高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第六节双曲线理

y2 9
＝1的左、右焦点．若点
P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝________.
解析：因为|PF1|＝5>a＋c＝1＋ 10， 所以||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝7 或 3.
答案：3 或 7
3．方程
x2 m
＋
y2 4－m
＝1的曲线是焦点在y轴上的双曲
线，则m的取值范围是________．
顶点坐标：
A1(_0_,－___a_),A2 —(0—，——a)——
——
y＝±abx
标准方程 离心率
xa22－by22＝1
ya22－bx22＝1
(a＞0，b＞0)
(a＞0，b＞0)
c
e＝__a__，e∈(1，＋∞)
a，b，c 的关系
c2＝_a_2＋__b_2_
性
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝
由 解又 又 故题 得因 双 所双 ∴意为 曲 求a曲λ＝2，线 双＝线 a142得过 曲94＋，过，点 线b所点ba2b－＝＝的(2以(a＝3－23(43方双24，232.－， 程所,曲52)为2以2线2)3，，b1)x双方，232所2所－曲程2∴以＝以y线8为21－＝a， 的3x2994＝3a21－方22.21－y22程4－ 2，＝为2b4b11226x9＝3.＝2－218＝.y.42λ＝，1. 4
考点二 渐近线与离心率问题常考常新型考点——多角探明
3．若方程
x2 |k|－2
＋
y2 5－k
＝1表示双曲线，则实数k
的取值范围是________． 解析：要使方程|k|x－2 2＋5－y2 k＝1 表示双曲线，
需|5k－|－k2<>00， 或|5k－|－k2><00，， 解得 k>5 或－2<k<2. 答案：(－2,2)∪(5，＋∞)
考点一 双曲线的定义及标准方程基础送分型考点——自主练透
线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于________． 解析：由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以 P 点在双 曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1| ＋8＝17. 答案：17
2．已知点M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|－|PN| ＝2 2，则动点P的轨迹方程为________． 解析：依题意，点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的 右支，又因为 M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝2 2.所以 c ＝2，a＝ 2，所以所求方程为：x22－y22＝1(x≥ 2)，即 x2 －y2＝2(x≥ 2)． 答案：x2－y2＝2(x≥ 2)
2．根据下列条件，求双曲线方程．
(1)与双曲线
x2 9
－
y2 16
＝1有共同的渐近线，且过点(－3，
2 3)；
(2)与双曲线1x62－y42＝1有公共焦点，且过点(3 2，2)．
解(2)：设法(双二1)法曲：一线设：方双设程曲双为线a曲x方22－线程yb的为22＝方x921－程.由1为y题62 ＝xa意22－λ易. by22求＝得1，c＝2 5.
解析：依题意可得4m－<0m，>0， 解得m<0. 答案：(－∞，0)
1．双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝ |F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞ |F1F2|，则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误 认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同． 若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1， 2)； 若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝ 2； 若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈( 2，＋∞)．
第六节 双 曲 线
1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：
(1)在平面内； (2)与两定点F1，F2的距离的 差的绝对值 等于非零常数； (3)非零常数 小于 |F1F2|.
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ya22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
[谨记通法] 双曲线定义及标准方程问题求解中的 2 个注意点 (1)应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何 条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且 该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉， 点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用，如“题 组练透”第 1 题． (2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意 a，b，c 的关系易错易混．
图形
标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ya22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 性 质
顶点
渐近线
对称轴：_坐__标__轴__ 对称中心：_原__点__
顶点坐标： A1(－a,0) ，A2__(a_,_0_)
y＝±bax
质
_2_a_；
实虚轴
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ _2_b_；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半
轴长
[小题体验] 1．(教材习题改编)双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是
________． 解析：由题意知y22－x22＝1，y＝±x. 答案：y＝±x
2．设F1，F2分别是双曲线x2－
ຫໍສະໝຸດ Baidu 3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的 a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.
4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当 焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上， 渐近线斜率为±ab.
[小题纠偏] 1．设 P 是双曲线1x62－2y02 ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲
[题组练透]
1．(易错题)(2016·苏州模拟)已知双曲线x2－
y2 24
＝1的两个
焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝
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|PF2|，则△F1PF2的面积为________．
解析：由双曲线的定义可得 |PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2， 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形， 因此S PF1F2 ＝12|PF1|×|PF2|＝24. 答案：24