常见的分布函数

(1)X～B(1，p)；(2)X服从参数为 的指数分布；(3)X服从(0， )( >0)上的均匀分布。
分析:解此类题先写出总体X的分布律（或概率密度）；再由Xi与X有相同的分布以及Xi之间的相互独立性，由式（6.1），（6.2）即可写出样本(X1，X2，…，Xn)的联合分布律或联合概率密度。
解:（1）因为总体分布律为
于是
样本 的联合分布律为:
(2)因为总体概率密度函数为：
所以，每一个样本 的概率密度为：
故样本 的联合概率密度为：
（3）因为总体概率密度函数为：
所以样本Xi的概率密度为
故，样本 的联合概率密度为：
例2．设X～N( )，(X1，X2，X3)为来自总体X的一个样本。试求样本(X1，X2，X3)的联合概率密度和样本均值 的概率密度函数。
例13．设总体X～N( )。现抽取容量为9的样本，得到 ，问 是多少？
解：
而 服从自由度为n-1=8的t分布，又由于t分布的对称性，有
令 ，查表知 ，由插值可求得 ，即 。
注： 本题的关键是寻找含有统计量 的分布。由于2未知，故不能用 来解题，但S已知，由（6.8）式得 ，于是由t分布临界值的定义即可顺利求得相应的概率。
5．F分布设 ， ，且X，Y相互独立，则称随机变量
所服从的分布是自由度为m，n的F分布，简记为F～F(m，n)。
6．F分布的性质
(1)若 则
(2)
(2)若F～F(m，n)，则 。
7．临界值
(1)标准正态分布的临界值设X～N(0，1)，对给定的正数 ，若存在实数 满足
则称点 为标准正态分布X的 临界值(或称上 分位点或分位数)。
(3)t分布的临界值设T～t(n)，概率密度为f(x)。对给定的 (0＜ ＜1 。若存在实数 满足
则称点 为t分布的 临界值。已知n， ，通过查t分布表可求得 。
注：1)类似标准正态分布临界值的性质，对t分布亦有： ；
2)当n＞45时，可用正态分布近似 。
(4)F分布的临界值设F～F(m，n)，概率密度为f(x)。对给定的 (0＜ ＜1 ，若存在实数 (m，n)满足
6.2.2样本分布
1频率分布
设样本值(x1，x2，…，xn)中不同的数值是x1*，x2*，…，xl*，记相应的频数分别为n1，n2，…，nl，其中x1*<x2*<…<xl*且 。则样本的频数分布及频率分布可由表6-1给出。
表6-1
指标X
x1*
x2*
…
xl*
频数ni
n1
n2
…
nl
频率
…
2经验分布函数
定义设(X1，X2，…，Xn)为总体X的一个样本，其样本值为(x1，x2，…，xn)，则称函数
(2)样本方差 。
(3)样本标准差 。
(4)样本k阶原点矩 。
(5)样本k阶中心矩 。
3样本矩与总体矩的关系
由样本的独立性及与总体同分布这一特性出发，运用数字特征的运算法则，可得：若总体X的期望、方差存在，即 ， ，又（X1，X2，…，Xn)是取自总体X的一个样本，则
， ； ， 。（6.4）
上述结论无论总体服从什么样的分布都正确，故它是计算任意总体，特别是非正态总体的样本均值 和样本方差 的期望、方差的常用结论。
1) ～N(0，1)；(6.9)
2) ～F(n1－1，n2－1)；(6.10)
3)当 时，有
～t(n1+n2－2)；(6.11)
其中 ， ， 。
6.3典型例题分析
已知总体，求样本的联合分布
例1.设(X1，X2，…，Xn)是取自总体X的一个样本。试在下列三种情况下，分别写出样本(X1，X2，…，Xn)的联合分布律或联合概率密度。
*例11从正态总体 中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多少？
Z
1.28
1.645
1.96
2.33
(z)
0.900
0.950
0.975
0.990
解：设正态总体为X，则 ，从而由(6.5)式得
所以
即 。由此可得 ，即n(1.963)234.57,故n至少应取35。
注：本题解答看似简单，但本章所学的三个分布都涉及到。因而了解证明过程中每一步的来龙去脉，对于熟悉、掌握有关随机变量及其分布是一项基础性训练。
例8．设(X1，X2，…，Xn)是来自正态总体N(0，1)的样本。试求统计量 (m<n)的抽样分布。
解因为
所以 ,故
同理
于是
例9．设(X1，…，X5)是来自正态总体N( )的一个样本。试证：
解:
解法1 令
则
欲使 ，就必须使 ，由于
于是
