浅谈新定义试题的编制方式与解题要点(精)

浅谈新定义试题的编制方式与解题要点
江西省彭泽县杨梓中学 程峰
在近几年中考试题中频频出现这样一类题——新定义问题。

新定义问题主要考查学生的阅读理解能力、自学能力以及接受新事物适应情况的能力，大部分学生感觉这类试题有一定的难度。

本文拟谈谈此类试题的编制方式和解题要点。

一、新定义数
试题编制方式：以一些具有特殊性质或具有特殊关系的数为背景。

解题要点：抓住新定义本质特征或隐含的规律。

例1 我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，......
4
13121任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如 (20)
1
51411214131613121，，，+
=+=+=根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数
=++=b a ，b
a n n 那么的正整数是不小于1
1)2(1 (用含n 的式子表示) 解析 观察式子20
1
51411214131613121+=+=+=，，的分母发现3+6=9=32=(2+1)2，
4+12=16=42
=(3+1)2
，5+20=25=52
=(4+1)2
，由此得a+b=(n+1)2
.
例 2 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘
数”。

如4=22-02，12=42-22，20=62-42
，因此，4，12，20这三个数都是神秘数。

（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数）。

由这两个连续偶数构造的神
秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
解析 （1）∵28=82-62，2012=5042-5022
，∴28和2012这两个数是神秘数。

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k 构造的神秘数是M ，则依据“神秘数”的定
义可得M=(2k+2)2-(2k)2
=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=4(2k+1).故M 是4的倍数。

（3）设两个连续奇数分别为2k+1和2k-1，则其平方差为(2k+1)2-(2k-1)2
=8k ，
而8k 无法表示成两个连续偶数的平方差，故两个连续奇数的平方差（取正数）不是神秘数。

二、新定义运算
试题编制方式：人为的给出新的运算符号并赋予它相应的运算法则或顺序或程序。

解题要点：抓住新定义运算的法则或顺序。

例3 在实数范围内定义运算“△”，其规则为a △b=a 2-b 2
，则方程（4△3）△x=13的解
为x= .
解析 由a △b=a 2-b 2，得4△3= 42-32
=7. ∴由（4△3）△x=13，得7△x=13，
∴72-x 2
=13，∴x=±6.
例4 定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为
3n+5；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使k
n
2为奇数的正整数），并且运算重复进行。

例如：取n=26，则26 13 44 11 ……
若n=449，则第449次“F 运算”的结果是 。

解析 根据F 运算的程序，考虑寻找规律。

由449 1352
169 512 1 8 1……，可看出，以后
的运算结果是1和8的交替出现，由于从第4次起，运算次数是偶数，结果为1，运算次数是奇数，结果为8，因449是奇数，，故运算结果为8。

三、新定义点或线
试题编制方式：以满足特定关系或性质的点或线为背景。

解题要点：抓住新定义的点或线的内涵与外延。

例5 如图1（1），在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点，在射线OP 上取
一点P ˊ，使得OP ·OP ˊ=r 2
，这种把点P 变为P ˊ的变换叫做反演变换，点P 与点P ˊ叫做互为反演点。

如图1（2），⊙O 内外各一点A 和B ，它们的反演点分别为A ˊ和B ˊ，求证：∠A ˊ=∠B.
(1)
O P
P'
(2)
B'B
O A'
A
证明：∵A 和A ˊ，B 和B ˊ互为反演点，
∴OA ·OA ˊ=r 2，OB ·OB ˊ=r 2
,
∵OA ·OA ˊ=OB ·OB ˊ,∴'
'OA OB
OB OA
又∠BOA=∠AOB ∴△OAB ∽△OBA ∴∠A ˊ=∠B. 三、新定义图形
新定义图形主要是指新定义三角形、四边形（如矩形、梯形、平等四边形等）、圆、多边形等。

其中新定义四边形在试题中出现最多。

第1次
F ② F ① F ②
第1次
第2次
第3次
F ①
F ① F ① F ② F ② F ②
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
试题编制方式：以图形中边或角或对角线满足特定的条件（如数量关系，位置关系）或图形经过某些变换（如平移、旋转、折叠）为背景，从而赋予这些图形新的定义，例如：对角线相等的四边形叫做等对角线四边形，至少一组对边相等的四边形叫做等对边四边形，等等。

解题要点：抓住新定义图形的性质，变换方式等，必要时结合三角形全等，相似，特殊四边形的性质等有关知识。

例6 如图2所示，给出如下定义：第一个四边形的两组相邻两边分别相等，则称这
个四边形为筝形四边形。

图2
45°
30°
E
B
C
A
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是筝形四边形的图形名
称 ；
（2）如图2，在筝形ABCD 中，AD=CD ，AB=BC ，
若∠ADC=60°，∠ABC=30°，求证：2AB 2=BD 2
.
解 （1）正方形或菱形。

（2）证明：如图2，过点B 作BE ⊥CO ，交CO 延长线于点E ，连接BD ，
在△ABD 和△BCD 中，AB=CB ，AD=CD ，BD=BD ， ∴△ABD ≌△BCD.
∴∠BCD=
21
∠ADC=30°, ∠PCB=2
1
∠ABC=15°,
∴∠BCE=45°.
设BE=x ，在Rt △BCE 中，CE=x,BC=2BE=2x=AB,
在Rt △DBE 中, ∠BCD=30°, ∴BD=2BE=2x,
∴AB 2=2x 2,BD 2=4x 2, ∴2AB 2=BD 2
.
说明 本题通过构造Rt △，结合边的关系以及特殊角，把BD 、AB 联系起来。

