2020-2021北大附中天津东丽湖学校高中必修二数学下期中第一次模拟试卷带答案

解析：A
【解析】 【分析】
计算圆心为 M 0, 1 ， ax y 3a 5 0 过定点 N 3, 5 ，最大距离为 MN ，得到答
案. 【详解】
圆 M： x2 +y2 +2 y 0 ，即 x2 y 12 1，圆心为 M 0, 1 ， ax y 3a 5 0 过定点 N 3, 5 ，故圆心 M 到直线 l 的最大距离为 MN 5 .
范围.
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一、选择题
1．D 解析：D
【解析】
设直线 l0
的倾斜角为
，则斜率 k0
tan
1 2
，所以直线 l
的倾斜角为 2
，斜率
k
tan 2
2 tan 1 tan2
4 3
，又经过点（1,0），所以直线方程为
y
4 (x 1) ，即 3
4x 3y 4 0 ，选 D.
值．
26．如图，在梯形 ABCD中， AB∥CD ， AD DC BC 1， ABC 60 ，四边形 ACFE 为矩形，平面 ACFE 平面 ABCD， CF 1.
(1)证明： BC ⊥平面 ACFE ； (2)设点 M 在线段 EF 上运动，平ຫໍສະໝຸດ Baidu MAB 与平面 FCB 所成锐二面角为 ，求 cos 的取值
故选： A .
【点睛】
本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点 N 3, 5 是解题的关键.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先确定三角形 ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定
球的表面积． 【详解】 解：如图所示：
三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，AP 2, AB 2 ， M 是线段 BC 上一动点，线段 PM 长度最小值为 3 ， 则：当 AM BC 时，线段 PM 达到最小值， 由于： PA 平面 ABC ， 所以： PA2 AM 2 PM 2 ， 解得： AM 1， 所以： BM 3 ， 则： BAM 60 ， 由于： BAC 120 ， 所以： MAC 60 则： ABC 为等腰三角形．
, ，且 AC l ，， AB 4, AC 6, BD 8 ，则 CD 的长______．
三、解答题 21．如图， ABCD是正方形， O 是该正方体的中心， P 是平面 ABCD 外一点， PO 平 面 ABCD， E 是 PC 的中点.
（1）求证： PA / / 平面 BDE ； （2）求证： BD 平面 PAC .
12
2
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离
公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关
键．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】 求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】
由题意，根据圆的方程 x2 y2 2x 2 y a 1 0 ，即 (x 1)2 ( y 1)2 2 a ，
围是（ ）
A． ( 5 , 3] 12 4
B． ( 5 , 1] 12 2
C． (1 , 3] 24
D．[1 , ) 2
5．直线 x y 2 0 截圆 x2 y2 2x 2 y a 1 0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值
是（ ）
A．－3
B．－4
C．－6
D． 3 6
6．已知点 A（1，2），B（3，1），则线段 AB 的垂直平分线的方程是（ ）
直线，则下列说法中错误的是（ ）.
A．若 m// 且 m// ，则 m//l
B．若 m 且 n ，则 m n
C．若 M m且 m//l ，则 m//
D．若 M m 且 m l ，则 m
二、填空题
13．已知平面 α 与正方体的 12 条棱所成角相等，设所成角为 θ，则 sin ______.
A． 3
B． 2 2
C． 2 3
D． 2 5
11．已知 ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上，且 AB 2 ， AC 4 ， BC 2 5 ,
三棱锥 O ABC 的体积为 4 ，则球 O 的表面积为（ ） 3
A． 22
B． 74 3
C． 24
D． 36
12．已知平面 且 l ， M 是平面 内一点， m ， n 是异于 l 且不重合的两条
所以该陀螺模型的体积V 1 42 2 32 3 1 32 2 32 33 .
3
3
3
故选： D .
【点睛】
本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用数形结合，作出图象，计算得直线 l1 与直线 l2 的斜率，即可得到结论.
【详解】
所以： BC 2 3 ，
在 ABC 中，设外接圆的直径为 2r 2 3 4 ， sin120
则： r 2 ，
2
所以：外接球的半径 R
22
2 2
9， 2
则： S 4 9 18 ， 2
故选：C． 【点睛】
本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．
9．D
解析：D 【解析】
2．B
解析：B
【解析】
A 中，, 也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,
也可能相交；D 中， l 也可能在平面 内.
【考点定位】点线面的位置关系
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、 锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积. 【详解】 由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.
A． 4x 2y 5
B． 4x 2y 5
C． x 2y 5
D． x 2y 5
7．已知圆 M： x2 +y2 +2 y 0 与直线 l： ax y 3a 5 0 ，则圆心 M 到直线 l 的最大距
离为（ ）
A．5
B．6
C． 3 5
D． 41
8．在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，BAC 120，AP 2, AB 2 ，M 是线
则圆心坐标为 (1,1) ，半径 r 1 a ，
11 2
又由圆心到直线的距离为 d
2，
2
所以由圆的弦长公式可得 2 ( 1 a)2 ( 2)2 4 ，解得 a 3，故选 A.
