材料力学作业参考解答

1.由F引起的切应力（每个铆钉大小相同，方向向下）
2.先求由M引起的各铆钉剪力，见图(b)
解得：
上部和底部铆钉中切应力最大
3.最大切应力
A-2试求图形水平形心轴z的位置，并求影阴线部分面积对z轴的面积矩Sz。
解：分三块计算
形心轴位置
A-3试计算(b)图形对y，z轴的惯性矩和惯性积。
解：查型钢表得20a号工字钢几何性质：
解：设工字形截面腹板上最大正应力σ1，其承受的弯矩
翼缘上最大正应力σ2，其承受的弯矩
，故腹板上承受总弯矩的百分比为
即翼缘上承受总弯矩的百分比为
5-6一矩形截面悬臂梁，具有如下三种截面形式：(a)整体；(b)两块上、下叠合；(c)两块并排。试分别计算梁的最大正应力，并画出正应力沿截面高度的分布规律。
解：(a)固定端弯矩最大
最大正应力位于该截面
(b)根据变形协调，
上下两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2
(c)两块并排时
两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2
5-8一槽形截面悬臂梁，长6m，受q=5kN/m的均布荷载作用，求距固定端为处的截面上，距梁顶面100mm处b-b线上的切应力及a-a线上的切应力。
解： 根据切应力公式 ，需确定横截面剪力、面积矩、形心惯性矩
3-2一变截面实心圆轴，受图示外力偶矩作用，求轴的最大切应力。
解：
作扭矩图，
可见最大切应力发生在AB段
3-5一圆轴AC如图所示。AB段为实心，直径为50mm；BC段为空心，外径为50mm，内径为35mm。要使杆的总扭转角为°，试确定BC段的长度a。设G=80GPa。
解：（1）作扭矩图
（2）杆件A、C截面相对扭转角分两段计算
：
（2）由强度条件求
2-14图示AB为刚性杆，长为3a。A端铰接于墙壁上，在C、B两处分别用同材料、同面积的①、②两杆拉住，使AB杆保持水平。在D点作用荷载F后，求两杆内产生的应力。设弹性模量为E，横截面面积为A。
解：
1．本题为超静定问题，
见图(a),设AB杆产生角位移 ，则
，
2．由Hooke定律：
3.由平衡方程：
：
4.由Hooke定律：
①
②
2-15两端固定，长度为l，横截面面积为A，弹性模量为E的正方形杆，在B、C截面处各受一F力作用。求B、C截面间的相对位移。
解：
1．本题为超静定问题
解除A截面处约束，代之约束力 ,见图（a）
A截面的位移为杆件的总变形量
2.由约束条件 得：
3.见图(b),求BC段轴力
解：实心轴
空心轴
最大切应力增大了
3-4一端固定、一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如图所示（空心处有两段，内径10mm，外径30mm）,试求：
(1)轴的最大切应力。
(2)两端截面的相对扭转角(G=80GPa)。
解：（1）作扭矩图，
AB段中最大切应力
CD段中最大切应力
所以轴中，
（2）相对扭转角分四段计算
解：（1）求水压力的合力：
（2）作示力图（a）由平衡方程求轴力
（3）由强度条件，设计截面尺寸：
2-10答：对水塔
，
，
，
，
，
，
2-12图示结构中的CD杆为刚性杆，AB杆为钢杆，直径d=30mm，容许应力［σ］=160MPa，弹性模量E=×105MPa。试求结构的容许荷载F。
解：（1）求AB杆的轴力FN
（1）剪力
（2）形心位置、形心惯性矩，如图
（3）b-b处切应力
（4）a-a处切应力
由于a-a位于对称轴y轴上，故
5-9一梁由两个18B号槽钢背靠背组成一整体，如图所示。在梁的a-a截面上，剪力为18kN、弯矩为55kN·m，求b-b截面中性轴以下40mm处的正应力和切应力。
解：b-b截面的剪力、弯矩分别为
解：支座反力 ， ，自左向右分析：
剪力方程：
弯矩方程：
由方程作图。
注意标出最大弯矩所在截面位置及最大弯矩值。
4-3利用剪力、弯矩与荷载集度之间的关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
解：(a)自左向右分析（这样不需要计算固定端反力）
梁分3段，5个控制面
；
；
(b)支座反力
梁分3段，6个控制面
；
位置距离右端
5-1图(a)所示钢梁(E=×105MPa)具有(b)、(c)两种截面形式，试分别求出两种截面形式下梁的曲率半径，最大拉、压应力及其所在位置。
2-1试绘出下列各杆的轴力图。
2-2（b）答：
2-3答：以B点为研究对象，由平面汇交力系的平衡条件
2-2求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A1=A2=1150mm2；
