一类三阶非线性中立型时滞微分方程的振动性
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的三 阶线性 微分 方程
” （ ｔ ）＋ｑ （ ） （ ｔ ） ：０ ，
” （ ｔ ）＋Ｐ （ ｔ ） （ ｆ ）＋ｇ （ ｔ ） （ （ ｔ ） ）＝０ ，
［ ０ （ ｔ ） （ ｂ （ ｔ ） （ （ ｔ ）＋ｐ （ ￡ 一ｏ ｒ ） ） ） ］ ＝０ ， ０≤Ｐ ＜１ 的振 动性也 得 到 了很好 的研 究． Ｌ ｉ ， Ｚ ｈ ａ ｎ ｇ ， Ｘ ｉ ｎ ｇ ¨ 研 究 了方 程
［ ｎ （ ｔ ） （ ｂ （ ｔ ） （ （ ｔ ）＋Ｐ （ ｔ ） （ （ ｔ ） ） ） ） ］ ＋ｑ （ ｔ ） （ ． ｒ （ ￡ ） ） ＝０
在条 件
∞ ， ｏ 。 ，
（ １ ． ２ ）
（ １ ． ３ ）
∞
Байду номын сангаас
，
∞
，
（ １ ． ４ ）
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ － ０ ９ － ０ ３ 作者简介 ： 胡迎春 ， 女， １ ９ ８ ２ － ， 硕士； 研究方 向： 微 分 方 程理 论 及 应 用 ． Ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ： ｈ ｕ ｙ ｉ ｎ ｇ ｃ ｈ ｕ ｎ ｌ ＠ｅ ｙ ｏ ｕ ． ｃ ｏ ｍ；
第３ ９卷
第 ２期
曲 阜 师 范 大 学
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｑ ｕ ｆ ｕ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ
Ｖｏ １ ． ３ ９ Ｎｏ ． ２
Ａｐ ｒ ．２ ０１ ３
２ ０ １ ３年 ４ 月
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ — ５ ３ ３ ７ ． ２ ０ １ ３ ． ２ ． ０ ０ ６
∞ ，
∞
５ ，
本 文在 文 献 ［ １ ３ ］ 的基 础上 ， 主要 研究 方程 （ １ ． １ ） 在条 件 （ １ ． ３ ） ， （ １ ． ４ ） ， （ １ ． ５ ） 下 的 振动 性 ． 所 得 结果 改 进 和推 广 了文 献 ［ １ ３ ］ 中的结 果． 线 性微 分方 程 （ １ ． ２ ） 是 方程 （ １ ． １ ） 当 ＝ １时的特 殊情形 ． 首先 给 出几个定 义 ． 定义 １ ． １ 称 一个 函数 （ ｔ ） 为 方程 （ １ ． １ ）的一个 解 ， 若 满 足 （ ｆ ）∈Ｃ （ ［ ， ∞） ） 其 中 ≥ ｔ 。 ， 且在［ ， ∞］ 上， ｚ （ ｔ ）∈Ｃ （ ［ ， ∞） ） ， ６ （ ） （ （ ｔ ） ） “∈Ｃ （ ［ ， ｏ 。 ） ） ， ｏ （ ｔ ） ６ （ ｔ ） （ （ ｔ ） ） ） ∈Ｃ （ ［ ， ｏ 。 ） ） 满 足方 程
一
类三阶非 线性中立型时滞微分方程 的振动性
胡 迎春 ①， 白 玉真②
（ ① 济宁学 院初等教育学院， ２ ７ ３ １ ０ ０； ② 曲阜师范大学数学科学学院， ２ ７ ３ １ ６ ５， 山东省 曲阜市）
