万有引力定律及其应用 PPT课件

1． 不 能 准 确 理 解 表 达 式 中 r的 含 义 ， 对 地 球 表 面
重力和万有引力究竟有何区别和联系认识不到位．
2． 不 能 抓 住 “ 天 体 做 圆 周 运 动 需 要 的 向 心 力 由 万有引力提供”，导致无法建立模型解题．
3． 不 熟 悉 向 心 力 公 式 ， 不 能 由 题 给 的 条 件 选 用 适宜的向心力公式解题．
答案：C
【解析】“嫦娥一号”卫星的发射速度应大于第一宇
宙速度、小于第二宇宙速度，选项A错误；在绕月轨
道上，根据万有引力定律有月球对卫星的引力为F
G
M r
m
2
，
选
项
C
正
确
；
引
力
提
供
向
心
力
，
即
G
Mm r2
m 4 2 r，周期为T 4 2r 3 ，与卫星的质量无关，选
T2
GM
项B错误；卫星最终被月球引力捕获，说明月球对它
7.9km/ s，则该探月卫星绕月运行的速率约为( ) A．0.4km/ s B．1.8km/ s C．11km/ s D．36km/ s
【切入点】本题考查对第一宇宙速度的理解及推导过 程．
【
解
析
】
设
月
球
的
质
量
为
m
，
1
地
球
的
质
量
为
m
，
2
地
球
半
径
为
R1，
月
球
半
径
为
R
，
2
对于近地卫星，由G
m1m
R
间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运
转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g. 某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
同步卫星绕地球做圆周运动，由G
Mm h2
m(
2
T
)2
h得
4 2h3
M GT22 .
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如 不正确，请给出正确的解法和结果；
【 解 】 设 卫 星 绕 地 球 做 圆 周 运 动 的 角 速 度 为 ， 由
万有引力定律F
G
Mm r2
和牛顿第二定律F
m 2r得
G
Mm (2R)2
m g 2 g2R， 对 地 球 表 面 的 物 体 有 G
Mm R2
m g，
得 g .经 时 间 t卫 星 再 次 到 达 A点 正 上 方 ， 由 运 动
2 1
m
v12 ， R1
①
得 卫 星 绕 地 运 行 的 速 率 v1
G m1， R1
②
其 中 v1 7.9km / s
③
同 理 卫 星 绕 月 运 行 的 速 率 v2
Gm2 R2
④
由 ② ③ ④ 得 v2 1.8 k m / s， B 正 确 ．
【答案】B 【思维拓展】对于一些估算题题目中已知条件一般较 少(如本题可以不给出地球表面的第一宇宙速度 7.9km/s)，那就要求充分利用一些已知常量，如地球 表 面 的 重 力 加 速 度 g=9.8m/s2 ， 地 球 的 半 径 R=6.4×103km，地球自转周期T=24h，月球绕地球运 转的周期为27.3d等．
24h
1.5 h
【点评】 根据开普勒定律，所有行星运行轨道都是在 以太阳为焦点的椭圆轨道上，但在某些题目的运算中， 我们可以近似地认为这些天体运行轨道是圆．这是一 个突出主要因素，忽略次要因素的理想方法．理想方 法是物理学习中常用的一种方法．本题另一个特点就 是有些隐含信息如同步卫星的周期为24h，这是从生 活实践中提取信息的命题，高考此类命题较多．
的引力大于地球对它的引力，选项D错误．
1.(单选)(2011•全国卷Ⅰ)我国“嫦娥一号”探月卫星发 射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一 圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小 时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球．如果按 圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变 轨完成后与变轨D前相比( ) A．卫星动能增大，引力势能减小 B．卫星动能增大，引力势能增大 C．卫星动能减小，引力势能减小 D．卫星动能减小，引力势能增大
第4节
万有引力定律及其应用
对开普勒定律的理解
【例1】地球同步卫星在现代民用和国防建设中有着 重要的作用，同步卫星都位于地球赤道上空的同一轨 道上，高度为h=3.6×104km处，神舟七号在距地面高 度为341km高度绕地轨道飞行时，翟志刚成功地完成 了出舱活动，已知地球半径为R=6.4×103km，试求神 舟七号此时的绕地飞行周期．
【解析】物体在火星和地球表面所受重力可以看做火
星与地球对物体的万有引力，则有：
mg
G
MRm2 ，则有：g
G
M R2
则火星和地球表面重力加速度之比为：
g1 g2
M1R22 M2R12
p q2
【点评】 在应用万有引力定律求解问题时经常用到比 例的形式，这种方法可以最大限度减少计算量、提高 解题速度，另外，历史上在没有测出引力常数之前， 求解相关问题都是运用比例的形式来实现．
【解析】 周期变长，表明轨道半径变大，速度减小， 动能减小，引力做负功故引力势能增大，选D.
