大学物理功和能

解：只有保守力（重力)做功， 机械能守恒.（以桌面为零势能点）
0
E2 E1
l
0
m L
l
g
l 2
1 mv 2 2
m L
x
g
x 2
0
v g ( x2 l2 ) L
x
例3 ： 一轻弹簧, 其一端系 在铅直放置的圆环的顶点P， 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在环上运动
(μ=0)．开始球静止于点 A,
Wab (EPb EPa ) 势能定理
末位置的函数
始位置的函数
引力的功
W
(G
m' m )
rB
(G
m'm
rA
)
弹力的功
W
(
1 2
kxb
2
1 2
kxa
2
)
引力势能
Ep
G
m' m r
弹性势能
Ep
1 2
kx2
重力的功
重力势能
W ( mgzb mgza )
W mgz(mgh)
势能定理
Wab (EPb EPa )
力分为内力和外力，内力又分为保守和非保守力
1. 保守力 某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关， 而与路径无关。这种力称为保守力。 典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力
静电力 与保守力相对应的是耗散力
典型的耗散力： 摩擦力
a.重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
WG
瞬时功率：P lim W dW
t0 t
dt
例1.作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j( N ) 分别计算 质点沿着抛物线 x2 4 y 和 4 y x 6 的直线从
x1 2(m)处运动到 x2 3(m) 处该力作的功。
解：抛物线与直线交点坐标
4y x6
Y x2 4y
x2 4y
第三章
功和能
3.1 和功率
1. 恒力作用下的功
W F cos r
F
F
r
r
功的正、负
0o 90o，W 0
90o 180o，W 0
90o W 0
2.变力的功
元功：
dW
F
cos
dr
F dr
总功在直角坐标表达式：
dr
b
r
r F
a
o
rb
rb
W dW F dr
2.25
1
W2
x2 2 ydx
x1
y2 4dy
y1
X
2 O 3
3 1 (x 6)dx
94
4dy 21.25J
2 2
1
例2、质量为2kg的质点在力F＝12t i
的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。
求前三秒内该力所作的功。
变力
解：（一维运动可以用标量）
W＝ F d r 12tvdt dr vdt
以物体滑至最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹 性势能零点，则系统的机械能为：
初态： E 0 k1
E mg(L ΔL)sin370 P1
E1 Ek1 EP1 mg(L ΔL)sin370
末态：
Ek 2 0
EP2
1 2
2.25
4y x6
1
x 2 y1
x3 y 9
4
X
2
O3
F
2
yi
4
j(
N
)
运动轨迹：x2 4 y
xb
yb
W Fxdx Fydy
xa
ya
W1
x2 2 ydx
x1
y2 4dy
y1
3
x2 dx
94
4dy 10.8J
2 2
1
运动轨迹： 4 y x 6
4y x6
Y
x2 4y
a dv
dt
v
tF dt
0m
t 12t dt 3t 2 02
W
3
12t
3t
2
dt
336t3dt 9t4 729J
0
0
例3：均匀链条质量为m 长度为L ，置于光滑桌面上,
且有长度为a的一段下垂，求链条滑离桌面过程中重力
所做的功。
设下垂链条长度为x，质量
L-a
为 m
0
m
m m x dW F dr
末端机械能
初始机械能
这就是物体系统的功能原理
3.物体系的机械能守恒定律
W外 W非保内 (EK2 EP2) (EK1 EP1)
机械能守恒条件是同时满足： W外 0 和W非保内 0
W外 0 表示系统与外界无机械能的交换。 W非保内 0
W非保内
0
表示系统内部无机械能与其它能量 形式的转换。(如发生煤气瓶爆炸则不为零)
恰能使下面的木块提离地面？
解：弹簧压缩和反弹情况
m1
m2 (1) 弹簧压缩
F
x1
x2
Ep=0
F力压上板后，在F与m1 g 作用下，弹簧压缩
自然长度
x2
F
m1g k
(2) 弹簧反弹
解：设弹簧伸长x1向上的弹性力
