圆锥曲线——仿射变换

仿射变换
一、将坐标进行伸缩变换，实现化椭为圆
仿射变换定理一：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积22
a
b k k BC
AC -=⋅.
仿射变换定理二：b a S S ='（拉伸短轴）；a
b S S =''（压缩长轴）.
拉伸短轴后点的坐标变化：),
(),(00'
00y b a x A y x A →，横坐标不变，纵坐标拉伸b
a
倍. 斜率的变化：如图纵坐标拉伸了b a 倍，故k b
a k ='
，由于1''''-=⋅C B C A k k .
22''''a b k a b k a b k k C B C A BC
AC -=⋅=⋅，'''C B A ABC S a
b
S ∆∆=（水平宽不变，铅垂高缩小）. 压缩长轴后点的坐标变化：),(
),(00'
00y x a b A y x A →，纵坐标不变，横坐标缩小a
b
倍. 斜率的变化：如图横坐标缩小了a b 倍，故k b
a k ='
，由于1''''-=⋅C B C A k k .
22''''a b k a b k a b k k C B C A BC
AC -=⋅=⋅，'''C B A ABC S b
a
S ∆∆=（水平宽扩大，铅垂高不变）. 例1（2013·新课标）椭圆13
4:2
2=+y x C 的左、右顶点分别为21A A 、，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]1,2--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）
A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,21；
B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,83；
C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21；
D. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,43.
例2（2016·北京）已知椭圆1:22
22=+b
y a x C 过点)1,0(),0,2(B A 两点.
（1）求椭圆C 的方程及离心率；
（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.
例3（2014·新课标Ⅰ）已知点)2,0(-A ，椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 离心率为23，F 是椭圆的右
焦点，直线AF 的斜率为3
3
2，O 为坐标原点. （1）求E 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与E 相交于Q P 、OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.
二、椭圆的角平分线定理
仿射变换定理三：若点B A ,是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的点，AB 与椭圆长轴交点为N ，在长轴上
一定存在一个点M ，当且仅当2
a x x N M =⋅时，BMN AMN ∠=∠，即长轴为角平分线.
若点B A ,是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的点，AB 与椭圆短轴交点为N ，在短轴上一定存在一个点M ，
当且仅当2
b y y N M =⋅时，BMN AMN ∠=∠，即短轴为角平分线.
例4（2018·全国卷Ⅰ）设椭圆12
:22
=+y x C 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于B A ,两点，点M 的坐标为)0,2(.
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMB OMA ∠=∠.
三、放射变换后圆心角为直角问题
仿射变换定理四：若以椭圆12222=+b y a x 的对称中心引出两条直线交椭圆于B A ,两点，且22
a
b k k OB OA -=⋅，
则经过仿射变换后1''-=⋅OB OA k k ，所以AOB S ∆为定值.
仿射变换定理五：若椭圆12222=+b y a x 上三点M B A ,,，满足①22a b k k OB OA -=⋅；②2
ab
S AOB =∆；③
))2
,0((,cos sin π
ααα∈⋅+⋅=OB OA OM 例5（2011·山东）已知直线l 与椭圆12
3:2
2=+y x C 交于),(),,(2211y x Q y x P 两不同点，且OPQ ∆的面积2
6
=
∆OPQ S ，其中O 为坐标原点. （1）证明2
22
1x x +和2
22
1y y +均为定值；
（2）设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM ⋅的最大值；
（3）椭圆C 上是否存在点G E D ,,，使得2
6
===∆∆OEG ODG ODE S S S ？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由.
例6（2016·浙江二模）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点)5
4
,56(，其离心率为23，设M
B A ,,
是椭圆C 上的三点，且满足))2
,0((,sin cos π
ααα∈⋅+⋅=OB OA OM ，其中O 为坐标原点.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）证明：OAB ∆的面积是一个常数.
