信号分析 基本概念及频谱

信号的分类 按不同分类准则，信号可分为：
模拟信号
数字信号
一维信号 二维信号 三维信号
¨¨¨
一维信号
二维信号
信号的分类
连续信号 离散信号（计算机实现的必要形式）
连续信号与离散信号
信号的分类
确定性信号 随机信号
随机信号
信号的分类
…
周期信号
f (t)
…
f (t)=f(t+T)
非周期信号
period
振动弦的标 准振动模
最简单的振动波是简谐波！
简谐波可以用正弦函数表示：
Asin(2πft + ϕ)
振幅
频率 初相位
多个谐波叠加在一起，就得到了比较复杂的信号； 问题：任意一个复杂波能否分解成简谐波的叠加呢？
一、复杂波分解为谐波的叠加----Fourier级数
1、Fourier级数
在区间 [ t0, t0+T ] 上满足收敛条件的函数x(t),总可以分解为 多个简谐波的叠加，即可以构成Fourier级数。
+ ian ), n
≥1
tgϕn
=
bn an
“负频率”谐波
An = 2 cn ,
所以，
An
=
2 c−n
,
ϕn
=
Argcn
+
π
2
ϕn
=
π
2
−
Argc−n
实际也反映相应的
, n = 1,2,3,L 正频率谐波的振幅和相位
, n = 1,2,3,L
谐波的可振见幅，每An 个和谐相波位的ϕ成。分可由Cn唯一决定，即Cn可以表示该
+
bn
+ ian 2
e
−
2πnf
0t
∑ ∑ ∞
a0
∞ i 2πnf0t
−i 2πnf0t
= + c e + c e n
−n
2 n=1
n=1
∑ ∑ = +∞ cnei2πnf0t = +∞ c n e in ω 0t
ω0 = 2πf0
n = −∞
n = −∞
欧拉公式
周期信号
∑+∞
x(t) =
c ei 2πnf0t n
=
2A
e − e inω
0
d 2
−inω
0
d 2
nω0T
2i
= 2A sin( nω0d )
nω0T
2
1 sin c(x)
−π 0 π
sin c(x) = sin(x) x
x
2π 3π
=
Ad T
sin( nω0d )
2
nω0d
2
wenku.baidu.com
= Ad sin c( nω0d ) = Ad sin c(ωd )
T
2
非周期性信号的合成 谐和振动的合成
周期信号的离散频谱计算实例：
求下图表示的周期函数的离散频谱。
f (t)
A
d
t
0
T
∫ Cn
=
1 T
T
2 −T
f (t)e−inω0t dt
2
∫ = 1 T
d
2 −d
Ae−inω0t dt
2
[ ] = − A in ω 0T
d
e − in ω 0t 2 t=− d 2
cn 为区间 [ t0, t0+T ] 上信号x(t)的离散振幅谱；
arg cn 为区间 [ t0, t0+T ] 上信号x(t)的离散相位谱。
∑
x (t )
=
+∞
c e i 2πnf 0t n n = −∞
角（圆）频率：ω 0 = 2πf 0
∑
x (t )
=
+∞ cneinω0t
n = −∞
T
2
cn
=
Ad T
sin
c(ωd ) =
2
Ad T
sin
c( nω0d )
2
谱线间隔决定于周期T
ω0
=
2πf0
=
2π
T
T
主瓣宽度决定于脉冲宽度d
2π
d
1 T
2π
d
2π
d
振幅谱与方波高度和宽度成正比，与周期T成反比、
cn
=
Ad T
sin c(ωd )
2
谱线间隔决定于周期T
ω0
=
2πf0
=
2π
T
T
主瓣宽度决定于脉冲宽度d
复平面向量的辐角：θ = Argcn
bn − an
cn
cn
=
1 2
(bn
− ian ), n
≥1
c−n
θ
an
bn
c−n
=
1 2
(bn
+ ian ), n
≥1
