CT图像重建滤波反投影析算法的精度研究

（10）
我们由此看出，必须知道每个间隔的中点值，才可以用这 个方法求解。但是这样点的数值我们并没有采集到，为了能够 解决这个问题，我们可以采取用插值法估计出这个值或者在每 两个间隔范围应用一次这个方法的方式来实现。但是如果这样 做，会对数值的精确度产生影响，所以在一般情况下不使用这 种方法。
h 复 合 梯 形 公 式 ： M( f ) = ∑( f (x i) + f (x i + 1)) 2 i =0
a + b) 此公式的几何意义：用长为(b-a)，宽为 f ( 的矩形的 2 3 面积去近似求得曲边梯形的面积，它的截断误差为 O(h ) ，代
a + b )(b - a) 中 点 公 式 ： M( f ) = f ( 2
（4）
数精度为 1。 梯形公式： 梯形公式就是在两点之间做线形性插值，用梯形的面积去 逐渐逼近曲边梯形的面积。 f (a) + f (b) M( f ) = (b - a) 2 3 它的截断误差为 O(h ) ，代数精度为 1。 Sim pso n （辛普生）公式： 当已知两个端点及其中点的函数值时，可以在[a,b]之间构 造一个二次插值多项式，用此多项式函数的积分值近似 f (x) 的 积分值，就得到辛普生公式。 M( f ) = b - a [ f (a) + 4f ( a + b ) + f (b)] 6 2 5 它的截断误差为 O(h ) ，代数精度为 3。 1.2 复合数值积分公式 如公式（1）中所示，我们可以在已知 n+1 个节点函数值 时，利用上面的数值积分方法在每两个节点之间执行，就形成 了复合数值积分公式。 现在假定，n+1 个节点时等距分布的，则： x i = a + ih, h = b - a , i = 0,1..., n 2 并定义： x i + 1 = a +(i + 1 )h 2 2 复合数值积分方法。 复合起点公式（黎曼和积分） ： M( f ) = h∑ f (x i)
多数情况下我们只知道函数的一些采样点处的值，这样就不能 通过解析的方法获得积分的值，而且我们知道并不是所有的函 数都有原函数。考虑到这些情况，如果想要在特定的允许误差 范围内求取定积分，就需要采用数值计算方法。 设函数 f (x) ，在[a,b]的范围内连续，已知在定义域范围内 有 x 0 , x1,⋅⋅⋅, x n 共 n+1 个点处的函数值，那么下面要讨论的数值 积分方法，可以统一表示为：
i =0 2 n -1
通过采用归一化均方距离判据 d 和归一化平均绝对距离判 据 r 两个参数对重建图像的质量进行评估。 设重建图像的大小 NˑN, t ij 表示模型图像的第 i 行和第 j 列 的线性衰减系数， r ij 表示重建图像的第 i 行和第 j 列的线性衰减
t 表示模型的平均衰减系数，则 d 和 r 的定义如下式所 系数， ˉ
圆柱名称 大圆柱 上部左边的小圆柱 上部右边的小圆柱 中心的小圆柱 下部小圆柱 直径(cm) 4 1 1 0.5 0.8 线性衰减系数(cm-1) 0.8 0.4 0.6 0.1 0.2 坐标位置 (0,0) (-2,2) (2,2) (0,0) (0,-2)
（6）
在每个区间执行相应的数值积分方法，相应地形成了 4 种
∫
b
a
f (x)dx ≈∑A i f (x i)
i =0
n
（1）
其中， A i 称为系数， x i 称为函数的节点。 x i 节点可以均 匀分布，也可以不均匀分布。
E( f ) = ∫a f (x)dx -∑A i f (x i)
b i =0 n
（2）
上式称为截断误差。
m 2 假设 m 是一个自然数，如果截断误差对 f (x) = 1, x, x ,..., x m+1 都为零，但对 f (x) = x 不为零，则称数值积分公式的代数精
该公式非常适用于离散时间信号的区间积分问题。因为没 有出现最后一个节点 x i + 1 ，所以在反投影过程中，一般都是使 用这一公式。在反投影求解图像重建中，积分范围是
00 - 1800 ，而我们采集的投影信号一般是 00 - 1790 范围（共 180
个，刚好没有最后一个点。 复合中点公式： M( f ) = h∑ f (x i + 1 )
《自动化与仪器仪表》 2013 年第 6 期 （总第 170 期）
CT 图像重建滤波反投影析算法的精度研究*
骆岩红
（西北民族大学电气工程学院
摘
甘肃兰州，730030）
Fra Baidu bibliotek
要：CT 是常被用于医学和工业领域的计算机断层成像技术，这是一种优质无损诊断技术，即利用投影数据重建物
体断层图像。对于精密部件的检测在图像重建无损检测应用中需要有更高的精度要求，CT 应用中期待解决的关键问题是怎 么样能直接重建出满足工程目标的 CT 图像。本文就系统地深入地研究了解析式图像重建算法的精度。在重建算法中滤波反 投影（FBP）算法是解析法的根本，所以本文以该算法的实现，利用定积分数值计算方法，根据反投影的特点，提出了基 于辛普生公式的精确反投影方法。 关键词：CT 图像重；反投影算法；精度研究 Abstract： CT(Computed Tomography) is a high quality of medicine and industrial non-destructive diagnostic technology and its essence is the use of CT image reconstruction object projection data. In non-destructive testing applications, the detection of precision components for image reconstruction proposed higher accuracy requirements, how to directly meet the project target of CT image reconstruction is the key to the CT applications expect to solve the problem. The parsing algorithm is a CT image