摘要： 主要研究三阶非线性中立型时滞微分方程
［ 。 （ ￡ ） （ （ ｂ （ ￡ ） （ （ ￡ ） Ｐ （ ｔ ） ｘ （ （ ｆ ） ） ） ） ） ］ ＋ｇ （ ｚ ／ （ ７ ＿ （ ｚ ） ） ）＝ｏ ， ｚ≥ ， 的振动性 ， 其 中 ｄ是两个正奇数 的商且 Ｏ Ｌ ≥ １， 给 出了弱振动准则 ， 所得结果改进和推广 了现有的若 干结论
的振 动性 问题 ．假设 以下条 件成 立 （ Ⅱ ）０ （ ｔ ） ， ｂ （ ） ， Ｐ （ ｔ ） ， ｑ （ ｔ ）∈ Ｃ （ ［ ￡ ｏ ， ∞） ） ， ０ （ ） ＞０ ， ｂ （ ｔ ） ＞０， ｑ （ ｔ ） ＞０； （ ｂ ）ｒ （ ｔ ） ， （ ｔ ）∈ Ｃ （ ［ ０∈ ∞ ） ， （ ｔ ）≤ ｔ ， ｌ ｉ ｍ Ｔ （ ｔ ）＝¨ ｍ （ ｔ ）：ｏ ｏ； （ Ｃ ）Ｏ Ｌ 是 两个 正奇数 的商 ， 且有 Ｏ Ｌ ≥１ ；
（ １ ． １ ） ．
定义 １ ． ２ 本 文 主要 研 究 的方程 （ １ ． １ ） 的非平 凡解 （ ｔ ） 满 足对所 有 ≥ 有 ｓ ｕ ｐ ｛ （ ｔ ） Ｉ ： ≥Ｔ ｝＞ ０ ． 定义 １ ． ３ 如果 方程 （ １ ． １ ） 的非 平凡 解在 ［ ， 。 。 ）上有 任 意 大 的零 点 ， 则 称 此 解是 振 动 的 ， 否则 称 为 非 振 动 的． 定义 １ ． ４ 若方 程 （ １ ． １ ） 的非平 凡解 是振 动 的或渐 近趋 于零 ， 则称 方程 （ １ ． １ ） 是弱振 动 的．
关键 词 ： 非线性微分方程； 中立型； 时滞 ； 振动性
中 图分类号 ： Ｏ １ ７ ５ ． １ ２
文献标 识码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ０ ０ １ — ５ ３ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ － ０ ０ ６ ０ － ０ ６
１ 引
言
本 文 主要 研 究ｊ 阶非线性 中立型时 滞微分 方程 ［ ｎ （ ｔ ） （ （ ｂ （ ｔ ） （ （ ｔ ）＋Ｐ （ ｔ ） （ （ ｔ ） ） ） ） ） ］ ＋ｑ （ ｆ ） ／ （ （ ｔ ） ） ） ＝０ ， ≥ ｔ 。 ，
（ ｄ ） Ｍ ）＞０ ， Ｍ≠ ０ ．
“
（ １ ． １ ）
≥ ＞０ ．
设ｚ （ ）＝ （ ｔ ）＋Ｐ （ ｔ ） （ （ ｔ ） ） ．则方 程 （ １ ． １ ） 可变 为
［ ０ （ ｔ ） （ （ ｂ （ ｔ ） ｚ （ ｔ ） ） “ ） ］ ＋ｑ （ ） （ （ ｔ ） ） ）＝０ 许 多学 者研究 了三 阶非 线性微 分方 程 的振 动性 ， 并 得 到 了很 多 重要 的结 果 ． 参 见文 献 ［ １ ． １ ４ ］ ． 其 中如 下
白玉真 ， 女， １ ９ ７ ４ － ， 博士， 副教授 ； 研究方向 ： 常微分方程与动力系统 ； Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｂ ａ ｉ ｙ ｕ ９ ９ ＠１ ２ ６ ． ｔ ｏ ｍ
第 ２期
