浅谈新定义试题的编制方式与解题要点(精)

浅谈新定义试题的编制方式与解题要点

江西省彭泽县杨梓中学 程峰

在近几年中考试题中频频出现这样一类题——新定义问题。新定义问题主要考查学生的阅读理解能力、自学能力以及接受新事物适应情况的能力，大部分学生感觉这类试题有一定的难度。本文拟谈谈此类试题的编制方式和解题要点。 一、新定义数

试题编制方式：以一些具有特殊性质或具有特殊关系的数为背景。 解题要点：抓住新定义本质特征或隐含的规律。

例1 我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，......

4

13121任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如 (20)

1

51411214131613121，，，+

=+=+=根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数

=++=b a ，b

a n n 那么的正整数是不小于1

1)2(1 (用含n 的式子表示) 解析 观察式子20

1

51411214131613121+=+=+=，，的分母发现3+6=9=32=(2+1)2，

4+12=16=42

=(3+1)2

，5+20=25=52

=(4+1)2

，由此得a+b=(n+1)2

.

例 2 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘

数”。如4=22-02，12=42-22，20=62-42

，因此，4，12，20这三个数都是神秘数。

（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数）。由这两个连续偶数构造的神

秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？

解析 （1）∵28=82-62，2012=5042-5022

，∴28和2012这两个数是神秘数。

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k 构造的神秘数是M ，则依据“神秘数”的定

义可得M=(2k+2)2-(2k)2

=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=4(2k+1).故M 是4的倍数。

（3）设两个连续奇数分别为2k+1和2k-1，则其平方差为(2k+1)2-(2k-1)2

=8k ，

而8k 无法表示成两个连续偶数的平方差，故两个连续奇数的平方差（取正数）不是神秘数。

二、新定义运算

试题编制方式：人为的给出新的运算符号并赋予它相应的运算法则或顺序或程序。 解题要点：抓住新定义运算的法则或顺序。

例3 在实数范围内定义运算“△”，其规则为a △b=a 2-b 2

，则方程（4△3）△x=13的解

为x= .

解析 由a △b=a 2-b 2，得4△3= 42-32

=7. ∴由（4△3）△x=13，得7△x=13，

∴72-x 2

=13，∴x=±6.

例4 定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为

3n+5；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使k

n

2为奇数的正整数），并且运算重复进行。

例如：取n=26，则26 13 44 11 ……

若n=449，则第449次“F 运算”的结果是 。

解析 根据F 运算的程序，考虑寻找规律。由449 1352

169 512 1 8 1……，可看出，以后

的运算结果是1和8的交替出现，由于从第4次起，运算次数是偶数，结果为1，运算次数是奇数，结果为8，因449是奇数，，故运算结果为8。 三、新定义点或线

试题编制方式：以满足特定关系或性质的点或线为背景。 解题要点：抓住新定义的点或线的内涵与外延。 例5 如图1（1），在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点，在射线OP 上取

一点P ˊ，使得OP ·OP ˊ=r 2

，这种把点P 变为P ˊ的变换叫做反演变换，点P 与点P ˊ叫做互为反演点。如图1（2），⊙O 内外各一点A 和B ，它们的反演点分别为A ˊ和B ˊ，求证：∠A ˊ=∠B.

(1)

O P

P'

(2)

B'B

O A'

A

证明：∵A 和A ˊ，B 和B ˊ互为反演点，

∴OA ·OA ˊ=r 2，OB ·OB ˊ=r 2

,

∵OA ·OA ˊ=OB ·OB ˊ,∴'

'OA OB

OB OA

又∠BOA=∠AOB ∴△OAB ∽△OBA ∴∠A ˊ=∠B. 三、新定义图形

新定义图形主要是指新定义三角形、四边形（如矩形、梯形、平等四边形等）、圆、多边形等。其中新定义四边形在试题中出现最多。

第1次

F ② F ① F ②

第1次

第2次

第3次

F ①

F ① F ① F ② F ② F ②

第2次

第3次

第4次

第5次

第6次

试题编制方式：以图形中边或角或对角线满足特定的条件（如数量关系，位置关系）或图形经过某些变换（如平移、旋转、折叠）为背景，从而赋予这些图形新的定义，例如：对角线相等的四边形叫做等对角线四边形，至少一组对边相等的四边形叫做等对边四边形，等等。

解题要点：抓住新定义图形的性质，变换方式等，必要时结合三角形全等，相似，特殊四边形的性质等有关知识。

例6 如图2所示，给出如下定义：第一个四边形的两组相邻两边分别相等，则称这

个四边形为筝形四边形。

图2

45°

30°

E

B

C

A

（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是筝形四边形的图形名

称 ；

（2）如图2，在筝形ABCD 中，AD=CD ，AB=BC ，

若∠ADC=60°，∠ABC=30°，求证：2AB 2=BD 2

.

解 （1）正方形或菱形。

（2）证明：如图2，过点B 作BE ⊥CO ，交CO 延长线于点E ，连接BD ，

在△ABD 和△BCD 中，AB=CB ，AD=CD ，BD=BD ， ∴△ABD ≌△BCD.

∴∠BCD=

21

∠ADC=30°, ∠PCB=2

1

∠ABC=15°,

∴∠BCE=45°.

设BE=x ，在Rt △BCE 中，CE=x,BC=2BE=2x=AB,

在Rt △DBE 中, ∠BCD=30°, ∴BD=2BE=2x,

∴AB 2=2x 2,BD 2=4x 2, ∴2AB 2=BD 2

.

说明 本题通过构造Rt △，结合边的关系以及特殊角，把BD 、AB 联系起来。

例6 给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平和，则

称这个四边形为等平方和四边形。