四、中点弦与中垂线问题（无需点差法也可证明） 仿射变换定理六：中点弦问题，22a b k k AB
OP -=⋅；中垂线问题，2
2
a b k k MP OP =
，且20220,b y c y a x c x N M ==. 拓展1：椭圆内接ABC ∆中，若原点O 为重心，则仿射后一定得到'
'
C OB ∆为
120的等腰三角形；'
''C B A ∆为等边三角形.
拓展2：椭圆内接的平行四边形OAPB ，B P A ,,在椭圆上，则仿射后一定得到菱形'
''B P OA .
例7（2015·新课标Ⅱ）已知椭圆)0(9:2
22>=+m y x C ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点B A ,，线段AB 的中点为M .
（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点),3
(
m m
，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.
例82015·浙江）已知椭圆1222=+y x 上两个不同的点B A ,关于直线2
1
+=mx y 对称. （1）求实数m 的取值范围；
（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）.
五、利用仿射变换解决椭圆与圆结合的面积问题
若椭圆内含有圆与直线相切，如图直线AB 与圆相切于P ，交椭圆122
22=+b
y a x 于点B A ,，求OAB S ∆的最
大值.
首先进行仿射变换：
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
+
2
2
2
2
2
2
2
1
r
y
x
b
y
a
x
，令
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
+
⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
2
2
2'
2
2'
2
2'
2'
'
'
r
a
y
b
x
a
y
x
y
b
a
y
x
x
，拉伸后可知，
'
'OB
A
AOB
S
a
b
S
∆
∆
=，故当'
'
2sin
2
1
'
'OB
A
a
S
OB
A
∠
=
∆
最大时，
90
'
'=
∠OB
A，关键在于看'
'OB
A
∠的取值范围；
根据几何性质，'
'B
A平行于x轴时，α
=
∠'
'OB
A最小，''B
A平行于y轴时，β
=
∠'
'OB
A最大.
例9（2018·武汉模拟）已知椭圆)0
(1
:
2
2
2
2
>
=
+b
a
b
y
a
x
C的右焦点为)0,2
(，离心率为
3
6
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C相交于B
A,两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；
（3）在（2）的条件下，求OAB
∆面积的最大值.
例10（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点)
2
1
,3
(，焦点)0,3
(
),0,3
(
2
1
F
F-，
圆的直径为
2
1
F
F.
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，若OAB ∆的面积为
7
6
2，求直线l 的方程.
六、定比分点和弦长公式
仿射变换定理七：定比分点的比值不变性原理，C
B A
C C B A C y y y y x x x x B C C A B C C A CB
AC --=--=
=
==
'
''''''''
'''λ.
仿射变换定理八：弦长公式的转化，纵向拉伸并不改变横向的性质，设,(),,(2211y x B y x A ，则
2122212
'
'212
)(111x x k b a x x k B A x x k AB -+=-+=⇒-+=，即2
22
'')(11k b
a k B
A AB
++=
.
例11（2011·重庆）如图，椭圆O 的中心为原点，离心率2
2
=e
，一条准线的方程是22=x . （1）求椭圆的标准方程；
（2）设动点P 满足ON OM OP 2+=，其中N M 、是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为2
1-
，问：是否存在定点，使得PF 与点P 到直线102:x l 的距离之比为定值；若存在，求点F 的坐标，若不存在，说明理由.
例12（2016·四川）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三
个顶点，直线3:+-=x y l 与椭圆有且只有一个公共点T . （1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（2）设O 是坐标原点，直线'
l 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点B A 、，且与直线l 交于点P . 求证：存在常数λ，使得PB PA PT ⋅=λ2，并求λ的值.
例13（2016·重庆模拟）椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，作直线l 交椭圆于Q P ,两点，M 为线段PQ 的
中点，O 为坐标原点，设直线l 的斜率为1k ，直线OM 的斜率为2k ，3
221-=k k . （1）求椭圆C 的离心率；
（2）设直线l 与x 轴交于点)0,5(-D ，且满足DQ DP 2=，当OPQ ∆的面积最大时，求椭圆C 的方程.
