等比数列前n项和PPT

a1 anq 3 96q 189 解： 由 sn 1 q 1 q
得： q=2
n1
所以： an a1q
n 1
3q
n1
96
q 2 n1 5 n6
n 1
32
随堂练习
1.求等比数列
解:
1 a1 2
1 1 1 , , ,...的前8项的和 2 4 8
1 1 1 1 (1 2 3 ... n ) ( 2 3 ... n ) 3 3 3 3
n(n 1) 1 (1 3n ) 2 1 3
n(n 1) 3n 1 2 2 n(n 1) 3n 1 2
例4
某工厂去年1月份的产值为a元，月平均
S64=264-1= 18446744073709551615
设问： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？
等比数列前n项和公式及推导
设等比数列 an ，首项为 a1 ,公比为 q 如何求前n项和 Sn ？ 在等比数列{an}中首先要考虑两种情况：
当q=1时 ，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an =a1+a1+a1+……+a1+a1 共n个a1 =na1
经过计算，我们得到麦粒总数是
1+2+4+8+…+263= 18446744073709551615（粒）
已知麦子每千粒约为40克，则折合约为
737869762948382064克≈7378.7亿吨.
那么这是怎么计算的呢？其实是一个比 较大小的问题，则实质上是求等比数列前n 项和的问题.
探讨问题
发明者要求的麦粒总数是：
当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an =？
分析：
S1=a1 S2=a1 +a2 =a1+a1q =a1(1+q)
S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2)
S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
=a1(1+q+q2+q3)
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ① -②得： Sn (1—q)=a1—a1qn
又 a1 2, 得d=2，所以 an 2n, n N
*
（2）令 sn b1 b2 ... bn , 则由 bn an 3n 2n 3n 得
sn 2 3 4 32 ... (2n 2) 3n 1 2n 3n ① 2 3 n n 1 ② 3sn 2 3 4 3 ... (2n 2) 3 2n 3 ①-②得 (1 3)sn 2(3 32 ... 3n ) 2n 3n 1
于是 S n 2
1 2n 1
n n . 2
思考与余味
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用
学过的知识来说明它？
解：这句古语用现代文叙述是：
一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.
1 1 得到一个首项为a1= ，公比q= 的等比数列， 2 2
如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则
S64=1+2+22+23+…+263 上式有何特点？ ①
如果①式两端同时乘以2得: 2S64=2+22+23+…+263+264 ②
比较①、②两式，有什么关系呢？
S64=1+2+22+23+…+263 2S64= 2+22+23+…+263+264
① ②
两式上下相对的项完全相同，把两式相减， 就可以消去相同的项，则②－①得：
解：设每年的产量组成一个等比数列 an
其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000 ∴ 5000(1 1.1n )
1 1.1 30000
整理可得：1.1n=1.6两边取对数得 即： n lg1.1 lg1.6
l g1.6 n 5 l g1.1
答：约5年内可以使总销售量达到30000台.
3.已知数列
{an } 是等差数列，且 a 2 1
a1 a2 a3 12
（1）求数列 {an } 的通项公式；
n b a 3 (n R) ，求数列 {bn } （2）令 n n
的前n项和
sn
解：（1）设数列 {an } 的公差是d,则
a1 a2 a3 3a1 3d 12
增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值 的总和。 解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元， 3月，4月，……，的产值分别为a(1+p)2 元，a(1+p)3元，……， 所以12个月的产值组成一个等比数列， 首项为a，公比为1+p，
a[1 (1 p) ] S12 1 (1 p)
a1、d、n a1、d、an a 1、 a n 、 n a1、an、sn an、d、n a n、 s n、 n
a n、 s n n、sn d、sn d、n a1、sn a1、d
例1
等比数列{an}的公比q =
1 2
，a8=1，求它的
前8项和S8. 解法1：因为a8=a1 因此
q7，所以 a
7
1
a8 7 27 q
3n n 3n 1 3 所以 sn 2
a4 64 1.(1)q , a1 1
3
习题答案 q 4. a1 a4 q 1 64 4 s4 51. 1 q 1 4
q 2 q 1 1 3, 2q 2 q 1 0.
1 1 1 1 1 1 1 Sn 1 2 2 3 3 4 4 5 (n 1) n n n 1 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 n 两式相减得 Sn 2 3 4 n n 1 , 2 2 2 2 2 2 2
2.5等比数列 前n项和
回顾旧知
1.等比数列{an}的通项公式： an a1q
n 1
注意：当q=1时，等比数列{an}为常数列.
2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、 累乘法。
3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法 .