reconstruction algorithm widely used measure of reconstruction algorithm. In this paper, the precision of the analytical formula of image reconstruction algorithm expand the depth and systematic study. The filter back projection (FBP) algorithm is the basis of analytical method. According to the characteristics of the projection, the paper which Uses numerical calculation method of definite integral was proposed based on Simpson formula precision back projection method. Key words: CT image reconstruction； FBP； Precision of the research 中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1001-9227 （2013） 06-0027-03
0
引
言
1
定积分的数值实现方法 工程任务中，常常需要对函数的定积分进行计算。但其实
解析重建算法的快速、高精度的实现使它能够进一步广泛 应用在医学和工业领域上，特别是一些对精确度要求比较高的 工程领域：例如精确重建精密部件、三维大物体和高分辨图像 等，都有着举足轻重的实践价值和理论意义。为了实现解析算 法重建图像的精度和速度得到提升，就必须要研究影响这个算 法实现中的各个因素以及这些因素间的关系。除此之外，还有 必要研究对算法的数值实现以及减少时间的复杂度的方法。 如何从各个角度下沿着平行直线对弧长的曲线积分求得的 二元函数，这才是解析法的本质。因为投影是物体的断层的线 性衰减系数沿着射线的线积分，这就是根据投影来重建图像的 CT 实质。由此我们可以看出，其实反投影是一个定积分的 值。如果要更加精确地实现图像重建，需要通过数值积分的精 确度来实现。这样的话这个问题就变成了实现数值积分的精确 度的问题。 鉴于此，我们有必要针对不同的数值积分方法对图像重建 精度的影响展开研究。 为了实现解析法图像快速高质量的重建，将从成像理论的 角度充分运用数学工具研究精度提高的方法。本文从定积分的 实现方法定义法、复合梯形公式法、复合中点公式法、复合 Sim pso n 公式几个方面进行分析。 收稿日期：2013-09-10 *基金项目：中央高校中青年重点项目(31920130016) 作者简介：骆岩红 (1973-)，女，汉族，在职博士，讲 师，主要研究领域 CT 图像重建技术。
i =0 n -1
图1
实验用仿真模型及 00 采集示意图
（5）
复合 Sim pso n 公式: M( f ) =
h ( f (x ) + 4f (x ) + f (x )) （12） i i+1 i+ 1 6∑ 2 i =0
n -1
该公式中，最后一个节点也用上了，对于反投影过程而 言，可以采用 00 投影信号的反褶方法求取最后一个节点即 1800 的投影信号。 这 4 种方法在工程应用中都有它们不同的应用场合。黎曼 和积分方式虽然运算速度快但是精度较低，复合 Sim pso n 公式 的精度较高但是运算速度较慢，复合中点公式和复合梯形公式 的精度和速度介于这几个公式其间。 2 FBP 算法中不同积分方法对精度的影响 比较反投影过程的 3 种积分方法：黎曼和积分、复合梯形 公式和复合 Sim pso n 公式，对 CT 图像重建的精度的影响。仿 真试验的实验条件如下： 运用滤波反投影算法重建一个包含 4 细圆柱插到 1 个粗圆 （7） 柱模型的某断层模型。探测器需要在每个角度采集 101 点（采 样间隔为 0.1c m ） ，共通过 180 个角度的投影（角度步进间隔为 （8） 1 度） ，采用 SL 滤波器；采用卷积运算方式滤波，通过像素驱 动方式反投影。重建图像均以旋转中心为图像中心的 101ˑ101 的重建出的图像。 表 1 模型的参数说明表 （9）
∑ ∑|t
i =1 j =1 N N
N
N
ij
- r ij |
∑ ∑|tij|
i =1 j =1
（14）
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《自动化与仪器仪表》 2013 年第 6 期 （总第 170 期） 表 2 是采用不同的数值积分情况下， 3 种积分方法重建出 的 CT 图像的精度比较。 表 2 三种数值积分方法对重建精度影响
n -1
示：
éN N ù2 (t ij - r ij )2ú ∑ ∑ ê ê i =1 j =1 ú ú d= ê N N ê ú 2 ê ú ˉ ( t t ) ê∑ ú ij ∑ i = 1 j = 1 ë û r=
1
（13）
（11）
这个公式中用上了最后一个节点，所以使用该方法就要求 必须知道最后一个节点的数值。反投影时，我们往往不知道最
CT 图像重建滤波反投影析算法的精度研究 骆岩红 是先在各个节点之间利用零阶保持的插值方法，而后求积分。 这便是常用的比较简便的黎曼和积分法。这种方法的截断误差 为 O(h ) ，代数精度为 1。
3
后 一 个 节 点 的 值 ， 即 没 有 采 集 1800 时 的 投 影 信 号 。 但 有 p(t, θ + π) = p(-t, θ) ，所以 ，也就是可以看成是 00 投影信号的反褶是 1800 的投影信号。
度为 m 。 1.1 两点数值积分公式 先研究相对容易的已知被积函数两个端点函数值时的积分 方法，以此导出实用的数值积分公式。 起点公式： M( f ) = f (a)(b - a) （3）
虽然这个公式有比较大的误差，但如果已知的节点较密集 情况下，利用它还是能达到特定精度要求的。该方法，实际上
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