达标训练
1（2018·三明期末）设椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x M 的离心率为2，且内切于圆42
2=+y x .
（1）求椭圆M 的方程； （2）若直线m x y +=2交椭圆于两点，椭圆上一点)2,1(P ，求PAB ∆面积的最大值.
2（2018·龙海期末）已知点)2,0(A ，椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的离心率为23，F 是椭圆E 的右
焦点，直线AF 的斜率为3
3
2，O 是坐标原点. （1）求E 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与E 相交于Q P ,两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程.
3. 如图，已知C B A 、、是长轴为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且
0=⋅BC AC AC BC =
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什么位置关系？证明你的结论.
4（2016·佛山二模）已知点M 是圆4:2
2
=+y x C 上一动点，点D 是M 在x 轴上的投影，P 为线段MD 上一点，且与点Q 关于原点O 对称，满足OD OM QP +=. （1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）过点P 做E 的切线l 与圆C 相交于B A ,两点，当QAB ∆面积取最大值时，求l 的方程.
5（2018·株洲期末）椭圆
14
162
2=+y x 上的两点B A 、关于直线0322=--y x 对称，则弦AB 的中点坐标为（ ）
A. )21,1(-；
B. )1,21(-；
C. )2,21(；
D. )2
1,2(.
6（2016·兰州模拟）已知椭圆C 的焦点坐标是)0,1()0,1(2F F 、-，过点2F 垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于D B 、两点，且3=BD . （1）求椭圆C 的方程；
（2）过定点)2,0(P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于不同两点N M 、，试判断：在x 轴上是否存在点
)0,(m A ，使得以AN AM ,为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请
说明理由.
7（2018·抚顺模拟）已知离心率为2
1
的椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，右焦点在椭圆上的点的距离的
最大值为3.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设点B A ,是椭圆C 上的两个动点，直线OB OA ,与椭圆的另一个交点分别为11,B A ，且直线OB OA ,的斜率之积等于4
3
-，问四边形11B ABA 的面积S 是否为定值？请说明理由.
8（2017·淮北一模）已知椭圆14
16:
2
21=+y x C ，直线)0(:1>+=m m kx y l 与圆1)1(:222=+-y x C 相切且与椭圆1C 交于B A ,两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为
3
4
，求m 的值； （2）过原点O 作1l 的平行线2l 交椭圆于D C ,两点，设CD AB λ=，求λ的最小值.
9（2012·山东）如图，椭圆)0(1:22
22>>=+a b
y a x M 的离心率为23，直线a x ±=和b y ±=所围成的
矩形ABCD 的面积为8.
（1）求椭圆M 的标准方程；
（2）设直线)(:R m m x y l ∈+=与椭圆M 有两个不同的交点Q P ,，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点
T S ,，求
ST
PQ 的最大值及取得最大值时m 的值.
10（2019·成都模拟）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的离心率为23，且以坐标原点为圆心，椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若一条不过原点的直线l 与椭圆相交于B A ,两点，设直线OB l OA ,,的斜率分别为21,,k k k ，且21,,k k k 恰好构成等比数列，求2
2
OB OA +的值.
11. 如图，已知椭圆C 的中心在原点O ，左焦点为)0,1(1-F ，左顶点为A ，且1F 为AO 的中点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若椭圆1C 的方程为)0(12222>>=+n m n y m x ，椭圆2C 的方程为)1,0(22
22≠>=+λλλ且n
y m x ，则称
椭圆2是椭圆1C 的λ倍相似椭圆，已知2C 是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆
2C 于两点N M ,，试求弦长MN 的最大值.
韧
天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。

11
12（2016·宁波二模）已知)0,3(),0,3(21F F -为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左右焦点，点P 在椭圆C 上，且21F PF ∆面积的最大值为3.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，OAB ∆的面积为1，),(R t s OB t OA s OG ∈+=，当点G 在椭圆C 上运动时，试问22t s +22.。