例6 给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平和，则
称这个四边形为等平方和四边形。

（1）
O
C
A (2)
4
3
2
1
O'
E
A'
O
D
C
A
B
D'
（1） 如图3（1），在梯形ABCD 中，AB ∥BC ，AC ⊥BD ，垂足为O ，求证：AD 2
+BC 2
=AB 2
+DC 2
.
即四边形ABCD 是等平方四边形。

（2） 如图3（2）是将图3（1）中的△AOD 绕点O 按逆时针方向旋转a(0°＜a ＜90°)
后得到，那么四边形ABCD 能否成为等平方和四边形？若能，请你证明，若不能，请说明理由。

解 （1）∵AC ⊥BD 于O ，
∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°.
∴OA 2+OD 2=AD 2，OB 2+OC 2=BC 2
，
OA 2+OB 2=AB 2，OD 2+OC 2=DC 2
.
∴AD 2+BC 2=AB 2+DC 2
，
即四边形ABCD 是等平方和四边形。

（2） 分析：要说明旋转后四边形是否为等平方和四边形，只要说明AC ⊥BO ，而∠
AOD=90°，所以只要证∠AO ′D=∠AOD 即可，为此，画出原梯形A ′BCD ′。

如图3（2），连结AC 、BD 交于点O ′. ∵A ′D ∥BC ，∴△A ′OD ′∽△COB.
∴
，OB
OD OC OA '
'= ∵OA ′=OA ，OD ′=OD ，∴，OB
OD
OC OA = ∠AOA ′=∠DOD ′=a ， ∠AOC=∠DOB=180°-a ， 又∵
，OB
OD
OC OA =∴△AOC ∽△DOB. ∴∠1=∠2 又∵∠3=∠4
∴∠AOD=∠AOD=90°，
由（1）结论得AD 2+BC 2=AB 2+DC 2
，即四边形ABCD 是等平方和四边形。

四、类比定义
试题编制方式：以学生熟知的定义进行引申或类比，从而引出新的定义。

例如：由黄金分割点类比引出黄金分割线，或引申为黄金三角形等，又如把位似与旋转相结合引出旋转相似变换等。

解题要点：抓住原始定义和新定义及有关性质。

（3） 如图4（1），C 是线段AB 上一点，且满足
，AB AC AC BC 2
1
5-==则点C 叫做线段AB 的黄金分割点。

比值
2
1
5-叫做黄金比。

（1）
A
C B
（2）
D
C
A
B
（3）
α
O D
A
C
B
（4）
D
B
C
（1） 类似地我们可以定义：顶角为36°的等腰三角形叫做黄金三角形，其底与腰之
比为黄金比。

如图4（2），在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，∠ACB 的角平分线CD 交腰AB 于D ，请你说明D 为腰AB 的黄金分割点的理由。

（2） 若腰和上底相等，对角线和下底相等的等腰梯形叫做黄金梯形。

如图4（3），AD
∥BC ，AB=AD=DC ，AC=BD=BC ，试说明O 为AC 的黄金分割点。

（3） 如图4（4），在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，CD 为斜边AB 上的高，A 、B 、ACB 的
对边分别为a 、b 、c ，若D 是AB 的黄金分割点，那么a 、b 、c 之间的数量关系是什么？并证明你的结论。

证明（1）在△ABC 中，
∵∠A=36°，AB=AC ，∴∠ACB=72° ∵CD 平分∠ACB ，
∴∠DCB=
2
1
∠ACB=36°，∴∠A=∠DCB ， ∵∠ABC=∠CBD ，△ABC ∽△CBD
∴
BD
CB
CB AB =. 又易证得BC=CD=AD ，∴BD
AD
AD AB =， ∴D 为腰AB 的黄金分割点。

（3）在△ABC 和△DCB 中，
∵AB=DC ，AD ∥BC ，∴∠ABC=∠DCB ∵BC=CB ，∴△ABC ≌△DCB ∴∠ACB=∠DBC=a ，
∵AD ∥BC ，∴∠DBC=∠BDA=a ， ∵AB=AD ，∴∠ABD=∠BDA=a. ∴∠ABC=2a ，
∵AC=BC ，∠ABC=∠CBA=2a ， 在△ABC 中，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴5a=180°，a=36°. 在等腰△ABC 中，
∵BD 为∠ABC 的角平分线，∠ACB=36°. 由（1）的结论知O 为腰AC 的黄金分割点，即CO
AO
AC CO =. （3）a 、b 、c 之间的数量关系是ac b =2
.
∵∠ACB=90°,CO ⊥AB, ∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠A=∠A ，△ACB ∽△ADC ， ∴
.2AB AD AC ，AC
AB
AD AC ∙==即 ∴c ，AD b ∙=2
同理可证，c ，BD a ∙=2
∴.2c b AD =① ，c
a BD 2
=② 又∵D 为AB 的黄金分割点， ∴c BD AD ∙=2
.③
把①，②代入③得2
2
4
c a b =， ∵a,c 均为正数，∴ac b =2.
说明 本题各问运用黄金分割点的定义及性质，结合三角形相似等知识，使问题得证。

小结：由以上几例可知，新定义问题并不神秘，表面上是我们没有见过的问题，但只要理解了新定义并紧扣新定义，就可将其转化为我们熟悉的问题。

当然这一转化过程中学生的三基（基本知识、基本能力、基本方法）起决定性作用。

若三基不牢固、扎实，则解任何问题都是空中楼阁。

归根到底，不管中考试题如何变化，如何推陈出新，其宗旨都是考查学生的“三基”。

因此，三基才是解题的根本，不管是平时的学习还是总复习都应重视三基的训练，作
为教师，在新或总复习教学中始终应把提高学生的三基放在首位。