等于或大于m2 g时，能提起m2。 设弹簧倔强系数为 k
x1
m2 g k
F
a
x2
b
x1
F突然撤去后，m1从静止开始向上运动，机械能守恒。
1 2
m1v2
1 2
m2v2
m2
gh
v 2 gh( m1 m2 )
m2
m1
m1 m2
由于惯性m2以v作竖直上抛运动
h
H v2 h(m1 m2 )
2g m1 m2
例5： 用一弹簧把质量各为m1和m2的两块木板连起来，一起放在
地面上，弹簧质量可不计，而m 2
m1。
问对上面的木板必须施加
多大的正压力F，以便在F突然撤去而上面的木板跳起来时，
弹簧处于自然状态，其原长为 环半径R,当球运动到环的底端 点B时，球对环没有压力．求 弹簧的劲度系数．
PR
30 A
o
B
解： 以弹簧、小球和地 球为一系统
A B 只有重力弹力做功
PR
30 A
o
EA EB
取点B为重力势能零点
B
Ep 0
mg(2R
R sin
30o
)
0
1
2
mvB2
1 2
k(
2R
R
)2
设m1达到最高点时弹簧恰能伸长x1,
m1的最低位置为零重力势点
1 2
kx2 2
1 2
k x1 2
m1 g x1
x2
代入x1与x2可得 F 2 m1g m2g 2
略去负值,则有
F m1 g m2 g F
a
x2
m1和m2互换位置 Ep=0
结果不变
b
x1
例6：分别用质点的动能定理和质点系的功能原理求 解下题。 如图，斜面倾角为θ=370，底端固定一个劲度系数 k=100N·m-1的轻弹簧，斜面上距弹簧自由端L =2.8m 处放一个m=1kg的物体。物体由静止下滑，与弹簧接 触后又将弹簧压缩了ΔL=0.2m。 求：物体沿斜面下滑时受到的斜面的平均阻力。
a
L
x
dW mgdx m xgdx L
W dW L mg xdx mg ( L2 a2 )
注意
aL
2L
dW F dr 中表示在 dr 内 F 是常量
例4：均匀链条质量为 m 长度为L ，置于桌面上。摩擦
系数为 ，下垂部分长0.2 l ,施力将其缓慢拉回桌面。
求出此过程中外力所做的功。
对B点存在： kR mg m vB2 (2)
R
(1)
k 2mg R
例4：一绳跨过一定滑轮，两端分别系有质量m1及m2 的物体，且m1>m2 。当m1从离地面高h处由静止开始落 下.求m1落地后m2还能上升的最大高度(不计滑轮和绳 的质量、轴承摩擦及绳的伸长)。
解:只有重力作功机械能守恒
+
m1gh
功与路径有关
ra
ra
xb
yb
zb
Fxdx Fydy Fzdz
xa
ya
za
rb
rb
W dW F dr
ra
ra
合力的功，等于各 分力的功的代数和
rb rb rb
F1 dr F2 dr F3 dr
ra
ra
ra
3、功率 力在单位时间内所作的功
平均功率：P W t
保守力所作的功等于势能增量的负值，势能定理
3.4.功能原理和机械能守恒定律
1. 物体系的动能定理
系统所受力分为外力和内力，内力又分保守力和非保 守力，系统受合力做的功等于合外力做的功、保守力 和非保守力做功的和。
第 i个质点，有
Wi外 Wi内 Eik2 Eik1
m1
F外
外力功 内力功 物体系总动能的增量等于
解一：质点动能定理求解
以m为研究对象，受 力分析如图
分别求各力在物体下
滑过程中所作的功：
支持力N WN 0
N
f
F
重力mg WP mg(L ΔL) sin 37 0
平均阻力 f Wf f (ΔL L)
P
弹力F
WF
ΔL
kxdx
0
1 2
kΔL2
N
F
f
初态：Ek1=0 末态：Ek2=0
解：设链条水平部分长 x ,
受桌面摩擦力
f m xg
L
下垂部分受重力
x
0.8 l
m
0.2 l
G m ( L x )g L
缓慢拉回桌面时绳子受力：
F G f
m L ( 1 )xg
x
L
0.8 l
m
0.2 l
dW F dr
WF
Fdx mg
L
L ( 1 )xdx
L 0.8 L
(1)保守力才具有势能，势能是由相对位置决定，是 状态函数。保守力所作的功等于势能增量的负值。
(2)选参考点（势能零点） EPb 0
Epa Wab Wao 任意点的势能(保守力的一段功)
归纳：
Wab EKb EKa
合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量 质点的动能定理
Wab (EPb EPa )
例 1: 雪橇从高50m的山顶A点沿冰道由静 止下滑, 坡道AB长为500m．滑至点B后，又沿 水平冰道继续滑行，滑行若干米后停止在C处. 若μ=0.050．求雪橇沿水平冰道滑行的路程.
