导数的运算法则解读ppt课件

（3）设y
1 v(，x)
则
y 1 1 v( x x) v( x) v( x x) v( x) v( x)v( x x)
再由 v( x在) 点x处可导（必连续）且 v(,x) 0
即得：
y
( 1 ) v( x)
lim
x0
y x
v( x) v2(x)
再由（2），[u( x)] u( x) 1 u( x)[ 1 ]
例7 y 3 1 ，2求x2 . y
解：
y
[(1
2
x
2
)
1 3
4x
]
.
1 3
(1
2x2
2
)3
(1
2x2
)
33 (1 2x2 )2
注：复合函数的求导法则可推广到多个中间变
量的情形.
如：设y f (u) ,u (v，) ,v ( x) 则复合函数
y f {[ ( x)]}的导数为 dy dy du dv .
特别地 [cu( x)] c（u(为x)常值c）
（3）[u( x)] v(u)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v(
x)
0)
特别地
[ 1 ] v( x)
v( x) v2(x)
证明：（1）设 y u( x) v( x)
y [u( x) v( x)] lim y x0 x
lim [u( x x) v( x x)] [u( x) v( x)]
y f (u),u g( x) 则复合函数
y f [在g( x点)] 可x导，其导数为
yx
yu ux
f (u) g( x) ，或
dy dx
dy du . du dx
证明：由II有 f (u，) lim y 进而有
y
f (u) (u)
u0 u
即y f (u)u (u)u ，
u
x a
)
1 x ln a
6. (ln x) 1 x
7. (sin x) cos x 8. (cos x) sin x 9. (tan x) sec2 x 10. (cot x) csc2 x 11. (sec x) sec x tan x
12. (csc x) csc x cot x
2x x
例3 曲线 y 上x3哪2 点的切线与直线
y 3x 1 平行？
解：
由于
y
(
3
x2
)
3
1
x 2
3
x，
22
直线 y 3x的斜1 率 . K 3
令3 2
x0， 3
则 x0 ，4 此时y0 , 8
故所求点为 ( 4,8.)
例4 y ，ex求3 解：y 视ex3为
. dy dx y e复u ,u合而x成3 ，
在 x tan y
( π , π)内单调、可导，且 22
xy sec2，y 0
所以在相应区间 I x (内,，) yx (arctan x)
1 xy
1 sec2
y
1
1 tan2
y
1
1 x
2
.
类似地可证
(arccot
x)
1
1 x2
.
八、复合函数的求导法则
定理3 若函数 y f [g是( x由)] 复合而成，且满足 I： u g在( x点) 可导x； II：y f在(u) u可导g(，x)
x0
x
u( x x) u( x) v( x x) v( x)
lim [
]
x0
x
x
u( x) v( x).
（2）设 y u( x)v( x)
y [u( x)v( x)] lim y x0 x
lim u( x x)v( x x) u( x)v( x)
x0
u( x lim [
13. (arcsinx) 1 1 x2
14. (arccosx) 1 1 x2
15.
(arctan x)
1 1 x2
16.
(arccot x )
1
1 x
2
证明：
1.
(c)
lim
x0
f ( x x) x
f (x)
lim
x0
cc x
0.
2. ( xn ) lim 1 [( x x)n xn ] x0 x
(1 cos
) x
(ccooss2xx)
sin x cos2 x
sec
x
tan
x,
类似地可证 (csc x) csc x cot x.
六、例题
例1 设 f ( x) x3 4co，s 求x sin π. 2
解： f ( x) ( x3 ) 4(cos x) (sin π) 2
3x2 4sin x 0
，
所以
dy dx
cos u
2(1 x2 ) (1 x2 )2
2(1 x2 ) (1 x2 )2
cos
1
2
x x
2
.
例6 y ln ，sin求x . dy dx
解：不必写出中间变量，然后逐层求导.
dy (lnsin x) 1 (sin x) cos x cot x.
dx
sin x
sin x
dx du dv dx
例8 y lnco，s(求ex ) . 解： y lnco分s(e解x )为
连续），所以，反函数 x 在( y相) 应的区间
I y 内也单调连续，因此当 y 时0， x 0
并有 y 时0 对 y的导数为
，x 0 于是，反函数 x ( y)
xy
lim x y0 y
1
lim
x0
y
1 yx
x
利用此定理证明如下公式：
13. (arcsin x)
1 1 x2
证明设： y a，rc是sin x 的反x函 s数in. y
v( x) x0
x
lim u( x x)v( x) u( x)v( x x)
x0
v( x x)v( x)x
lim [u( x x) u( x)]v( x) u( x)[v( x x) v( x)]
x0
v( x x)v( x)x
u( x x) u( x) v( x) u( x) v( x x) v( x)
lim h0
22 h
cos x.
2
类似地可以证明 (cos x) sin x.
四、导数的四则运算法则
定理1 设函数 u(和x) 都v在( x点) 处可导x，
则它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）
都在 x点处可导，且有：
（1）[u( x) v( x)] u( x) v( x)
（2）[u( x)v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x)
导数的运算法则
一、背景知识与引入方法
根据导数定义可以求一些简单函数的导数.
而对比较复杂的函数的求导应借助于微分法则. 这些法则的建立是以极限理论和导数定义作为
基础，法则的推导应力求简短.
例如，商的求导法则就有繁简不同的表述
方法.
