第三讲 保险效用理论

偏好关系
关于消费者偏好的基本假定 偏好的完全性；偏好的可传递性；偏好的非饱和 性
Neumann-Morgenstern期望效用理 Von Neumann-Morgenstern期望效用理 风险效用理论） 论（风险效用理论）
贝努利建议，可以对原有 的期望值“度量” 进行 修正，其方法是对结果值 进行变换，即构造定义在 实数集合上的函数u(x)， 满足
SX
<E[X]，则称该行为主体是风险厌恶型的；
2）均有 S X 〉E[X]，则称 该行为主体是风险喜好型 的； 3）均有 S =E[X]，则称 该行为主体是风险中性型 的；
X
詹森定理
定 理 3 . 1 （ Jensen 不 等 式 ） ：如果函数u(x) 具 有 ' ''
u ( x ) > 0, u ( x ) < 0
u ' (x ) > 0 , u '' (x ) = 0
则该行为主体是风险中性者；
注：詹森定理的证明（见 詹森定理的证明（ word）。 word）。
风险厌恶的度量
风险厌恶的度量
风险酬金[1] Markowitz 风险酬金 （ Markowitz risk premium） k(X)=E[X]- S
期望效用理论
圣彼得堡悖论 西方经济学效用理论 基数效用 序数效用 无差异曲线 偏好关系 Neumann-Morgenstern期望效用理论 Von Neumann-Morgenstern期望效用理论 萨维奇的主观概率理论
圣彼得堡悖论
对风险按照数学期望值的方法度量，这种方法客 观、直观和简便，然而在保险经济学中却不适用。
∀x
对 均成立，则对任意的 随机变量（风险），均有
E[u( X )] < u(E[X ])
该定理说明， 该定理说明，如果行为主体的风险效用 函数是： 函数是：
1）凹函数，即
u
'
(x ) >
0,u
0,u
''
(x ) <
0
0
则该行为主体是风险厌恶者； 2）凸函数，即
u
'
(x ) >
''
(x ) >
则该行为主体是风险喜好者； 3）具有线性风险效用函，即
Байду номын сангаас
上一章的案例： 上一章的案例：
三个方案的期望值分别为： 三个方案的期望值分别为：
E[X 1 ] = 200× 0.999 + 0 × 0.001 = 199.8
E[X 2 ] = 199.75× 0.999 + 199.75× 0.001 = 199.75 E[X 3 ] = 199.78× 0.999 + 189.78× 0.001 = 199.77
Markowitz risk premium 的计算：
例：张庆洪.P32 , 例3-4
Markowitz risk premium 非常直观地表达了行 为主体对风险的厌恶程度，然而Markowitz risk premium 的大小与随机变量有关。 因此，必须寻找只反映行为主体主管的风险态度 （与客观的随机变量无关）的量，来度量行为主 体对风险的厌恶程度——绝对风险厌恶度的提 绝对风险厌恶度的提 出。
萨维奇提出并构建的主观预期效用理论 简称为SEU理论) SEU理论 (简称为SEU理论)
Neumann-Morgenstern的 Von Neumann-Morgenstern的期望效用理论，被 萨维奇、安斯康姆和奥曼完善为主观预期效用理 论 主观概率： 主观概率：就是一个给定决策者对某些事件 发生可能性的主观判断。 发生可能性的主观判断。 年萨维奇（Savage） 1954 年萨维奇（Savage）提出并构建了主观 预期效用理论（简称SEU SEU）。 预期效用理论（简称SEU）。
绝对风险厌恶度的提出（Arrow, Pratt）：
根 据 Markowitz premium的定义 的定义： premium的定义： k(X)=E[X]- S
X
risk
SX = E[X ] − k E [u ( X )] = u (E ( X ) − k ) 对该等式两边在 E [ X ]附近进行
u ( x ) > 0, x ∈ R
'
对于连续性随机变量X,可 以用其对应的概率密度函 数f(x)计算效用期望值
对于离散型随机变量X， 可以用其对应的概率分布 列计算效用期望值
然而，贝努利的建议有何根据？它和行为主体 （如投保人）对于随机变量之间的偏好有什么关 系？如何建立行为主体（如投保人）的效用函数？ 这些问题直到Von Neumann-Morgenstern 证明 Von Neumann了如下定理后才得以从理论上解决。
确定等价值的确定
