定积分定积分的概念与性质

F ' ( x) 0 .
2
高等数学Ⅰ作业
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第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、计算下列定积分 1.

2 0
2 x 2 dx ；
2.

1
1
x dx ； 5 4x
3.
xe
0
1
x
dx ；
4.

e
1
x ln xdx ；
5. 2 sin cos 3 d .
3.求极限 lim
x 0
x
0
cost 2 dt x
；
4.求极限： lim
( 0 e t dt) 2
2t 0 te dt x
2
x
2
x 0
.
三、设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a, b) 内可导 , 且 f ' ( x) 0 , F ( x )
x 1 f (t )dt . 证明在 (a, b) 内有 x a a
3
高等数学Ⅰ作业
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第四节 反常积分 判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值 1.

1
1 dx ； x4
2.

ax 0
e
dx (a 0) ；
3.

1 dx ； x 2 x 2
2
4.

1 0
x 1 x2
dx ；
5.

1 dx . 0 (1 x ) 2
0

二、设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，证明

b a
f ( x)dx f (a b x)dx .
a
b
三、 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， f ( x ) 0 ，证明： F ( x)

x a
f (t )dt
x b
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1 dt 0 在 [ a, b] 内只有一个实根. f (t )
ex
2
x
dx .
三、证明：
4 1 1 dx 1 . 1 2 x 2
四、求极限： lim(
n
1 4n 1
2

1 4n 2
2 2

1 4n n 2
2
).
1
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第二节 微积分基本公式 一、计算下列定积分 1.
a 2 0

3
0
( 2 x ) 2 dx ；
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第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、 比较定积分的大小 1.

2 1
ln xdx 与 (ln x ) 3 dx ；
1
2
2.
0 e
1 x
dx 与 0 (1 x)dx ；
1
二、估计定积分的取值范围 1. 1 ( x 2 1)dx ；
4
2.

2 0
2.

a dx ； ( x a)(x 2a)
3.


4 0
tan 2d ；
4.

2
0
x 1 x 1 f ( x ) dx , 其中 f ( x ) 1 2 . x x 1 2
二、解答下列问题 1.求
d x2 1 t 2 dt ； 0 dx
2.求
d x 2 t 2 e dt . dx x
2
4