基于双树复小波变换与非线性扩散的图像去噪

Ｉ ｇ ｅ ｏ ｓｎ ｓ ｄ ｏ ｕ ｌｔｅ ｏ ｐｌｘ ｗａ ｅｌ ｒ ｓｏ ｍ ｍａ ｅ ｄ ｎ ｉｉｇ ｂａ ｅ ｎ ｄ ａ ｒ ｅ ｃ ｍ ｅ ｖ ｅｔｔａｎ ｆ ｒ
ａｎ ｏ ｌ ｅａ ｉ ｕ ｉ ｄ ｎ ｎ ｉ ｎ ｒ ｄ ｆ ｓ ｏｎ ｆ
Ｗ Ｕ ｅ 。 Ｗ ＡＮＧ ｎ — ｈ Ｗ ｉ Ｈｏ ｇ ｚ ｉ
非 线性扩 散 ， 分 利用双 树 复小 波变换 和 非线 性扩散 两 者 的优 点 ， 充 更好地 抑 制 噪声保 留图像 边
缘纹 理 等细 节信息 。 关 键词 ：双树 复 小波 变换 ；非 线性扩 散 ；图像 去噪
中图分 类 号 ：Ｔ ３ １ ４ Ｐ ９． １ 文 献标 志码 ： Ａ 文 章编 号 ： ６ ４１ ７ （ ０ １ ０ —２ ９０ １ ７ —３ ４ ２ １ ）３０ ０ — ５
Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｆｉ ｓ ｈｅ ｉ ｇ ｓ ｔ ａ ｆ ｒ ｄ ｗｉｈ ｄ ｌｔ ｅ ｏｍｐｌ ｘ ｗａ ｅ ｅ ｏ ｇ ｔｔ ｕｂ ｂａ ｍａ ｅ ａ ｒ ｔｔ ｍａ ｅ ｉ ｒ ｎｓ ｏ ｍｅ ｔ ｕａ ｒ ｅ ｃ ｅ ｖ ｌ ｔｔ ｅ ｈｅ ｓ — ｎｄ ｉ ｇ ｔ
大， 在滤 除 噪声 的同 时 ， 图像 的视 觉破 坏也 相 当 对
严 。 因此 ， 们 对 Ｐ Ｍ 模 型 进 行 了大 量 的改 人 —
进。
减小 通 常 的实 小 波 变 换 中 的平 移 敏 感 性 ， 善 方 改 向选 择性 。这 些优 点使 双树 复小 波 变换在 图像 去 噪领域 得到 了广 泛 的应用 。
０ 引 言
基 于偏 微分方 程 的 图像 处 理是 近年来 研究 的
一
用 。其 中非线 性扩散 方 程是 图像 去噪 领域 中应用 最 为 广泛 的模 型 ， Ｐ ｒ ｎ 由 ｅｏ ａ和 Ｍａ ｋ４于 １ ９ ｌ＿ ｉ ９ ０年
提 出， 该非 线性 扩 散模 型 根据 图像 梯 度 对 图像 进
基 金项 目：吉 林 省 教 育 厅 基 金 资 助 项 目（０ ５ ８ ２０２） 作 者简 介 ：武 伟 （ ９ ２ ） 女 ， 族 ， １８一 ， 汉 吉林 长 春 人 ， 春工 业 大 学 助 理 实 验 师 ， 士 ， 要 从 事 信 号 处 理 方 向 研 究 ， — ｉ ｗ ｗｅ＠ 长 硕 主 Ｅｍａｌ ｕ ｉ ：
树 的滤 波器 为 奇数长 ， 一树 的滤 波器 为偶 数长 。 另
如 果在 每树 的 不 同层 次 间 交 替 采 用奇 偶 滤 波 器 ，
第 ３ 期
武
伟 ，等 ： 于 双 树 复 小 波 变 换 与非 线 性 扩 散 的 图 像 去 噪 基
２１ １
其 中 ， “是 图像 的梯 度 ， 义 为 ： 定
像逐 渐平 滑 ， 而 达 到 去 除 噪声 的 目的 。其 数 学 从
表 达式 为 ：