解：（1）分析整体，作示力图
：
（2）取部分分析，示力图见（b）
：
（3）分析铰E，示力图见（c）
：
2-3求下列各杆内的最大正应力。
解：
1．铆钉强度,求
抗剪强度：
挤压强度
2.板的抗拉强度条件求 ,A的截面
B截面：
综合上述结果，F的许可值取 (最小值)
3．改变铆钉排列后，求解过程与上述相同。
3-6答：
3-10图(a)所示托架，受力F=40kN，铆钉直径d=20mm，铆钉为单剪，求最危险铆钉上的切应力的大小及方向。
解：将F等效移至铆钉群中心，得力偶，
， ，
， ，
（2）沿梁长度剪力是线性分布的，该梁为等截面梁，
因此横截面中性轴上切应力沿梁长度也是线性分布，
由切应力互等，截开面上的切应力τ′沿梁Biblioteka Baidu度是线性分布。
沿梁长度剪力方程 ，横截面中性轴上切应力大小沿梁长度变化规律为
，宽度方向均匀分布，故总的水平剪力
，它由固定端约束力平衡。
5-12试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置，并画出切应力流的流向，设截面上剪力FQ的方向竖直向下。
（1）证明在距自由端为x处的横截面上的切向分布内力τdA的合力等于该截面上的剪力；而法向分布内力σdA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。
（2）如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示。问截开面上的切应力τ′沿梁长度的变化规律如何该面上总的水平剪力FQ′有多大它由什么力来平衡
解：（1）取x截面左边部分，由其平衡
3-8传动轴的转速为n=500转/分，主动轮输入功率P1=500kW，从动轮2、3分别输出功率P2=200kW，P3=300kW。已知［τ］=70MPa，［θ］=1°/m，G=8×10 MPa。
(1)确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
(2)若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。
解：（1）由输入和输出功率求等效力偶，作扭矩图
解：
2-16试校核图示销钉的剪切强度。已知F=120kN，销钉直径d=30mm，材料的容许应力［τ］=70MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉
解：
不满足强度条件
3-10(b)F=40kN, d=20mm
解：中心c位置
2-17两块钢板塔接，铆钉直径为25mm，排列如图所示。已知［τ］=100MPa，［σbs］=280MPa，板①的容许应力［σ］=160MPa，板②的容许应力［σ］=140MPa，求拉力F的许可值，如果铆钉排列次序相反，即自上而下，第一排是两个铆钉，第二排是三个铆钉，则F值如何改变
故
由对称性，
A-8计算图示（a）图形的形心主惯性矩。
解：1.首先求形心位置：
2.求惯性矩
4-1求下列各梁指定截面上的剪力和弯矩。
解：（b）自右向左分析：1-1截面 ，弯矩 ；
2-2截面 ，弯矩
（c）支座反力 （铅直向上），自左向右分析：
1-1截面 ，弯矩 ；
2-2截面 ，弯矩
4-2写出下列各梁的剪力方程、弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
2-7图示等直杆AC，材料的容重为ρg，弹性模量为E，横截面积为A。求直杆B截面的位移ΔB。
解：AB段内轴力
BC段内轴力
B点位移为杆BC的伸长量：
2-8图示结构中，AB可视为刚性杆，AD为钢杆，面积A1=500mm2，弹性模量E1=200GPa；CG为铜杆，面积A2=1500mm2，弹性模量E2=100GPa；BE为木杆，面积A3=3000mm2，弹性模量E3=10GPa。当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移ΔG。
解：（1）求①、②杆轴力
由平衡方程可以求出:
（2）求杆的变形
（压缩）
（拉伸）
（压缩）
（3）由几何关系： （下降）
2-9答：任一截面上轴力为F，由
得面积为
伸长量为
2-11图示一挡水墙示意图，其中AB杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。若AB杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ］=11MPa，试求AB杆所需的直径。