新课导入
国际象棋起源于古印度，关于国际象棋 还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什 么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦 粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4 颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推， 每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直 到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然 答应了他的要求，你认为国王能满足他的要 求吗？
n 1 1 设 an n n n ，其中 为等差数列， n n 2 2 2
1 为等比数列，公比为 ，利用错位相减法求和. 2
1 1 1 1 1 Sn 1 2 2 3 3 4 4 n n ， 解： 2 2 2 2 2
1 两端同乘以 ，得 2
1 8 a1 (1 q 8 ) 2 [1 ( 2 ) ] s8 28 1 255 1 1q 1 2
解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项 当作第8项， 即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}， 其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和
b1 (1 q ) 1 2 s8 255 1 q 1 2
n8
1 1 1 q 4 2 2
1 1 8 [1 ( ) ] 255 2 s8 2 1 256 1 2
2.某商场第1年销售计算机５０００台，如果 平均每年的销售量比上一年增 加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销 售量达到３００００台 （保留到个位）？ 分析：由题意可知，每年销售量比上一年增 加的百分率相同，所以从第1年起， 每年的销售量组成一个等比数列，总产量则 为等比数列的前n项和.
① ②
a1 (1 q ) 当q≠1时， sn 1 q
n
则等比数列{an}前n项和公式为
na1
Sn=
a1 (1 qn ) 1q
q=1
q≠1
1.注意q=1与q≠1两种情况.
a1 (1 q ) a1 anq 2.q≠1时， sn 1 q 1 q
n
通过上面的讲解，对于等差数 列的相关量a1、d、n、an、sn，一 般确定几个量就可以确定其他量？
12
a[(1 p) 1] p
12
答：该工厂去年全年的总产值为
a[(1 p)12 1] p
元。
例5
1 2 3 4 n Sn n . 求和： 2 4 8 16 2
分析： n 1 1 a n n 设 n 2n n 2n ，其中 为等差数列， 2
它的前n项和为
1 1 n [1 ( ) ] 1 n 2 2 sn 1 ( ) 1 2 1 2
不论n取何值，
1 n 1 ( ) 总小于1， 2
这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永
远也取不完.
课堂小结
本节课主要讲述了等比数列的前n项和公式：
na1
Sn=
q=1
q≠ 1
a1 (1 qn ) a1 anq 1 q 1 q
8 8
例2
求和
9 99 999
999
n
个9
99
分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不
能直接用公式求和，
但将它转化为
10－1，100－1，1000－1，……， 就可以解决了。
解：
原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1)
=(10+100+1000+……+10n)－n
两式相减得 1 Sn 1 12 13 14 1n n , n 1
2 2 2 2 2 2 2
于是 Sn 2
1 2n 1

n 2n
.
例6 设数列 an (a) (a 0) 求这个数列的前n项和
an 1 (a)n a （与n无关的常数） 解: n 1 an (a)
10(10n 1) n 10 1
10 n (10 1) n 9
例3
已知数列 {an } 的前五项是
1 1 1 1 1 1 ,2 ,3 ,4 ,5 . 3 9 27 81 243
（1）写出该数列的一个通项公式； （2）求该数列的前n项和 sn 分析：此数列的特征是 {an bn } 两部分构成，其中
以及他们的推导过程，在具体使用时,不 一定完全套用公式,要灵活变通.
1.推导等差数列前 n项和公式的方法. -------错位相加法
2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个. -------知三求二
（07年广东）等比数列 {an}中， 高考链接 a1=3,an=96,sn=189,求n的值．
{an }是整数部分，又是等差数列， {bn }是分数部分，
又是等比数列. 所以此数列可以转化为等差数列
和等比数列，所以此方法称为“分组法求和”
1 解：（1） an n n 3
，
（2） sn (1 1 ) ( 2
3
Βιβλιοθήκη Baidu
1 1 1 ) ( 3 ) ...( n ) 2 3 n 3 3 3
1 为等比数列，公比为 ，利用错位相减法求和. 2
解： Sn 1
1 两端同乘以 ，得 2
1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 n n 2 2 2 2 2
，
1 1 1 1 1 1 1 Sn 1 2 2 3 3 4 4 5 (n 1) n n n 1 2 2 2 2 2 2 2
n 1
所以该数列是等比数列，首项为1， sn n a 1 ，该数列的公比为1，
a
1 ( a )n 1，该数列的公比不为1， sn 1 a
注意：当等比数列的通项公式中有参数， 求前n项和时要注意公比是否为1．
例7
1 2 3 4 n Sn n . 求和： 2 4 8 16 2