S X 1 = 1412 .80 , S X 1 = 1412 .80 2 = 1996003 .8
风险态度
风险态度
定义3.2： 定义3.2：如果u(x)是行 3.2 为主体的效用函数，那么 对于任意的随机变量（风 险）
X =[x1,π1; x2,π2;Lxn,πn ]
1）均有
保险经济学中的风险效用函数与西方经 济学中的效用函数比较
微观经济学中的效用函数：
经济学意义：
u ' ( x ) > 0,
多多益善假设，即消费品数量越多效用越大假设
u '' ( x ) < 0 ,
边际效用递减假设，或者叫消费有够假设
保险经济学中的风险效用函数： 保险经济学中的风险效用函数：
对风险的态度与效用函数 之间的关系：
圣彼得堡悖论说明，在人 们心目中，不是用数学期 望值来度量一个随机变量 的。
西方经济学效用理论
效用：商品满足人的欲望的能力和消费者在消费商品时 所感受到的满足程度。 基数( number)效用 效用： 基数(cardinal number)效用：边际效用分析方法 总效用（TOTAL UTILITY，TU） ：消费者在一定时 间内从一定数量商品的消费中所得到的效用量的总和。 边际效用（MARGINAL UTILITY，MU）：消费者在一定时 间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量 序数( number)效用 效用： 序数(ordinal number)效用：无差异曲线分析方法
对于连续型随机变量X， 可以用其对应的概率密度 函数f(x)计算效用期望值
对于离散型随机变量X， 可以用其对应的概率分布 列计算效用期望值
例2-1 假设某企业拥有价值200 2 200万元的厂房，厂 200 房发生火灾的概率为0.001 0.001，不发生火灾的概率 0.001 为0.999 0.999。如果保险公司甲愿意接受该企业的风 0.999 险转移，即保险事故发生时，保险公司赔付200 200 万元，但该企业需交纳保费P1=0.25 P1=0.25万元；保险 P1=0.25 公司乙提出绝对免赔额10 10万元，而要求的保费是 10 P2=0.22万元。则该企业有三种方案：a) a)自留风 P2=0.22 a) 险；b) b)投保保险公司甲；c) c)投保保险公司乙。 b) c)
按照数学期望值决策，投保人 不会采取保险公司提供的所有 契约，然而在现实中，投保人 往往愿意支付比损失风险数学 期望值（其绝对值为0.2万元） 大的保险费(比如0.25万元) 在保险公司投保. 这说明，按照数学期望值的大 小进行比较，并没反应投保人 心目中对随机变量的偏好。
“彼得堡悖论”（或“圣彼得堡悖论”）
詹森定理 风险厌恶的度量 Markowitz风险酬金 绝对风险厌恶 相对风险厌恶 初始资产对风险厌恶的影响 表达风险偏好的其他方法 期望值—方差方法 一阶随机占优 二阶随机占优（自学） （自学）
预期效用理论的质疑与发展
阿莱悖论与马其纳概率三角形 偏好逆转 框架效应 对期望效用理论的修正 非预期效用模型 扩展效用模型 非传递性效用模型 前景理论（自学） 前景理论（自学）
X
[1] 在张洪涛所编著的保 险经济学中（P31） ，被 称为“风险升水”。
可看作行为主体为了避免 随机变量造成的不确定性， 而愿意放弃的收益的最大 值。 Markowitz 风险酬金越大， 说明行为主体为避免风险 愿意放弃的收益越多。 因此可以用Markowitz 风 险酬金来刻画行为主体对 风险的厌恶程度。
若
u(x) = x
计算三个方案的效用期望值。
E [u ( X 1 )] = 0.999 × 2000000 + 0.001 × 0 = 1412 .80 E [u ( X 2 )] = 0.999 × 1997500 + 0.001 × 1997500 = 1413 .33 E [u ( X 3 )] = 0.999 × 1997800 + 0.001 × 1897800 = 1413 .40
S S S
X X X
< E[X ] > E[X ] = E[X ]
三者之一
确定等价值的确定
在前例中：
u ( x) =
x
确定等价值的确定
E[u( X1 )] = 0.999× 2000000+ 0.001× 0 = 141280 . E[u( X 2 )] = 0.999× 1997500+ 0.001× 1997500= 141333 . E[u( X 3 )] = 0.999× 1997800+ 0.001× 1897800= 141340 .