因此定义：
∑
x(t)
=
+∞
c ei 2πnf0t n n=−∞
Cn为信号x(t)在区间 [ t0, t0+T ] 上的离散频谱； 由x(t)求Cn的过程即为对x(t) 在区间 [ t0, t0+T ] 上进行频谱分 析，有时称为傅氏分析；
周期信号的功率谱、帕斯瓦尔方程
课后思考题 ！
f (t) ↔ Fn
1 T
∫
T
f
2 (t)dt
=
∑∞ Fn
n=−∞
2
该承认主要来自其成果在数学、科学、工程等领域内的广泛应
用，如振动和热传导问题、行星运动问题、气候的周期性变化问
题、交流电问题、海浪研究、通讯等，并由此产生了许多学科，
如：积分理论、点集拓扑、特征函数展开等。 FFT的产生（ Cooley 和 Tukey， 1965年）使其应用更加广泛。 1829年，S.D.Poisson和A.L.Cauchy给出了Fourier级数收敛条件， P.L.Dirichlet作了推广和总结。 Fourier：非周期信号可以表示为谐波的积分。
t0
（a） （b）
正反傅立叶变换（i 前）的符号问题。 本书规定公式（a）取“＋”
（a）式右边部分是以T为周期的函数。任何周期函数，在一 个周期范围内可以展开成傅立叶级数。
把复杂波分解为许多正弦波的叠加，称为傅立叶分析。 把复杂波分解为许多简单方波的叠加，称为沃希函数分析。
傅氏分析是最重要、最基本的分析工具。
信号的分类
= 0,t < 0;
f (t) =
因果信号
≠ 0,t ≥ 0
非因果信号
信号的基本运算(1)
简单四则运算（线性运算、乘法、除法）
反折（reverse） f(t)
f(-t)
t
t
0
0
时域平移（时移：shifting）
f(t+5)
-5
0
0
t
f(t-7)
t 7
信号的基本运算(2)
时域压扩（尺度）变换：scaling
第1章 信号的基本概念、频谱与连续傅立叶变换
信号频谱概念的建立 “变换”概念的建立
主要内容----频谱的求取
第1章：信号的基本概念、频谱与连续傅立叶变换
信号的基本概念 信号的频谱（傅立叶级数） 傅立叶变换 几种基本信号的频谱 频谱的基本性质 傅立叶积分与傅立叶级数的关系 几种特殊信号的频谱
信号的数学描述：含一个或多个自变量的函数或序列。 信号的图形描述：波形
2π
d
1 T
2π
d
2π
d
振幅谱与方波高度和宽度成正比，与周期T成反比、
cn
=
Ad T
sin c(ωd )
2
谱线间隔决定于周期T
dA
T
T
ω0
=
2πf0
=
2π
T
主瓣宽度决定于脉冲宽度d
Ad T
2π 4π 6π
dd d
2π
T
2π
d
2π
d
振幅谱高度与方波高度和宽度成正比，与周期T成反比
地震子波的延续度和频宽的关系
, t ∈[t0 , t0 + T ]
n = −∞
其中， cn 由x(t)唯一决定：
∫ cn
=
1 T
t0 +T x(t)e−i2πnf0t dt
t0
e （利用了函数系
i 2πmf0t
在[t ,t +T]区间的正交性，
00
P.8）
∑ x(t)
=
a0 2
+
[+∞
an
n=1
sin(2πnf0t) +
bn
7、1807年，四位著名的数学家来评审Fourier的论文，拉克劳克 斯（S.F.Lacroix）、孟济（G.Monge）、拉普拉斯 （P.S.Laplace）赞成发表，而J.L.Lagrange 强烈反对，结果 Fourier的论文从未公开露面过。
为了使自己的研究成果能让法兰西研究院接受并发表，Fourier将 其论文以另一种方式在“The Analytical Theory of Heat”这本书 中出版（1822年，晚了15年！）。直到其晚年才得到承认！
n = −∞
信号的傅氏级数
傅立叶级数系数
其中，f0
=
1 T