已知 h 50m , 0.050, s' 500m ,求 s .
解 以雪橇、地球组成系统为研究对象，系统 受外力和非保守力只有摩擦力支持力，作 功分别为：
WN 0
Ffs' FN
h
P
FN mgcos
FN mg
Wf FN s'FN s mg(s's)
E E2 E1 mgh
由功能原理 WN Wf E h
mg(s's) mgh
Ffs' FN
P
s h s' 500 m
例2：均匀链条质量为m ，长 L 置于光滑桌面上,
初始落下长度 l ，求链条落下长度为 x 的速度 v
例1、质量为10kg的物体沿x轴无摩擦的滑动，t=0时物
体静止于0点,物体在力F ＝3 4 x 的作用下移动3m,它
的速度增为多大？
解：（一维运动可以用标量）
W x Fdx 1 mv2
0
2
v
3 2F dx
3 2( 3 4 x ) dx 2.3m s1
0m
0 10
3.3 物体系的势能
m2
F内
mi
外力的功与物体系内力的功之和。
W外 W内 W外 W非保守内力 W保守内力 保守力具有势能！
2. 物体系的功能原理 由物体系的动能定理变形而来
W外 W内 Ek 2 Ek1
W外 W内 W外 W非保守内力 W保守内力
由势能定理
W保守内力 ( EP2 EP1 )
则 W外 W非保内 (EK2 EP2) (EK1 EP1)
只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能 保持不变． (如只有重力作功或弹力作功)
动能定理,功能原理和机械能守恒定律的应用 解题步骤： 1.选择研究体系 2.做受力分析 3.各力的做功分析 4.分析对应过程定理、原理、定律的适用条件 5.写出对应过程的定理、原理、定律表达式 6.将各参量代入表达式求解
弹簧振子
•• •
可见，只与始末位置有关，与弹簧中间形变过程无 关，弹性力是保守力。
c.引力的功
F
G
Mm r2
r0
W
b a
F
ds
b a
G
Mm r 2 r0
ds
W
b a
G
Mr 2mdr
r0 ds r0 ds cos
r0dr dr
b
rb dr
( G
Mm rb
) ( G
Mm ra
)
rb mg dr
ra
(rb
mg
)k
(
dxi
dyj
dzk
)
ra
zb
za
mgdz
( mgzb mgza )
末态量 初态量
Z a•
dr
•
•b
mg
可见，只与始末位置有关
O
Y
重力是保守力。
X
b. 弹力的功
F kx
W xb kxdx xa
(
1 2
kxb 2
1 2
kxa 2
)
末态量 初态量
M
ds
末态量 初态量 可见 万有引力是保守力。
F mr ra
a
2、势能定理 一般势能概念
凡是保守力的功均可以表示为与相互作用物体相 对位置有关的某函数在始末位置的函数值之差，我们 将该函数定义为此物体系的势能。
WG (mgzb mgza )
WT
(
1 2
kxb
2
1 2
kxa
2
)
a. 重力的功 b. 弹力的功
0.2mgL (1 0.9(1 )
3.2.动能和质点的动能定理
Wab
rb F dr
ra
rb m dv dr ra dt
mdv v vb mvdv va
Wab
1 2
mvb2
1 2
mva2
EKb
EKa
dr
b
r
r F
a
o
合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量 ——质点的动能定理
由动能定理
P
WN WP Wf WF Ek2 Ek1
即
mg(L ΔL)sin 370 f (L ΔL) 1 kΔL2 0
2
解之： f 5.3N
解二：用质点系功能原理求解
N
f
以m、地球和弹簧组成系统为 研究对象，系统受外力和非保 守力如图。它们分别作功为：
支持力N WN 0
平均阻力 f Wf f (ΔL L)