○1与U 轴的交点表示电源电动势的测量值，直线○1斜率的绝对值表示内电阻的测量值。由于电流表

的分压作用，对于某一组具体的（1U '，1I '），电流表测得电流1I '就是通过电源的电流，

而电源的路端电压比电压表测得的1U '略大，满足11

1A U U I R ''=+关系，可见I '越大，U U U '∆=-越大；I '越小，U U U '∆=-越小，

特别的当0I '=时，0U U U '∆=-=。对每一个点进行修正，每一个点的电流值不变，电压值适当调整变大，而且当电流值越大，对应的调整量也越

大。

下面来证明经调整的点仍位于一条直线上

（线性的）。 原来的点满足关系：U I r ε'''=-

经过修正的点满足关系A U U U I r I R ε''''=∆+=-+可见，U 和I '仍然是一次函数

的关系，也就是说它们仍将位于同一条直线上。

把经过修正的点连接起来，如图中○

2线所示。这样直线○2与U 轴的交点表示电源电动I