Ｉ 』 一ｄ ｌ “ “ ａ ｉｃ Ｖ‘ Ｉ “
Ｉ ｚ， ， ） 一 “ （ ， ） “（ ０ ｏ ＿ ｙ
Ｉ （ １ ｌ ） Ｊ
式中：
ｃ１ （ １ ）一 （） ２
ｂｏ ｈ ｔ ｎｌｎ ａ ｉｆ ｓｏｎ ａ ｕａ ｒ ｅ ｃ ｍ ｐ ｅ ｖ ｌｔ ｔａ ｆ ｒ ａ ｅ ｕｓ ｄ ｔ ｂｔ ｉ ｈｅ ｅ ｇｅ ｎｄ ｔ ｈｅ ｎｏ ｉ ｅ ｒｄ ｆ ｕ ｉ ｎｄ ｄ ｌｔ ｅ ｏ ｌ ｘ ｗａ ｅ ｅ ｒ ｎｓ ｏ ｍ ｒ ｅ ｏ ｏ ａ ｎ ｔ ｄ ｓａ ｔ ｘ ｕｒ ｈ ｍ ａ ｎ ｈｅ ｋ ｔ ｅ ｎ ｉ ｅ ． ｅ ｔ ｅ ｏｆｔ ｅ ｉ ｇｅ ａ ｄ ｃ ｃ ｈ ｏ ｓ ｓ Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ：ｄｕ ｌｔ ｅ ｏ ｐ ｅ ｖ ｌｔ ｔ ａ ｓ ｏｒ ；ｎ ｌｎｅ ｒ ｄ ｆ ｕ ｉ ａ ｒ ｅ ｃ ｍ ｌ ｘ ｗａ ｅ ｅ ｒ ｎ ｆ ｍ ｏｎ ｉ ａ ｉｆ ｓｏｎ；ｉ ｇ ｅ ｏｉｉ ｇ． ｍａ ｅ ｄ ｎ ｓｎ
变分 方 法 、 函分析 、 分 几 何 等数 学 工 具 ， 立 泛 微 建
和偏 微分 方程 相关 的模 型 ， 其 在 图像 分 割 、 使 图像 平滑、 图像 识别 等 图像 处 理 领域 得 到 了广 泛 的 应
却 存在 一定 缺 陷 ， 由于扩 散 函数 是 基 于 图像 梯 度
收 稿 日期 ：２ １ ３ １ ０ １０ ５
“ 一
利用 双树 复小 波在 纹理 和边 缘等 细节 处理 的
优点 ， 结合 非线 性 扩“散 滤 波 提 出 了一 种 新 的图像
一
一 ， ，， “ ｃ 去噪 方 法 。首 先 对 噪 声 图像 进 行 双 树 复 小 波 分 ｌ ’ ’ ［ ， … （ ’ ’ Ｊ ３ 去］ ）
文 献 ［ ］ 到 正 则 化 后 的 ＰＭ 扩 散 方 程 ； ７得 —
Ｗ ｈｔ ｋ ｒ 和 Ｐ ｚ ｒ ，Ｗ ｅｃ ｅｔ 以 及 Ｃ ｒ － ｉａ ｅ ｉｅ ｉｋ ｒ ａ ｍｏ
ｎ 改 进 了 Ｐ Ｍ 扩 散 模 型 ； ０ ０年 ， ｈ ｎ“ ａ” 等 — ２０ Ｃ ｅ ［ 等得 到 ＿较好 的非 线性 扩散 模 型 。在 同样 的理论 ｒ 框 架 Ｆ， ） ｅ （ｓ ｒ ｈ Ｒｕ ｉｌ。 关 于 冲 击 滤 波 器 ｄｎ】 。
４
—
ｄｖ ） ｉ（ 为散 度 ， 义 为 ： 定
解 ，生成 ６个 方 向 的高 频子 带 图像 ，然后 针 对 这 些 子带 图像 复小 波］ 阵 的不 同特点 进行 非线 系数矩 ∑ 一
性 扩散 。最 后进 行双 树 复小 波逆 变 换 ， 到 最终 得 滤 波后 的 图像 。
（ ｈ ｃ ｉ ｅ） Ｒｕ ｉ， ｈ ｒ Ｆ ｔｍｉ 关 于 全 Ｓ ｏ ｋＦｌ ｒ和 ｔ ｄｎ Ｏｓ ｅ ， ａｅ Ｌ
１ 双 树 复 小 波 变 换
传统 的离 散小 波变 换存 在平 移敏感 性 和缺 乏