方法一：
u( x x) u( x)
[u( x)]' lim v( x x) v( x)
证明：( x ) （x其1中 为任意实数），
设 y x e ln x 是由 y eu , u 复合ln而x成，
于是
y
(eu )u
( ln
x)x
eu
x
x
x
x 1
，
且容易算出：( x) 1 ,
(
1 x
)
(
x 1
)
1 x2
，
(
1
x) ( x2 )
1
，(
1
1
) ( x 2 )
1
.
2x x
lim 1 [nxn1x n(n 1) xn2(x)2 (x)n]
x0 x
2!
nx n1.
（ n 为自然数）
3. (a x ) lim a xx a x a x lim ax 1 a x ln a,
x0 x
x0 x
特别 a e 时，(ex ) ex .
6. (ln x) lim ln( x x) ln x
x0
x
lim 1 [ln(1 x )]
x0 x
x
lim
ln[(1
x
)
x x
1
]x
x0
x
1
lim
ln(1
x
)
x x
1
ln e
1
.
x x0
xx
x
7. (sin x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
lim sin( x h) sin x
h0
h
cos( x h)sin h
lim
x
x
x0
v( x x)v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
以上表述可简化为：令
y( x)
u( x) v( x)
，v(
x)
0，
对于可导函数 v， 当x 时0， v， 0
y u u u vu uv ， 从而有 v v v (v v)v
y
v u x
u v x
因此 dy dy du eu 3x2 3 x2ex3 . dx du dx
例5 y sin 1，2求xx2 .
dy dx
解：y
sin
1
2
x x2
视为y
sin
u,
u
复1合2 x而x 2成，
又因 dy c，os u du
du dx
2(1
x2) 2x (1 x2 )2
2x
2(1 x2 ) (1 x2 )2
其中 (u)（当0 时u），0
时u 规0定 0
此时y
f (u ，u)
f (u)
再由I有 ux
lim u ， x0 x
且有当x 时0， ,u从而0推知
， (u) 0
于是dy dx
yx
lim y x0 x
lim [
x0
f (u) u (u) u]
x
x
f (u) g( x) dy du . du dx
v( x)
v( x)
v( x)
成立.
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
注：定理1中法则（1）（2）可推广到有限
个可导函数情形，例如，设 u， ，v 均w 可导.
则有 (u v w) u v w ， (uv w) uvw uvw uvw .
五、证明基本初等函数的部分求导公式
（2）依据极限理论，推导出和、差、积、 商的求导法则，再以这些法则是和已有的导数 结果，给出对数函数 log、ax 正余切函数 、tanx cotx 和正余割函数 sec、x csc的x 求导公式.
（3）建立反函数的求导法则，并由此给出 反正弦、反余弦、反正切、反余切函数的求导
公式.
（4）由导数定义及极限理论推导复合函数 的求导法则，并借此给出基本初等函数中幂函数
x v(v v)
uv v2
uv
方法二：
1 先解决 v( x的) 导数，然后按乘积求导法则
[u( x)] u( x) 1 u( x)[ 1 ].
v( x)
v( x)
v( x)
详细内容见该知识点讲解方法（参考居余马、
葛严麟主编《高等数学》第Ⅱ卷.）
二、该知识点的讲解方法
（1）依据导数定义和重要极限先解决基本 初等函数中常值函数 c，正整次幂函数 x、n 指 数函数 a、x 自然对数函数 ln、x正余弦函数 sinx、cosx 的求导公式.
故 f (π) 3 π2 4 . 24
f (π) 2
例2 设 y ex (tan，x 求ln x.)
y
解： y (ex )(tan x ln x) ex (tan x ln x) ex (tan x ln x) ex (sec2 x 1 ) x ex (tan x sec2 x ln x 1 ). x
x（ 为任意实数）的求导公式.
微分法则表明，初等函数的导数的具体计算 都切实可行，特别是复合函数的求导法则，使复 杂函数的求导计算系统化，简单化.
三、基本初等函数的求导公式
1．(c) （0 c 为常数）
2. ( x ) x1
3. (a x ) a x lna
4. (ex ) ex
5.
(log
七、反函数的求导法则
定理2 设 y f在( x区) 间 内单I调x 、可导且
f ( x) 0 ， 则它的反函数 x 在( y区) 间
来自百度文库
I y { y | y f ( x), x Ix }内也可导，
且有 ( y)
f
1 ( x)
，即
xy
.
1 yx
证明由：于 y 在f ( x内) 单调Ix、可导（必
x)
u( x)
x v( x
x)
u(
x)v(
x
x)
v(
x)]
x0
x
x
u( x)v( x) u( x)v( x).
由于 v在( x) 点处x 可导，故 在点v(处x)连
续，所以有 lim v( x x.) v( x) x0
特别当 v( x（) 常c数）时，由上式立刻有 [cu( x)] cu(成x)立.
并且 x si，n 在y (内 π单, π调) 增加可导，
22
且 xy cos y 0 ，所以 y (arcsin x)
1 cos y
1 1 sin2 y
1 1 x2 x (1,1).
1 xy
类似地可证 (arccos x)
1. 1 x2
15.
(arctan
x)
1 1 x2
证明设： y a，rc其ta反n x函数
5.
(log
x a
)
(ln ln
x ) a
1 ln a
(ln
x)
1. x ln a
9.
(tan
x)
( sin cos
x ) x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin2 cos2 x
x
sec2
x.
类似地可证 (cot x) csc2 x .
11.(sec
x)