胡迎 春 ， 等： 一 类三 阶非 线性 中立 型 时滞微 分方程 的振 动性
６ ｌ
：
下 的 振动性 ．
” （ ｔ ）＋ｑ （ ） （ ｔ ） ：０ ，
” （ ｔ ）＋Ｐ （ ｔ ） （ ｆ ）＋ｇ （ ｔ ） （ （ ｔ ） ）＝０ ，
［ ０ （ ｔ ） （ ｂ （ ｔ ） （ （ ｔ ）＋ｐ （ ￡ 一ｏ ｒ ） ） ） ］ ＝０ ， ０≤Ｐ ＜１ 的振 动性也 得 到 了很好 的研 究． Ｌ ｉ ， Ｚ ｈ ａ ｎ ｇ ， Ｘ ｉ ｎ ｇ ¨ 研 究 了方 程
［ ｎ （ ｔ ） （ ｂ （ ｔ ） （ （ ｔ ）＋Ｐ （ ｔ ） （ （ ｔ ） ） ） ） ］ ＋ｑ （ ｔ ） （ ． ｒ （ ￡ ） ） ＝０
在条 件
∞ ， ｏ 。 ，
（ １ ． ２ ）
（ １ ． ３ ）
∞
Байду номын сангаас
，
∞
，
（ １ ． ４ ）
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ － ０ ９ － ０ ３ 作者简介 ： 胡迎春 ， 女， １ ９ ８ ２ － ， 硕士； 研究方 向： 微 分 方 程理 论 及 应 用 ． Ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ： ｈ ｕ ｙ ｉ ｎ ｇ ｃ ｈ ｕ ｎ ｌ ＠ｅ ｙ ｏ ｕ ． ｃ ｏ ｍ；
第３ ９卷
第 ２期
曲 阜 师 范 大 学
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｑ ｕ ｆ ｕ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ
Ｖｏ １ ． ３ ９ Ｎｏ ． ２
Ａｐ ｒ ．２ ０１ ３
２ ０ １ ３年 ４ 月
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ — ５ ３ ３ ７ ． ２ ０ １ ３ ． ２ ． ０ ０ ６
∞ ，
∞
５ ，
本 文在 文 献 ［ １ ３ ］ 的基 础上 ， 主要 研究 方程 （ １ ． １ ） 在条 件 （ １ ． ３ ） ， （ １ ． ４ ） ， （ １ ． ５ ） 下 的 振动 性 ． 所 得 结果 改 进 和推 广 了文 献 ［ １ ３ ］ 中的结 果． 线 性微 分方 程 （ １ ． ２ ） 是 方程 （ １ ． １ ） 当 ＝ １时的特 殊情形 ． 首先 给 出几个定 义 ． 定义 １ ． １ 称 一个 函数 （ ｔ ） 为 方程 （ １ ． １ ）的一个 解 ， 若 满 足 （ ｆ ）∈Ｃ （ ［ ， ∞） ） 其 中 ≥ ｔ 。 ， 且在［ ， ∞］ 上， ｚ （ ｔ ）∈Ｃ （ ［ ， ∞） ） ， ６ （ ） （ （ ｔ ） ） “∈Ｃ （ ［ ， ｏ 。 ） ） ， ｏ （ ｔ ） ６ （ ｔ ） （ （ ｔ ） ） ） ∈Ｃ （ ［ ， ｏ 。 ） ） 满 足方 程
一
类三阶非 线性中立型时滞微分方程 的振动性
胡 迎春 ①， 白 玉真②
（ ① 济宁学 院初等教育学院， ２ ７ ３ １ ０ ０； ② 曲阜师范大学数学科学学院， ２ ７ ３ １ ６ ５， 山东省 曲阜市）
摘要： 主要研究三阶非线性中立型时滞微分方程