称为基频；
相应地，c1ei2πf0t 称为基波,
c e i 2πnf 0t n
为n次谐波，其对应频率为 nf0
c0 为信号中的直流分量。
（注意：“负频率”的出现，教材 P.7）
2、Fourier级数性质
1）收敛性 t为x(t)的连续点时，Fourier级数收敛于x(t); t为x(t)的间断点时，Fourier级数收敛于 x(t + 0) + x(t − 0) ;
2
t为x(t)的端点时，Fourier级数收敛于 x(t) + x(t + T ) 。
2
2）周期性
周期函数的傅氏（级数）展开仍然是周期函数。
二、信号的离散频谱
傅氏级数展开定理：
一个周期为T的复杂波x(t)可以分解为多个简谐波 cn e i 2πnf 0t
的叠加，即：
∑+∞
x(t) =
c e i 2πnf 0t n
T增加，频率间隔减小，谐波振幅减小；即谱 线变密，振幅减小。但频谱形状未变，谱线包 络的形状仅仅依赖于周期性方波的形状。
思考： 前面方波信号的周期 T 趋于无穷时，频谱有 什么特征？ 连续信号的频谱？
注意：
∑+∞
信号分解：x(t) =
c ei2πnf0t n
n=−∞
∫ 频谱分析：cn
=
1 T
t0 +T x(t)e−i2πnf0t dt
x(t)
=
a0 2
+
∑∞ [an
n=1
sin(2πnf0t)
+
bn
cos(2πnf 0t )]
∑ ( ) ( ) =
a0 2
+
∞ n=1
−
ian 2
e − e i2πnf0t
−i 2πnf0t
+ bn 2
e + e i2πnf0t
−i 2πnf0t
∑ =
a0 2
+
∞ n=1
bn
− ian 2
ei 2πnf0t
信号分析、处理的最重要、最基本的工具是频谱 分析。
从数学上看，就是傅立叶级数展开和傅立叶变换 。
其基本思想：一个复杂的连续信号分解成许多简 单的正弦信号的叠加。
Fourier(1768-1830)
Fourier分析方法的发展历史回顾：
1、古代巴比伦人时代：利用“三角函数和”来描述周期性过程， 预测天体运动。 2、1748年，欧拉：如果在某一时刻，弦的振动形状是标准振动模 的线性组合，那么在其后的任何时刻弦的振动形状是标准振动模的
cos(2πnf0t)]
∑ ∑ +∞
+∞
= A0 +
An sin(2πnf0t + ϕn ) =
c ei 2πnf0t n
n=1
n=−∞
An
cn
具有不同的物理意义
由于
cn
c0 = A0
=
1 2
(bn
−
ian
), n
≥1
，且
an = An cosϕn bn = An sinϕn
c−n
=
1 2
(bn
线性组合。 3、1753年，D.Bernoulli：一根弦的实际运动都可以用标准振动模 的线性组合来表示。 4、1759年，J.L.Lagrange：强烈批评使用三角级数来研究振动弦 运动。 5、Jean Baptiste Joseph Fourier，1768年3月21日出生于法国奥克 斯雷Allxerre，后来加入了这场三角级数论战。 实际物理背景：热传播和扩散现象的研究。 6、1807年，Fourier洞察：一根弦的实际运动都可以用标准振动模 的线性组合来表示，推动了Fourier级数问题的深入研究。
f(t)
t
0
f(2t)
t
0
微分 d f (t)
dt
t
积分 ∫ f (t)dt
−∞
f(t/2)
t
0
信号的基本运算(2)
卷积（褶积）：convolution （互）相关：（cross-）correlation
今后重点讨论 ！
第1章：信号的基本概念、频谱与连续傅立叶变换
信号的基本概念 信号的频谱（傅立叶级数） 傅立叶变换 几种基本信号的频谱 频谱的基本性质 傅立叶积分与傅立叶级数的关系 几种特殊信号的频谱