2.(双选)(2011g广东卷)已知地球质量为M，半径为R，自 转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有
关同步卫星，下列表述正确的是 BD
A．卫星距离地面的高度为3
GMT 2
4 2
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
万有引力定律的理解和应用
【例2】地球是人类的摇篮，但人类不能永远生活在 摇篮之中，火星成了近年人类探索的星球之一，火星 和地球都是球体，假设火星的质量M1与地球的质量为 M2 之 比 为 M1/M2=p ， 火 星 的 半 径 和 地 球 的 半 径 之 比 R1/R2=q，求它们表面的重力加速度之比．
图441
【 错 解 】 设 卫 星 绕 地 球 做 圆 周 运 动 的 角 速 度 为 ， 由
万有引力定律F
G
Mm r2
和牛顿第二定律F
m 2r得
G
Mm (2R)2
m g 2 g2R， 对 地 球 表 面 的 物 体 有 G
Mm R2
m g，
得 g .经 过 时 间 t卫 星 再 次 到 达 A点 正 上 方 ， 由 运
【解析】根据开普第三定律
R3 T2
k即 可 求 解 ．
设
地
球
绕
太
阳
运
行
半
径
为
R
，
0
同
步
卫
星
轨
道
半
径
为 R1， 神 七 飞 船 轨 道 半 径 为 R 2 .
由 公 式 ：R13
R
3 2
可求出神七的运行周期：
T12
T
2 2
T2
R R
3 2 3 1
T1
代 入 得 ： T1
(6.4 103 3.4110 2 )3 (6.4 103 3.6 104 )3
GMmmg得M gR2
④
R2
G
【思维拓展】此题求地球的质量用了两种方法：①已知
地球卫星的轨道半径r和周期T，求地球的质量．但要
注意在公式F GMr2m中，r指两质点之间的距离，或 质点和球心间的距离，②已知地球表面的重力加速度
g、地球半径R和引力常量G，由g
G
M R2
求地球的质量．
跟踪训练1 (单选)下列哪组数据不可以计算出地球质 量( C ) A．已知地球的半径R和地球的重力加速度g B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周 期T C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期
8R
学知识，有t 0t 2，解得t
4 .
g 2R
2 0
【纠错心得】 此题在考试中的出错率极高，少数做对 的同学也是碰巧．此题用到了“黄金代换”，而正是 未透彻把握“代换”的条件才极易导致错误．可见， 加强对概念规律的辨析、弄清适用的条件及范围是拿 高分的前提．
题型一 估算天体的质量和密度
【例4】已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之
T
【解析】选项A：设相对地面静止的某一物体的质量 为m，根据万有引力等于重力的关系得：
mg
G
Mm R2
，解得M
gR2 G
选项B：设卫星质量为m，根据万有引力等于向
心力的关系得：
G
Mm r2
mr ( 2
T
)2，解得M
4 2r3
GT 2
选项D：设卫星质量为m，根据万有引力等于向 心力的关系可得：
GMr2mmv
C．卫星运行时受到的向心力大小为G
Mm R2
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
【解析】根据G(RM mH)2
m(2)2RH，A错，
T
由G(RM mH)2 mRv2H，B正确，由G(RM mH)2
mg，C错D对．选BD.
