求高阶导数常见方法

求函数的高阶导数常用方法

（一）逐阶整理法

例1、 求()sin x f x e x =的n 阶导数（解略）

（二）将函数分解为若干个简单函数的和，再利用已知的常见的函数的高阶导数公式

（1）()()(1)(1)n n x n x ααααα−=−−+"

（2）()()(ln )x n x n a a a =， ()(e )e x n x =

（3）()(sin())sin ()2n n ax b a ax b n π⎛⎞+=⋅++⋅⎜⎟⎝

⎠， ()(cos())cos ()2n n ax b a ax b n π⎛⎞+=⋅++⋅⎜⎟⎝

⎠ （4）()11(1)!n n n n x x +−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， ()1

1(1)!()n n n n n a ax b ax b +−⋅⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠ （5）1()(1)(1)!(ln )n n n

n x x −−−=， 1()(1)(1)!(ln())()n n

n n n a ax b ax b −−−⋅+=+ 例2、求下列函数的n 阶导数

（1）1()(1)

f x x x =− （2）()1n x f x x =− （3）2221()f x a b x

=− （4）()cos cos2f x x x =⋅ （三）利用莱布尼茨公式

例3、求函数ln ()x f x x

=的n 阶导数 例4、求函数2()(1)n f x x =−的n 阶导数

（提示：()(1)(1)n n f x x x =−⋅+）

（四）先求一阶或二阶导数，变成乘积形式，再利用莱布尼茨公式，得到高阶导数的递推公式

例5 、设arctan y x =，求()

0n x y = 解：由211y x

′=+， 得 2(1)1y x ′⋅+=

对上式两边求n 阶导数（左边利用莱布尼茨公式），得

(1)2()(1)(1)(1)2202

n n n n n y x n y x y +−−⋅++⋅⋅+

⋅⋅= 即 2(1)()(1)(1)2(1)0n n n x y nxy n n y +−+⋅++−= （高阶导数的递推公式） 令0x =，得

(1)

(1)00(1)n n x x y n n y +−===−−

又由(0)0y =，(0)1y ′=，故

()

0 0 , 2(1)(2)!,

21n k x n k y k n k ==⎧=⎨−⋅=+⎩当当 例6 、设arcsin y x =，求()

0n x y =

解：由y ′=

，32221(1)x x y y x

x ′⎛⎞′′′===⋅−−，则 2(1)y x y x ′′′⋅−=⋅

对上式两边求n 阶导数（两边利用莱布尼茨公式），得 (2)2(1)()(1)()(1)(1)(2)(2)12

n n n n n n n y x n y x y y x n y +++−⋅−+⋅⋅−+

⋅⋅−=⋅+⋅⋅ 整理，得 2(2)(1)2()(1)(21)0n n n x y n xy n y ++−−+−=

令0x =，得

(2)2()n n y n y += （高阶导数的递推公式）

又由(0)0y ′=，(0)0y ′′=，故

()20

0 , 2[(21)!!], 21n x n k y k n k ==⎧=⎨−=+⎩当当 （五）分段函数分界点处的高阶导数用定义 例7、研究3()f x x =在0x =处的各阶导数

（提示33 ,

0() 0,

0,

0x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪−<⎩）