分数傅里叶变换

分数傅里叶变换的无透镜光学实现
杨虎李万松
提要：利用球面波照射物体的自由空间菲涅耳衍射，完成任意级次分数傅里叶变换的无透镜光学实现，给出了不同条件下无透镜模式基本参量的选择法则及其分数傅里叶变换的数学表达。

计算机模拟实验证明了结论的可靠与可行。

关键词：傅里叶光学变换透镜
Non lens optical realization of fractional Fourier transform
Yang Hu
(Department of Physics,ShanXi Normal University,Linfen 041004)
Li Wansong
(Opto－Electronics Department,Sichuan Union University,Chengdu
610064)
Abstract:In this paper,we describe the fact that arbitrary orders of fractional Fourier transform can be realized by the Fresnel diffraction in free space.In this case,the object should be illuminated by sphere light wave.We give out the select laws of the basic parameter under different conditions and the mathematic expression of the fractional Fourier transform.Its reliability and feasibility are demonstrated by computer simulation.
Key words:Fourier,Optical transform,lens
1 引言
分数傅里叶变换的概念最早由Namias用于求解各种条件下的薛定谔方程〔1〕，Lohmann于1993年将其引入信息光学〔2〕，用单透镜模式和双透镜模式完成了它的光学实现，并把分数傅里叶变换理解为透镜的位相转换与菲涅耳衍射的组合。

在Lohmann提供的光学实现装置中，透镜是必需的基本光学单元，且其焦距的选择条件较为严格，因此给应用环境带来不必要的限制。

本文基于分数傅里叶变换的物理本质，利用球面波照射物体的自由空间菲涅耳衍射，完成任意分数级傅里叶变换，提供了不同条件下无透镜模式基本参量的选择定则，弥补了有透镜模式的不足。

计算机模拟实验证明了结论的可靠性与可行性。

2 理论分析
根据Lohmann给出的定义〔2〕，对一维物体u(x
)实施p级次的分数傅里叶变换如
图1所示，其频谱分布u
p (x
1
)为：
其中φ＝p．(π)/(2)，f
=fsinφ称标准焦距，f是透镜焦距。

用单位距离处振幅为1的单色球面波照明物体u(x′
0)，并设物体u(x′
)
与定义(1)式中u(x
)有相似的形式。

在图2所示坐标系下，点光源s位于z轴上
距物面ρ。

根据菲涅耳衍射积分公式，与物面相距z
2
的观察面上的光场分布为：
为获得分数傅里叶变换的无透镜光学实现，使u(x
2)与u
p
(x
1
)有相同的数学
表达，分两种不同情况来讨论：
2.1 对原物的同级分数傅里叶变换无透镜模式
设物体u(x′
0)与定义式中u(x
)完全相同，即对原始物体u(x
)直接进行无
透镜光学实现，x′
0＝x
，则(2)式记为：
将(3)式与定义(1)式进行位相因子比较有：
其中(7)式与(8)式描绘了对原物实施p级分数傅里叶变换的无透镜模式的基本
结构；而据(9)式知，x
2＝x
1
cosφ＜x
1
，其物理意义可理解为：相对定义(1)式的
p级分数傅里叶频谱分布，无透镜模式图2所得的频谱受到压缩，缩放比例x
2/x
1
＝cosφ。

换言之，基于对相同物体u(x
)实施同级分数傅里叶变换，满足(7)、(8)式参量选择的无透镜光学实现的结果是使其频谱分布相对定义式压缩为
x
1
cosφ。

于是，对原物实现无透镜分数傅里叶变换的数学表达为：
它与定义(1)式有相同的形式。

2.2 获得相同频谱分布的无透镜模式
设u(x
2)与定义式中u
p
(x
1
)完全相同，即获得与原物分数傅里叶频谱有相同
的分布，x
2=x
1
,则(2)式记为：
将(11)式与定义(1)式进行位相比较有：
其中(15)式与(16)式描绘了与定义式有相同频谱分布的p级分数傅里叶变换的
无透镜模式的基本结构；而由(17)式知，x′
0＝(x
)/(cosφ)＞x
，其物理意义
为：在无透镜模式中的被变换物体u(x′
0)的尺度相对原物体u(x
)需放大
(1)/(cosφ)倍。

换言之，基于获得与定义式相同分数傅里叶频谱，满足(15)、(16)式参量选择的无透镜模式中，需先将原物体u(x
)的尺度放大(1)/(cosφ)倍，再进行其光学实现。

于是，获得相同频谱的无透镜分数傅里叶变换的数学表达为：
其中常系数因子不影响频谱分布，可略去不计，则(18)式与(1)式等效。

3 实验与结论
计算机模拟实验中，取宽度W
s
＝0.512mm的物体(如图3(a)所示)，入射光波
长λ＝632.8nm，透镜焦距标准焦距f
=259.8mm。

物面采
样点数N＝256，物面单位1unit=0.002mm，频谱面单位
图3(b)是由定义模式(如图1，z
1
＝150mm，f=300mm)获得原始物体的分数傅
里叶频谱分布。

图4(a)是原始物体的无透镜模式(如图2，z
2
＝112.5mm,ρ＝150.0mm)所得的分数傅里叶频谱分布；图4(b)是将频谱分布图4(a)放大2倍后的结果。

图5(a)是将原始物体放大2倍后的结果；图5(b)是无透镜模式(如图2，
z
2
＝450.0mm，ρ＝600.0mm)所得放大物体的分数傅里叶频谱分布。

由此可见，图4(a)相对图3(b)的频谱分布缩小了cosφ倍；图4(b)和图5(b)与图3(b)相比，其光强分布所对应的极值点完全相同，即频谱分布状态完全一致；仅是各极值点相应的极值不同，致使光场分布的可见度有所差别。

由实验还可看出，图4(b)和图5(b)的高频成分与图3(b)完全等同，而造成低频成份差异的原因有待进一步研究。

计算机模拟实验得到与理论相一致的结论：
分数傅里叶变换的无透镜光学实现，基于两种原因，有相异的模式参量选择法则：
3.1 直接对原始物体进行p级分数傅里叶变换的无透镜光学实现，图2所示无透镜模式的参量选择法则为：
z 2＝f
sinφcosφ
ρ＝f
/tgφ
其结果是使实际获得的频谱相对定义式的频谱分布压缩了cosφ倍，其数学表达为
3.2 为获得与p级分数傅里叶变换有相同的频谱分布，图2所示无透镜模式的参量选择法则为：
z 2＝f
tgφ
ρ＝f
/sinφcosφ
在具体操作时，还需将原物体u(x
)尺度放大倍置入光路之中。

放大后物体
u(x′
)的p级分数傅里叶变换的无透镜光学实现数学表达为
对信号x(t) 做一次傅里叶变换的结果为，做两次傅里叶变换的结果为，我们表示成，而当我们做了a次的傅里叶变换可以写成一般式。

至此，我们都以a为整数做考量，当我们令即时，我们将x(t) 的分数傅里叶变换定义为
，其中ϕ可以不必为整数。

[编辑]定义
另外也有另外一种定义
当ϕ = 0.5π的时候，分数傅里叶变换就成了傅里叶变换。