［ 。 （ ￡ ） （ （ ｂ （ ￡ ） （ （ ￡ ） Ｐ （ ｔ ） ｘ （ （ ｆ ） ） ） ） ） ］ ＋ｇ （ ｚ ／ （ ７ ＿ （ ｚ ） ） ）＝ｏ ， ｚ≥ ， 的振动性 ， 其 中 ｄ是两个正奇数 的商且 Ｏ Ｌ ≥ １， 给 出了弱振动准则 ， 所得结果改进和推广 了现有的若 干结论
的振 动性 问题 ．假设 以下条 件成 立 （ Ⅱ ）０ （ ｔ ） ， ｂ （ ） ， Ｐ （ ｔ ） ， ｑ （ ｔ ）∈ Ｃ （ ［ ￡ ｏ ， ∞） ） ， ０ （ ） ＞０ ， ｂ （ ｔ ） ＞０， ｑ （ ｔ ） ＞０； （ ｂ ）ｒ （ ｔ ） ， （ ｔ ）∈ Ｃ （ ［ ０∈ ∞ ） ， （ ｔ ）≤ ｔ ， ｌ ｉ ｍ Ｔ （ ｔ ）＝¨ ｍ （ ｔ ）：ｏ ｏ； （ Ｃ ）Ｏ Ｌ 是 两个 正奇数 的商 ， 且有 Ｏ Ｌ ≥１ ；
（ １ ． １ ） ．
定义 １ ． ２ 本 文 主要 研 究 的方程 （ １ ． １ ） 的非平 凡解 （ ｔ ） 满 足对所 有 ≥ 有 ｓ ｕ ｐ ｛ （ ｔ ） Ｉ ： ≥Ｔ ｝＞ ０ ． 定义 １ ． ３ 如果 方程 （ １ ． １ ） 的非 平凡 解在 ［ ， 。 。 ）上有 任 意 大 的零 点 ， 则 称 此 解是 振 动 的 ， 否则 称 为 非 振 动 的． 定义 １ ． ４ 若方 程 （ １ ． １ ） 的非平 凡解 是振 动 的或渐 近趋 于零 ， 则称 方程 （ １ ． １ ） 是弱振 动 的．
关键 词 ： 非线性微分方程； 中立型； 时滞 ； 振动性
中 图分类号 ： Ｏ １ ７ ５ ． １ ２
文献标 识码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ０ ０ １ — ５ ３ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ － ０ ０ ６ ０ － ０ ６
１ 引
言
本 文 主要 研 究ｊ 阶非线性 中立型时 滞微分 方程 ［ ｎ （ ｔ ） （ （ ｂ （ ｔ ） （ （ ｔ ）＋Ｐ （ ｔ ） （ （ ｔ ） ） ） ） ） ］ ＋ｑ （ ｆ ） ／ （ （ ｔ ） ） ） ＝０ ， ≥ ｔ 。 ，
（ ｄ ） Ｍ ）＞０ ， Ｍ≠ ０ ．
“
（ １ ． １ ）
≥ ＞０ ．
设ｚ （ ）＝ （ ｔ ）＋Ｐ （ ｔ ） （ （ ｔ ） ） ．则方 程 （ １ ． １ ） 可变 为
［ ０ （ ｔ ） （ （ ｂ （ ｔ ） ｚ （ ｔ ） ） “ ） ］ ＋ｑ （ ） （ （ ｔ ） ） ）＝０ 许 多学 者研究 了三 阶非 线性微 分方 程 的振 动性 ， 并 得 到 了很 多 重要 的结 果 ． 参 见文 献 ［ １ ． １ ４ ］ ． 其 中如 下
白玉真 ， 女， １ ９ ７ ４ － ， 博士， 副教授 ； 研究方向 ： 常微分方程与动力系统 ； Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｂ ａ ｉ ｙ ｕ ９ ９ ＠１ ２ ６ ． ｔ ｏ ｍ
第 ２期
胡迎 春 ， 等： 一 类三 阶非 线性 中立 型 时滞微 分方程 的振 动性
６ ｌ
：
下 的 振动性 ．