5-16截面为10号工字钢的AB梁，B点由d=20mm的圆钢杆BC支承，梁及杆的容许应力［σ］=160MPa，试求容许均布荷载q。
解：这是一个拉杆强度和梁的强度计算问题
（1）对于BC拉杆
所受轴力
由强度条件
得
（2）对于AB梁
其剪力弯矩图如图
工字钢横截面中性轴对称,
危险截面为弯矩绝对值最大的截面
由强度条件
18B号槽钢的几何性质
， ， ， ,
由正应力公式
切应力公式
5-10一等截面直木梁，因翼缘宽度不够，在其左右两边各粘结一条截面为50×50mm的木条，如图所示。若此梁危险截面上受有竖直向下的剪力20kN，试求粘结层中的切应力。
解：求中性轴位置和Iz
5-11图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，其横截面尺寸为b、h，长度为 。
解：（b）截面
（上拉下压）
（c）截面
形心位置：
5-4求梁指定截面a-a上指定点D处的正应力，及梁的最大拉应力 和最大压应力 。
解：1.求弯矩
支座反力：
a-a截面弯矩
最大弯矩：
2.求形心轴
截面a-a上指定点D：
4-5解：
5-5图示梁的横截面，其上受绕水平中性轴转动的弯矩。若横截面上的最大正应力为40MPa，试问：工字形截面腹板和翼缘上，各承受总弯矩的百分之几
由平衡条件可知：
所以B,C截面相对位移为
3-1试作下列各杆的扭矩图。
3-2一直径d=60mm的圆杆，其两端受外力偶矩T=2kN·m的作用而发生扭转。试求横截面上1，2，3点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。(G=80GPa)。
解：横截面上切应力大小沿半径线性分布，方向垂直半径
3-3从直径为300mm的实心轴中镗出一个直径为150mm的通孔而成为空心轴，问最大切应力增大了百分之几
(1)试按强度条件选定轴的直径。
(2)若轴改用变截面，试分别定出每一段轴的直径。
解：1.由输入和输出功率计算等效力偶
2.作扭转图
（1）
d取79mm，适用于全轴。
（2） 适用于1，2轮之间
适用于4，5轮之间
3-14工字形薄壁截面杆，长2m，两端受·m的力偶矩作用。设G=80GPa，求此杆的最大切应力及杆单位长度的扭转角。
得
从而确定容许均布荷载
4-13解： ， ，
， ，
C截面下部受拉：
B支座负弯矩，上部受拉：
4-18用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。设EI为已知。在图(d)中的E=×10 MPa，I=×10 cm 。
解:(a)（1）支座反力计算
，
（2）列弯矩方程
，
，
（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程
，
，
（4）积分一次
由强度条件：
由刚度条件：
为满足强度和刚度条件，AB段的直径d取91mm；BC段的直径d取80mm。
（2）若AB和BC两段选用同一直径，直径d取91mm。
3-7图示传动轴的转速为200转/分，从主动轮3上输入的功率是80kW，由1、2、4、5轮分别输出的功率为25、15、30和10KW。设［τ］=20Mpa
（3）图(c)为变截面拉杆，上段AB的横截面积为40mm2，下段BC的横截面积为30mm2，杆材料的ρg=78kN/m3。
解：1.作轴力图，BC段最大轴力在B处
AB段最大轴力在A处
杆件最大正应力为400MPa，发生在B截面。
2-4一直径为15mm，标距为200mm的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加时，杆伸长了，直径缩小了，确定材料的弹性模量E、泊松比ν。
解：加载至时，杆件横截面中心正应力为
线应变：
弹性模量：
侧向线应变：
泊松比：
2-6图示短柱，上段为钢制，长200mm，截面尺寸为100×100mm2；下段为铝制，长300mm，截面尺寸为200×200mm2。当柱顶受F力作用时，柱子总长度减少了，试求F值。已知E钢=200GPa，E铝=70GPa。
解：柱中的轴力都为F，总的变形（缩短）为：
解：
5-14图示铸铁梁，若［ ］=30MPa,［ ］=60MPa,试校核此梁的强度。已知 764×10 m 。
解：(1)计算支座反力，作弯矩图
(2)校核强度（该梁截面中性轴不对称，正负弯矩最大截面均是可能危险截面）
C截面正弯矩最大
D截面负弯矩最大
符合强度要求
5-15一矩形截面简支梁，由圆柱形木料锯成。已知F=8kN,a=，［σ］=10MPa。试确定弯曲截面系数为最大时的矩形截面的高宽比h/b，以及锯成此梁所需要木料的最d。
，
，
（5）再积分一次