方 向选择 性 等 缺 点 ， 了 克 服 这 些 缺 点 ， ｎ ｓ 为 Ｋｉｇ —
ｍａ ｌ ｃ ｕ ． ｄ ． ｎ． ｉ ｃ ｔｅｕ ｃ ．
２０ １
长 春 工 业 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
第 ３ ２卷
计算 出来的 ， 从而 对 噪声很 敏感 ， 旦噪 声强 度加 一
换 的缺 陷而 提 出 的 。 当对 应 小 波 基 （ 似 ） 足 近 满 Ｈｉ ｅｔ 换关 系 时 ， 树复 小波 变换 能够 极大 地 ｌ ｒ变 ｂ 双
１所 示 。
双树复 小波 变换 是 为克服 通 常 的离 散小 波变
图 １ 双 树 复 小 波 变 换
Ｋｉｇ ｂ ｒ ｎ ｓ ｕ ｙ的思 路是 ： 于第 一层 分 解 ， 果 对 如
两 树滤 波器之 间 的延 迟 恰 是 一个 采 样 间 隔 ， 么 那
那么 这两 树就 会呈 现好 的对 称性 。
—
Ａ
．
数， 随着梯 度 的增加 而单 调下 降 ，见式 （ ） ２ 。该 扩
散 系数 决定 了扩散进 行 的方 式 ， 供 了 一种 局部 提
自适应 的扩 散控 制策 略 ， 得 扩散 尽 可能 在 噪声 使
的位置 进行 ，而在 图像 的边 缘位 置停 止 。
・
，
Ａ ； 频 子 带 图像 分 别 为 ｗ ， 。 ｗ ， 高 ｗ ，
（ ｃ ｏ ｌｏ ｍｐ ｔ ｒＳｃｅ ｅ ＆ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ Ｓ ｈ ｏ ｆＣｏ ｕ ｅ ｉｎｃ ｇ ｎ ｅ ｉｇ，Ｃｈ ｎ ｃ ｎＵ ｎｖ ｒ ｉｙｏ ｃ ｎ ｌｇ ａ ｇ ｈｕ ｉｅｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ，Ｃｈ ｎ ｃ ｎ １ ０ ２ ａ ｇ ｈｕ ３ ０１ ，Ｃｈｎ ｉａ）
个 热点 口 ］其 来 源 于 物 理 学 中 的 热 传 导 ， 合 ， 结
行 不 同程度 的平 滑 滤 波 ， 有 各 向异 性 。随着 研 具 究 的深 入 ， 人们 发现 经典 Ｐ Ｍ 方 法 虽然 在 特征 保 — 持 方 面成果 显著 ， 但从 数 学模 型 的观点看 ， 模型 其
这样 ＰＭ 方程 作用 于 图像 的模 板 为 ： —
第３ ２卷 第 ３期 ２ １ 年 Ｏ 月 ０１ ６
长 春 工 业 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｈ ｎ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｆＣｈ ｎ ｃ ｕ ｉｅ ｓｔ ｏ ｃ ｎ ｌｇ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉ ） ｙ ｏ
就 可 以确保 ｂ树 中第 一 层 的二 抽取 正好 采 样 到 ａ 树 中 因二抽取 所 丢 掉 的采 样 值 （ 这样 就 等价 于没