令 ，则 ，此时 。
解法2由于 且相互独立，则
从而
所以
为使
必须使
同上面两个服从正态分布的随机变量比较可知
即 。
注:本题虽用了两种不同的解法，但目的相同且明确，即由 分布的定义并由构成的特点，应选择恰当的a,b使恰为两个标准正态分布的平方和。
*例6设 是来自正态总体X 的一个简单随机样本，
4样本的联合分布
若总体X具有分布函数F(x)，则样本(X1，X2，…，Xn)的联合分布函数为
若总体X为连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则样本的联合概率密度为
(6.1)
若总体X为离散型随机变量，其分布律为P{X=ai}=pi(i=1，2，…n)，则样本的联合分布为
(6.2)
其中 为 的任一组可能的观察值。
，于是 ，故 ，
解法二
故
（2） ，
又X的频率分布表为
指标X
1
2
3
4
5
6
8
频数ni
1
1
2
3
1
1
1
频率
1/10
1/10
2/10
3/10
1/10
1/10
1/10
所以，经验分布函数为
注:（1）解法一直接运用样本矩与总体矩之间的关系，即（6.4）式求得；
解法二运用样本与总体同分布的特性及数字特征的运算法则求得。
例12．设X1，X2，…，Xn为相互独立且分别服从正态分布N( )的随机变量。设
证明： ～ 。特别地，若 ～N( )i=1，2，…，n，则 ～ 。
证明 相互独立
故
同理可证若 ～N( )i=1，2，…，n，则 ～ 。
注： 本例说明n个相互独立正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布。特殊情形：若取 ，则结论正是正态总体下样本均值的分布（6.5）式。该题结果可作为一般结论直接引用。
例14设 是来自总体X的随机样本，求下列概率。
（1）
（2）
解（1）由内容提要6.2.5知
0.98-0.02=0.96
（2）利用（6.7）式得
注： 本题关键是要注意 这两个统计量的差异。它们虽然都服从 分布，但由于 与 的不同使其自由度也不同。查表时，上述两个随机变量的自由度分别是10和9。同例10由于是反查表，得到的仍是近似值。
解:由于
故
又因为 ，所以， 的概率密度函数为：
注：此题用到结论：若 ，则 。这一结果有十分广泛的应用。
例3.设总体服从泊松分布 ， 是来自总体的简单随机样本
（1）计算 ；
（2）若容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8），试计算样本均值，样本方差和经验分布函数。
解:（1）解法一由（6.4）式，因为
本题（2）的解答用到了中心极限定理。由中心极限定理可得，不论总体服从什么分布，只要知道总体的数学期望 ，方差 ，则样本均值 的渐近分布就为正态分布 。即
由此可知
求样本均值落在某个区间内的概率，就可以利用上述结论近似计算，这是很重要的结论。
*例5设 是来自正态总体 的简单样本，且 则当 时，统计量服从2-分布，其自由度为（）。
服从自由度为n的 分布，简记为 ～ (n)。
2 分布的性质：
(1)设 ～ (n)，则 ,
(2)设 ， ，且Y1，Y2相互独立，则有
3．t分布设 ， ，且X，Y相互独立，则称随机变量
服从自由度为n的t分布，或称学生氏(Student)分布，简记为T～t(n)。
4．t分布的性质
(1)
(2) ；这里f(x)为t分布的概率密度函数。
（2）写经验分布函数，可先列出频率分布表，这样不至遗漏或出错。
例4设总体
为样本。试求：
（1） 数学期望与方差， 的数学期望；（2） 。
解:计算总体X的数学期望和方差
故（1） ，
。
（2）因为 ，所以
注：当总体的期望和方差不能直接写出时，要先求总体的期望和方差，再求样本均值 、样本方差 及样本二阶中心矩 的期望和方差。另外，要注意 与 之间的差异。由于 ，即 是总体方差的无偏估计，而 不是总体方差 的无偏估计，因此，一般都是以 作为方差 的估计量。但 ，故当样本容量很大时， 和 两者相差很小，此时亦可用 来估计总体方差 。因此，有时把 称为大样本方差，而 有的书上也称为样本修正方差。
6.2内容提要
6.2.1总体和样本
1总体和个体研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素称为个体。总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。
