《》20132014学讲义年高中数学苏教版选修22备课资源152定积分

小结 利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几
何意义，同时要合理利用函数的奇偶性，对称性来解决问题，
另外，结合图形更直观形象的辅助作题.
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1.5.2
跟踪训练 2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ－1 1xdx；(2)ʃ20πcos xdx；(3)ʃ1－1|x|dx.
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n
f(ξi)Δx＝
i＝1
i＝1
(2＋i－n 1)·1n＝
n
i＝1
2n＋i－n21 ＝2n·n＋n12[ 0＋1＋2
＋…＋(n－1)]
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本 ＝2＋n12·nn2－1＝2＋n2－n1.
课 时 栏 目
(3)逼近：n→＋∞时，i＝n1f(ξi)Δx→52.
开 关
∴ʃ 21(1＋x)dx＝52.
关 的面积.
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1.5.2
问题 2 当 f(x)在区间[a，b]上连续且恒有 f(x)≤0 时，ʃbaf(x)dx 表示的含义是什么？若 f(x)有正有负呢？
答 如果在区间[a，b]上，函数 f(x)≤0 时，
那么曲边梯形位于 x 轴的下方(如图①).
本
课 时 栏
由于b－n a>0，f(ξi)≤0，故
本
课 下它们的共同点.
时
栏 答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、逼近”
目
开 解决，都可以归结为一个特定形式和的极限.
关
问题 2 怎样正确认识定积分 ʃ baf(x)dx?
答案 定积分 ʃ baf(x)dx 是一个数值(极限值).它的值仅取决于 被积函数与积分上、下限，另外 ʃ baf(x)dx 与积分区间[a，b] 息息相关，不同的积分区间，所得值也不同.
上方的面积减去在 x 轴下方的面积，
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1.5.2
∴ʃ3－1(3x＋1)dx
＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2
本 ＝530－23＝16.
课
时 栏 目
(3)∵函数 y＝sin x 在 x∈[－π2，π2]上是奇函数，
π
开 关
∴ʃ
2 －π2
sin
xdx＝0.
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1.5.2
例 1 用定积分的定义证明：ʃabkdx＝k(b－a).
证明 令 f(x)＝k，
用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b.
本
将区间[a，b]等分成 n 个小区间[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，在
课 时
每个小区间上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，
目 开 关
f(ξi)b－n a≤0.从而定积分 ʃabf(x)dx≤0，这时
它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，
即 ʃ baf(x)dx＝－S.
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1.5.2
当 f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分 ʃbaf(x)dx 表示介于 x
本 课
轴、函数 f(x)的图象及直线 x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积
解 (1)分割：将区间[1,2]等分成 n 个小区间1＋i－n 1，1＋ni
本
(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度 Δx＝1n.
课 时 栏
(2)近似代替、求和：在1＋i－n 1，1＋ni 上取点 ξi＝1＋i－n 1(i
目 开 关
＝1,2，…，n)，于是 f(ξi)＝1＋1＋i－n 1＝2＋i－n 1，从而得
栏 目 开
xn，作和. Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δxi＋…＋f(xn)Δx， 如果 当
关
Δx→0(亦即 n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数 S 为函
数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记为：
S＝ʃbaf(x)dx， 其中，f(x)称为被积函数 ，[a，b]称为 积分区间 ，a 称为 积分下限 ，b 称为 积分上限.
栏 目 开 关
作和式i＝n1f(ξi)Δx＝i＝n1k·b－n a＝k(b－a)，
∴当n→＋∞时，ʃ bakdx＝k(b－a).
小结 在每个小区间[xi－1，xi]上对ξi的选取是任意的，为了 计算方便，常把区间端点作为ξi.
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1.5.2
跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x)dx.
1.5.2
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1.5.2
探究点二 定积分的几何意义
问题 1 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒
本 课
有 f(x)≥0，那么 ʃbaf(x)dx 表示什么？
时 栏
答案 当函数 f(x)≥0 时，定积分 ʃbaf(x)dx 在几何上表示由直
目 开
线 x＝a，x＝b(a<b)，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形
时 栏
的代数和(在 x 轴上方的取正，在 x 轴下方的取负).(如图②)，
目 开
即 ʃbaf(x)dx＝－S1＋S2－S3.
关
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1.5.2
例 2 利用几何意义计算下列定积分： π
(1)ʃ－3 3
9－x2dx；(2)ʃ3－1(3x＋1)dx；(3)ʃ
2 －π
sin
xdx.
2
此处加标题
《》20132014学年高 中数学苏教版选修22 备课资源152定积分
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填一填·知识要点、记下疑难点
1.5.2
1.定积分的概念：一般地，设函数 f(x)在区间[a，b]上有定义，
将区间[a，b]等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 Δx(Δx
本 课 时
＝b－n a)，在每个小区间上取一点，依次为 x1，x2，…，xi，…，
解 (1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆
心以 3 为半径的上半圆，
本 课 时
其面积为 S＝12·π·32.
栏 目
由定积分的几何意义知
ʃ
3 －3
9－x2dx＝92π.
开 关
(2)由直线 x＝－1，x＝3，y＝0，以及 y＝
3x＋1 所围成的图形，如图所示：
ʃ 3－1(3x＋1)dx 表示由直线 x＝－1，x＝3， y＝0 以及 y＝3x＋1 所围成的图形在 x 轴
填一填·知识要点、记下疑难点
1.5.2
2.定积分的几何意义：一般地，定积分 ʃbaf(x)dx 的几何意义是，
本 课
在区间[a，b]上 曲线 与 x轴 所围图形面积的代数和. (即 x
时 栏
轴 上方 的面积减去 x 轴 下方 的面积)
目
开
关
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1.5.2
探究点一 定积分的概念 问题 1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一