3.7费米面和态密度

2π i jk a 2π i jk a 2π i jk a




倒格基矢：
2π b 1 a i j k 2π b2 i jk a b 3 2π i j k a




面心立方的倒格子是 边长为4/a体心立方。
的作用下，费米面的构造方法。
1.自由电子费米面
1).费米半径
设晶体中有N个原胞，考虑到每个波矢状态 k 可以容纳自
旋相反的两个电子，所以在简约布里渊区中有2N个电子状态，
用
A*表示简约布里渊区的面积，则在 k 空间单位面积中的电
2N Z k A
子状态数是：

设每个原胞中有个电子( 为正整数)，则晶体中总的电子数是
解：面心立方正格基矢：
a a 1 2 j k a a2 i k 2 a3 a i j 2


Ω a 1 (a 2 a 3 ) 1 a3 ak 4
a1
aj
a2 a3
ai
倒格基矢:
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω b 3 2 π a 1 a 2 Ω
布里渊区序号越大,分离的区域数目就越多. 2).每个布里渊区的总体积相等，均为倒格子空间中一个原 胞的体积 *
3).不同布里渊区对应不同的能带。每个能带包含2N个量子 态(N为晶体原胞的数目).高序号的各区域可通过平移 适当的倒格矢而移入第一布里渊区.
对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢?
3.布里渊区作图法


体心立方倒格子是边 长为 4/a的面心立方。
已知面心立方正格基矢：
2π H： 1 ,0 ,0 a
a a 1 2 j k a ik a 2 2 a3 a i j 2


P
2π 1 1 1 P： , , a 2 2 2 2π 1 1 N： , ,0 a 2 2
H
N
正格
正方形
简约布里 渊区形状 正方形 十四面体 (截角八面体)
简约布里渊 区体积(面积)
S1 S *
面心立方
V1 Ω
*
体心立方
十二面体
V1 Ω*
布里渊区的形状由晶体结构的布拉维晶格决定； 布里渊区的体积(或面积)等于倒格原胞的体积(或面积)。
二、 费米面的构造
以二维正方晶格为例,从自由电子模型的费米面过渡到准 自由电子模型的费米面，从而说明在绝对零度时，在弱周期场
2π O： 0 ,0 ,0 a
2π X： 1 ,0 ,0 a
已知体心立方正格基矢:
L
X K
a a 1 2 i j k a a2 i j k 2 a3 a i j k 2




