《三角形中的几何计算》教学设计

课题：三角形中的几何计算

一、教材分析

本节课是学习了正弦定理、余弦定理之后的一节小结课或习题课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，为后面的实际应用举例奠定基础，因此本节课的学习具有承上启下的桥梁作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。

二、教学目标

1、知识与技能

①通过回顾正弦定理、余弦定理的表达式，进一步熟悉正、余弦定理的内容、作用及所解三角形的类型；

②能够联系勾股定理、三角形面积定理及三角形内角和公式等有关三角形相关知识，灵活地解三角形。

2、过程与方法

①首先帮助学生回忆并复述出正弦定理和余弦定理及其变式，再指出正弦定理和余弦定理的相通性，能用正弦定理解的三角形，用余弦定理多数也可以解，反之亦然；但解题的时候，应有最佳选择；

②善于利用分类讨论的思想，利用先易后难、逐层推进的思想，解决一些繁、难三角形问题，培养学生应用自主、合作、探究的方法，解决新问题，掌握新知识。

3、情感、态度与价值观

①把对学生的类别联想、探究思维能力的训练贯穿整节课的始终；

②教学过程中，指导学生结合利用正弦定理和余弦定理解三角形的问题进行归纳剖析，以提高学生的思维层次；

③通过本节课的探究，培养学生积极探索、勇于创新的科学精神，以及具体问题具体分析的良好学习习惯，并对正弦定理、余弦定理的对称美产生愉悦感，从而激发学生热爱数学、热爱科学的追求精神。

三、教学重点、难点

1、重点：灵活选用正弦定理、余弦定理进行有关的三角形中的几何计算；

2、难点：利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合应用。

四、教学方法与手段

本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。通过问题的探究，要让学生结合图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，采用一问多探的方式引导学生动眼、动脑、动手，积极投入到新知的达成中去，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。

五、教学过程

教学环节教学过程设计意图

温故知新请学生回顾正弦定理、余弦定理内容及其可解决的问题（以问答的形式展开）复习与本节课内容有关的知识，为新课的展开作铺垫。

创设情景导入新课

例1：一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由

点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点

D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如

图所示。已知：AB=42dm，

AD=17 dm，∠BAC=45°，若忽略

机器人原地旋转所需的时间，则该

机器人最快可在何处截住足球？

采用课本上的例子引

入，让学生体验数学

应用的广泛性和重要

性，以及课本对于教

学的指导作用。引导

分析探究获取新知

分析：机器人最快截住足球的地方正是机器人与足

球同时到达的地方，设为C点，利用速度建立AC与

BC之间的关系，再利用余弦定理便可建立方程，进而

解决问题。

解：设该机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段

AD上。

设BC=x dm，由题意，CD=2x dm

AC=AD-CD=(17-2x)(dm)

（注：也可以设AC=x dm，

则CD=(17—x) dm ,BC=0.5(17—2x) dm）

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA

即x2=(42)2+(17-2x)2-2×42×(17-2x)cos45°

解得：x1=5(dm)，x2=

3

37

(dm)

所以，AC=17-2x=7(dm)或AC=23

3

-(dm)(不合题意，

舍去)

答：该机器人最快可在线段AD上离点A 7dm的点

C处截住足球。

思考：请问AC为什么会出现负值？它表示什么意思？

例2：如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，

AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°。求BD的长。

思考：本题所求的BD放在哪个

三角形中最容易计算？（△ABD）

在这个三角形中欲求BD还需要

知道哪些条件？它与哪个定理

关系最近？怎样用定理？

（分析：用正弦定理求出∠ABC的正弦，利用平行关系

求出∠BAD的正弦，再利用正弦定理求出BD)。

解：在△ABC中，AB=5，AC=9，∠BCA=30°

由正弦定理，得

ABC

AC

BCA

AB

∠

=

∠sin

sin

sin∠ABC=sin9sin309

510

AC BCA

AB

∠

==

因为AD∥BC，

所以∠BAD=180°-∠ABC，

于是sin∠BAD=sin∠ABC=

10

9

同理，在△ABD中，AB=5，sin∠BAD=

10

9

，

∠ADB=45°，

解得BD=

2

2

9

。

答：BD的长为

2

2

9

学生自主或者小组合

作探究，充分调动学

生探究的积极性。

思考、探究时让学生

体会方程思想的运

用。

通过此问题的探究，

培养学生一题多解、

一题多探的多维思维

和主动探索新知的思

想。