【点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程， 求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推 理与运算能力.
D． 4x 3y 4 0
2．设 l 为直线，, 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若 l / / ， l / / ，则 / /
B．若 l ， l ，则 / /
C．若 l ， l / / ，则 / /
D．若 ， l / / ，则 l
3．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形
系中,设将椭圆 x2 a2
y2 a2 1
1a
0 绕它的左焦点旋转一周所覆
盖的区域为 D ， P 为区域 D 内的任一点，射线 x－y 0 x 2 上的点为 Q ，若 PQ 的最
小值为 a ，则实数 a 的取值为_____． 16．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D，
（1）设 EC 的中点为 M ，求证： OM // 平面 ACF ； （2）求证： AC 平面 CBE 24．如图所示的等腰梯形 ABCD 中， AB / /CD ， AB AD BC 1 CD a ，E 为 CD
2
中点．若沿 AE 将三角形 DAE 折起，并连接 DB，DC，得到如图所示的几何体 D-ABCE， 在图中解答以下问题：
（1）设 G 为 AD 中点，求证： DC / / 平面 GBE； （2）若平面 DAE 平面 ABCE，且 F 为 AB 中点，求证： DF AC ． 25．已知圆 C 的方程： x2 y2 2x 4 y m 0 ． （1）求 m 的取值范围；
（2）若圆 C 与直线 l ： x 2 y 4 0 相交于 M ， N 两点，且| MN | 4 5 ，求 m 的 5
18．在一个密闭的容积为 1 的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，
液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是
．
19．在平面直角坐标系内，到点 A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距
离之和最小的点的坐标是
．
20．如图所示，二面角 l 为 60 , A, B 是棱 l 上的两点， AC, BD 分别在半平面内
14．如图，在 ABC 中， AB BC 6 ， ABC 90 ，点 D 为 AC 的中点，将
△ABD 沿 BD 折起到的位置，使 PC PD ，连接 PC ，得到三棱锥 P BCD ，若该三
棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.
15．在平面直角坐标
xOy
状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已
知网格纸中小正方形的边长为 1，则该陀螺模型的体积为（ ）
A． 107 3
B． 32 45 3
C． 16 32 3
D． 32 33 3
4．直线 y k(x 2) 4 与曲线 x 3 2y y2 0 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范
2020-2021 北大附中天津东丽湖学校高中必修二数学下期中第一次模拟试卷带 答案
一、选择题 1．已知直线 l 过点 (1, 0) ，且倾斜角为直线 l0 ： x 2 y 2 0 的倾斜角的 2 倍，则直线 l
的方程为（ ）
A． 4x 3y 3 0
B． 3x 4y 3 0
C． 3x 4y 4 0
该几何体为半圆柱，底面为半径为 1 的半圆，高为 2，因此表面积为
,选 D.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】 求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可． 【详解】
圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝10，则圆心坐标为 C（3，﹣1），半径为 10 ，
过 E 的最短弦满足 E 恰好为 C 在弦上垂足，则 CE (3 2)2 [1（1）]2 5 ，
曲线可化简为 x2 ( y 1)2 4 x 0 ，如图所示：
直线 l1 : y k x 2 4 ，此直线与曲线相切，此时有
3 2k k2 1
2 ，解得 k
5， 12
直线 l2
:
y
k
x
2
4
，此直线与曲线有两个交点，此时有
k
1 2
.
所以，过点 2, 4 的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得 5 k 1 .
满足 PD=DA，PB=BA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 .
17．如图，在 ABC 中， AB BC ， SA 平面 ABC ， DE 垂直平分 SC ，且分别交 AC ， SC 于点 D ， E ，又 SA AB ， SB BC ，则二面角 E BD C 的大小为
_______________.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
因为线段 AB 的垂直平分线上的点 x, y 到点 A ， B 的距离相等，
所以 (x 1)2 ( y 2)2
(x 3)2 ( y 1)2 ．
即： x2 1 2x y2 4 4 y x2 9 6x y2 1 2y ， 化简得： 4x 2y 5 ． 故选 B ． 7．A
段 BC 上一动点，线段 PM 长度最小值为 3 ，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积是
（）
A． 9 2
B． 9 2
C．18
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
D． 40
）
A． B． C．
D．
10．已知 AB 是圆 x2 y2 6x 2 y 0 内过点 E(2,1) 的最短弦，则| AB | 等于（ ）
22．已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 交于 M，N 两点． (1)求 k 的取值范围；
(2)若 OM ON ＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 23．如图，在 ABC 中 AC BC 且点 O 为 AB 的中点，矩形 ABEF 所在的平面与平面 ABC 互相垂直.