X = [x1 , π 1 ; x 2 , π 2 ;L x n , π n ]
S X = u − 1 (E [u ( X 为X的确定值等价。
称
)])
含义是：在行为主体的心 目中，得到确定的结果 S 与采取行动得到的随机变 量X是等价的。
X
S X 可看作行为主体对X
的主观评价
显然，X 与E[X]之间的关 S 系是
第三讲 保险效用理论
期望效用理论
圣彼得堡悖论 西方经济学效用理论 基数效用 序数效用 无差异曲线 偏好关系 Neumann-Morgenstern期望效用理论 Von Neumann-Morgenstern期望效用理论 萨维奇的主观概率理论
行为主体的风险偏好
确定等价值 风险态度 风险厌恶 风险喜好 风险中性
Var( X ) u'' (E[X ]) − k( X ) ≈ 2 u' (E[X ])
Taylor 展开，得：
为此，Arrow（1970）和 Arrow（1970） Arrow Pratt（1964） Pratt（1964）分别把反 映客观风险的因素去掉， 映客观风险的因素 仅留下反映行为主体主观 上对风险的态度部分，提 出绝对风险厌恶度的概念。
Neumann-Morgenstern期望效用理 Von Neumann-Morgenstern期望效用理 论
设D为一个行为主体所有 可能选择组合结果的集合， 当行为主体对不同的选择 组合（因而对与其对应的 概率分布）的偏好满足如 下公理：
保序性公理：
中值性公理： 中值性公理：
等价关系的独立性公理： 等价关系的独立性公理：
无差异曲线（Indifference curve）
含义：无差异曲线表示对消费者没有区别的商品 组合的点的轨迹。即无差异曲线是用来表示两种 商品或两组商品的不同数量的组合对消费者所提 供的效用是相同的。
无差异曲线的特征
无差异曲线是是一条凸向原点，并向右下方倾斜的曲线， 其斜率为负值，它表明在收入与价格既定的条件下，为 了获得同样的满足程度，增加一种商品消费时就必须放 弃或减少另一种商品的消费。两种商品在消费者偏好不 变的条件下，不能同时减少或增多。 在同一平面图上有无数条无差异曲线，同一条无差 异曲线代表同样的满足程度，不同的无差异曲线代表不 同的满足程度，离原点越远，满足程度越大，反之则越 小。
则存在一个效用函数u(x)对应该行为主体对选 则存在一个效用函数u(x)对应该行为主体对选 u(x) 择组合的偏好， 择组合的偏好，并且该行为主体对选择组合的 评价是按效用期望值做出的，即对随机变量X 评价是按效用期望值做出的，即对随机变量X的 评价值为
注：证明过程略。
效用期望值（风险效用） 效用期望值（风险效用）的确定
人们在不确定条件下的决策主要依据由主观概率 主观概率 进行度量的预期效用 预期效用进行。 预期效用 主观概率具有一般客观概率的全部性质，特别是 它们服从条件概率的一般规则。
第二节 行为主体的风险偏好
行为主体对风险的主 观评价
确定等价值
定义3.1： 定义3.1：如果u(x)是行 3.1 为主体的效用函数，那么 对于一个随机变量（风险）