2π 1 1 1 L： , , a 2 2 2 2π 3 3 , ,0 a 4 4
F
在 k 空间中，能量 (k ) 为常数的点构成等能面。
§3.5
费米面和态密度
3 2 2 N k F 3 n 3 ; F V 2m
相关的态密度。
2 kF
2
这一节，考虑晶格周期势场的影响后，再次讨论费米面及
一、 高布里渊区
1.费米面 在晶格周期势场存在时，费米面的意义不变。定义为：在 基态情形下，在 k 空间中电子的占据态和非占据态的分界面。
根据以上说明，构造费米面应按如下步骤：
1.画出布里渊区的广延区图形；
2.画出自由电子费米球(面)(费米面的
广延区图)； 3.将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当的倒格矢进 入简约布里渊区中等价部位(费米面的简约区图)。
第一区
=1
第一区
第二区
=2，3
第三区 第四区
=4，5，6
2.近自由电子费米面
倒格子空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。
第 1 布里渊区(first Brillouin zone) 在P42，我们把倒格子空间中的WS原胞称为第1布里渊区。现
过任何布拉格平面(P45： k 空间中，连接原点和某一倒格 点的倒格矢 G 的垂直平分面)所能到达的所有点的集合，称 h
为第1布里渊区(first Brillouin zone)；显然，它是围绕原点
a
a
a 1 ai
a i b j 2 π ij
2π ( i j )
0 (i j )
2π b1 i a 2π b2 j a
j
i
2π a
2π a
第一布 里渊区
第二布 里渊区
第三布 里渊区
布里渊区的面积
=倒格子原胞的面积
j
i
第一区 第二区 第三区
2 a
2 a
布里渊区的简约区图
N
kF
0
kF 2 N 2 2N Z (k )dk 2πkdk πkF 0 A A
A kF 2π
12
所以费米半径为
若二维正方晶格的晶格常量为a，
则其倒格边长为： 2/a，
2π 简约布里渊区的面积： A a
第五节
费米面和态密度
本节主要内容:
一、 高布里渊区 二、 费米面的构造 三、态密度
能量等于费米能级 F 的等能面称为费米面。 在绝对温度零度时，电子将填满费米能级以下所有能量状 态。此时费米面是电子的占据态与未占据态的分界面。 金属的大部分电学性质，特别是电输运性质，是由费米面 附近的电子态确定的，只有费米面附近的电子才有可能跃迁到 附近的空态上去，电流就是因为费米面附近的能态占据状况发 生变化引起的。 在第一章我们讨论过费米面，当时是基于自由电子模型讨 论的(P6-7),填满的 k 空间最后成为一个球—费米球(Fermi sphere),其半径为费米波矢(Fermi wave vector) k
布里渊区的扩展区图
高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格 矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的简约区图。
第一区 第二区 第三区 第四区 第五区 第六区 第七区
第八区 第九区
第十区
二维正方晶格的布
里渊区的简约区图
例3：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的 扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为 a，b 。
晶体 结构
布拉维 晶格
倒格点 排列
中垂面 (中垂线)
区分布 里渊区
K h h1 b 1 h2 b 2 h3 b 3
正格子基矢 倒格子基矢
a 1、2、3 , a a
b 1、2、3 b b
例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、 第三布里渊区。
a2 a j
a
a
a 1 ai a2 a j
a1
a2
aj
ai
a3
倒格基矢：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω b 3 2 π a 1 a 2 Ω



2π jk a 2π ik a 2π i j a


2π b 1 a j k 2π ik b2 a b 3 2π i j a
第一区
=2，3
=1
第一区
=2，3
=4,5,6
第一区
第二区
=4，5，6
第一区 第二区
第一区
第二区
第一区 第三区
第二区
第三区
第四区 第四区
简约Fra Baidu bibliotek图
周期区图
自由电子费米面
近自由电子费 米面简约区图
三、态密度
定义：单位体积样品中，单位能量间隔内，包含自旋 的电子态数。
根据以上说明，构造费米面应按如下步骤：
1.画出布里渊区的广延区图形；
2.画出自由电子费米面(费米面的广延区图)； 3.将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当的倒格矢进 入简约布里渊区中等价部位； 4.对自由电子费米面加以修正，即费米面同布里渊区边界
垂直相交，尖角处要钝化(费米面的简约区图)。
=1
K：
例5：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为a。 解：正格基矢：
a a1 i jk 2 a a2 i jk 2 a3 a i j k 2




Ω a 1 (a 2 a 3 ) 1 3 a 2
ak
解:
a 1 ai a2 b j
2π ( i j )
a i b j 2 π ij
2π b1 i a 2π b2 j b
0 (i j )
a2 b j
b
a 1 ai
倒格仍为矩形。
a
j
i
2π b
2π a
第一区
第二区
例4：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。
在修改为： 在倒格子空间中的，从
k 0的原点出发，不经
的最小闭合区域。
第 n 布里渊区 从第 n-1 个布里渊区出发，只经过一个布拉格平面所 能到达的所有点的集合，称为第 n 布里渊区. 或者说，从原点出发经过n-1个中垂面(或中垂线)才能到达 的区域(n为正整数)。 特点： 1).除第 1 布里渊区以外，高布里渊区均由一些小块组成；
在前面我们讨论能带时，常把 (k ) 平移到第一布里渊区
内(简约布里渊区),这种平移在讨论费米面时也可以采用，但 是其图示会很复杂，为此引入高布里渊区的概念。
2.布里渊区(Brillouin zone) 在倒格子空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他 所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将
2
A kF 2π
12
2π 1 2
a
A 2π 1 2 kF 2π a
12
=1 =3 =5
2 π b1 kF a 2
b1 b 2 6 π b1 kF ， kF a 2 2
10π b1 b 2 kF ， kF b 2 a 2