进 行二 抽取 ， 且非 常易 于实 现 ， 而 如在 ｂ树前 加一
２ 非 线 性 扩 散 方 程
Ｐ ｒｎ ｅｏ ａ和 Ｍａｉ 提 出 了一 种非 线性 扩散 方 ｌ ｋ 程， 该方 程通 过 时 间变 化 的更 新 （ 即迭 代 ） 得 图 使
Ｖ ｏ１３２ Ｎ Ｏ ． ．３
基 于双 树 复 小 波 变 换 与
非 线 性 扩 散 的 图像 去 噪
武 伟 ， 王 宏 志
（ 春 工 业 大 学 计 算 机 科 学 与 工 程 学 院 ，吉 林 长 春 １０ １ ） 长 ３ ０２
摘 要 ：首 先对 图像进 行双 树 复小 波 变换 得 到 不 同尺 度 上 的子 带 图像 ， 后 对 子 带 图像进 行 然
（ ） ４
Ｃ
Ｃ
ｄ 一击＋ ＋ … 去） ｉ （ 去＋ ＋ ｖ ｃ
一
～
～
般 情 况 下 ，扩 散 函 数 ｃ是 图 像 的梯 度 函
算 法 的主要 步骤 如下 ： 步 骤 １ 对 图像 进 行 一 次 双 树 复 小 波 变 换 。 ： 设 二维 图 像 “ ｚ， 分 解 后 的 低 频 子 带 图像 为 （ ）
个 采样 周期 延迟 即可 ） 对 于 以后 的各 层 分 解 ， ； 为 了保证 两树 在该 层 和所 有 前层 上产 生 的延 迟差 的 总和 相对 于原 始输 入 为 一 个 采 样周 期 ， 树对 应 两 滤 波器 的相频 响应之 间应 有半个 采 样周 期 的群延 迟 ， 两滤 波器 的 幅频 响 应 相 等 。为 了 保 证线 性 且 相 位 而采 用 双 正 交 小 波 变 换 ， ｎ ｓ ｕｙ要 求 一 Ｋｉｇ ｂ ｒ
ｄ ｆｅ ｅ ｔｓ ａ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｈ ｕ — ａ ｄ ｉ ａ ｅ ｉ ｐ ｏ ｅ ｓ ｄ ｗｉ ｏ ｌ ｅ ｒ ｄ ｆｕ ｉ ｎ Ｔｈ ｄ ａ ｔ ｇ ｓ ｏ ｉ ｒ ｎ ｃ ｌ ｎ ｈ ｎ ｔ ｅ ｓ ｂ ｂ ｎ ｍ ｇ ｓ ｒ ｃ ｓ ｅ ｔ ｎ ｎ ｉ ａ ｉ ｓｏ ． ｆ ｈ ｎ ｆ ｅ ａ ｖ ｎ ａ ｅ ｆ
ｂ ｒｌ “ 等提 出 了双 树 复 小 波 变换 （ Ｔ Ｃ ｕ ｙｌ ］ Ｄ ＷＴ） 。
变 差去 噪 的研究 工作 显示 了理 解偏 微分 方程 在 图
像 处理 中应 用 的必要 性 与重要 性 。
双树 复 小 波 变 换 采 用 了 二 又 树 架 构 的 两 路 Ｄ ＷＴ， 一树 生成 变换 的 实部 ， 树生 成 虚部 ， 图 一 如
，
Ｗ Ｈ
．
Ｗ Ｈ Ｗ Ｈ ， 。
Ｐ Ｍ 方 程 的离散 形式 为 ： —
‘
步骤 ２ 将 得 到 的 高频 子 带 图像 分 别 进 行 非 ：
步骤 ３ 用 非 线 性 扩散 滤 波 处 理 后 的 高频 子 ：
线性 扩散 滤波 。
“ 一“＋ｌ Ｉ （ ｕ‘ ｕ ： Ｖ ） ∑ｆ Ｖ