2样本从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。
3简单随机样本设X1，X2，…，Xn是来自总体X的容量为n的样本，如果这n个随机变量X1，X2，…，Xn相互独立且每个样品Xi与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本。
，
证明：统计量T服从自由度为2的t-分布.。
证明：由于 从而
所以
故
于是
又因为 ，且
从而 与 独立。于是由t分布的定义知
注：本题的关键是熟练掌握t分布的定义及正态总体下样本均值、样本方差的分布：
～N(0，1)， 。
例7．已知X～ 。证明 ～F(1，n)。
证明：因为 ,即 ,其中
，又 ,而
故由F-分布的定义知:
例15求总体N(20,3)的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。
解设两独立样本分别为X,Y，其样本均值分别为 ，则
由内容提要中（6.9）式知
即
故
注：以上各题（例11-15），是掌握正态总体下几种常用统计量分布的基础训练题。
6.2.5正态总体样本均值和样本方差的分布
1．设总体X～N( )，( )为样本， 为样本均值， 为样本方差
(1) ～ ，或 ～N(0，1)；(6.5)
(2) (6.6)
(3) (6.7)
(4)样本均值 与样本方差 相互独立；
(5) ～ (6.8)
2．设( )是取自总体X的一个样本，( )是取自总体Y的一个样本，且这两个样本相互独立，即假定 ， 是n1+n2个相互独立的随机变量。若总体X～N( )，Y～N( )，则有
(1)当 时， ～F(1，3)；
(2)当 时， ～t(3)。
解(1)
于是
由F-分布的定义，即得：
（2）据（1）的分析，
由t-分布的定义即得结论。
注：本题仍是关于F-分布和t-分布的基础训练题。
例10设 为总体 的一个样本，求 。
解：因为
于是 ，
由 分布临界值的定义，查表可知 ，故 。
注：本题由于出现了随机变量的平方和，故在寻找 的分布时自然想到 分布。但 分布中的 均服从N(0,1)，所以只要将此处的 标准化即可。由临界值的定义 ，一般查表是已知，找临界值 ，而此处则相反，是已知临界值 找，故得到的是近似值。
为样本值(xБайду номын сангаас，x2，…，xn)的经验分布函数。
若已知样本值(x1，x2，…，xn)的频数、频率分布表为
指标X
x1*
x2*
…
xl*
频数ni
n1
n2
…
nl
频率
…
则经验分布函数
(6.3)
6.2.3几个重要分布及临界值
1． 分布设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且Xi～N(0，1) (i=1，2，…，n)，则称随机变量
则称数 (m，n)为F分布的 临界值。注意公式
6.2.4统计量及样本矩
1．统计量设(X1，X2，…，Xn)为总体X的一个样本， (X1，X2，…，Xn)是X1，X2，…，Xn的函数，若 是连续函数且不含末知参数，则称 (X1，X2，…，Xn)是一个统计量。
2．几个常用的统计量——样本矩
(1)样本均值 。
6数理统计的基本概念
6.1基本要求
1理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。
2了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。
3了解2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。
4理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。了解正态总体的某些常用抽样分布。
由 ，若已知 ，可通过反查标准正态分布表，求出 临界值 。当 时，表中无法查出，此时查表 ，再由 可求得临界值 。
(2) 分布的临界值设 ，概率密度为f(x)。对给定的数 (0＜ ＜1)，若存在实数 满足
则称数 为 分布的 临界值。已知n， ，通过查 分布表可求得 。当n＞45时，可利用近似公式： 这里 是标准正态分布的临界值。