3.(2011g安徽卷)1开普勒行星运动第三定律指出：
行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与 它的公转周期T的二次方成正比，即Ta32 k，k是一 个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动 按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的 表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．
结果是错误的，因为卫星的轨道半径是卫星到地心的
距离，地球的半径R在计算过程中不能忽略．
正确的解法：G
Mm (R h)2
m(2 )2 R h
T2
①
得：M
4 2(R h)3
GT22
②
2方法一：对月球绕地球做圆周运动，由
GMmm(2)2r得M 42r3 ③
r2
T1
GT12
方法二：在地面重力近似等于万有引力，由
4． 不 理 解 公 式 F
G
m1m 2 r2
和 F向
m
v2 r
中 r的 含 义 ，
若天体绕中心体做匀速圆周运动，则含义相同；若是
双 星 问 题 ， 则 两 式 中 的 r的 含 义 不 同 ．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
5．不会比较不同卫星的线速度、角速度、周期、 加速度等，利用表达式判定某两个量间的关系时，应 保证其他量不变．
6．不理解第一宇宙速度是近地卫星的线速度， 也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，而发射 这样的卫星耗能最小．
【例3】如图441所示，一颗轨道位于赤道所在平面、 运行方向与地球自转方向相同的人造卫星，其圆形轨 道半径为地球半径R的两倍，设地球自转的角速度为 ω0，若某时刻卫星通过地面上A点的正上方，求从这 时刻起到它下一次到达A点正上方所需要的时间．(已 知地球表面的重力加速度为g)
跟踪训练2 (单选)(广东卷)如图442是“嫦娥一号”奔 月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨， 进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月 卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是( )
图442
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关 C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成 反比 D．在绕圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的 引力
2开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有
中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定 月地距离为3.84108m，月球绕地球运动的周期为 2.36106s，试计算地球的质量M地． (G6.671011 Ngm2 /kg2，结果保留一位有效数字)
【解析】1因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道
的半长轴a即为轨道半径r.根据万有引力定律和牛顿 第二定律有
8R
动 学 知 识 有 0t
t
2 得t
0
2
g 8R
.
【错解原因】正确解答本题的关键在于弄清卫星与
地球哪个转得快些．采用上述解法的同学大多是这
样来判断的：由G
Mm R2
mg
m02R与G (2MRm)2
mg2g2R可知0 2 2 ，故再次到达A点正上方 时应有0t t 2.
出现上述错误判断的根本原因在于，误认为物体 随地球自转的角速度与物体绕地球表面做圆周运动时 (近地卫星)的角速度相等．事实上，地面上的物体随 地球自转时，万有引力的一个分力提供向心力，另一 分力产生重力；而绕地球表面做圆周运动时则万有引 力完全提供向心力，故绕地球表面做圆周运动时的向 心力远远大于随地球自转的情况，其角速度也大于地 球自转的角速度．因此，不能直接比较卫星角速度与 地球自转角速度的大小，而可转换研究对象，比较卫 星与地球同步卫星的角速度大小，则可知该卫星角速 度比地球大．
2T，GMr2mmvr2
，解得：M
v3T
2G
由上述各推导可知，只知道卫星的周期无法求出
地球的质量．
题型二 有关卫星轨道问题
【例5】(单选)我国已经成功发射一颗绕月运行的探月卫 星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近
月球表面．已知月球的质量约为地球质量的 1 ，月球 81
的半径约为地球半径的1，地球上的第一宇宙速度约为 4
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方 法并解得结果．
【解析】 本题的条件分为三组：(1)月球：周期T1轨道 半径r，(2)同步卫星：周期T2，轨道半径R+h，(3)地球 表面上的物体：重力加速度为g，地球半径R，自转周 期T2.
1该同学的计算中，以卫星为研究对象，把万有
引力定律和牛顿第二定律相结合，思路完全正确，但