数学建模算法之整数规划
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max z rij xij ,
i 1 j 1 n n
z rij xij
i 1 j 1
n
n
的最大值。
n xij X j ( j 1, 2, …，m) i 1 m s.t. a j X j M , j 1 xij 0且为整数(i 1, 2, …, n) X j 0且为整数( j 1, 2, …, m)
1) 2) 3)
缺点 收敛速度慢。 误差具有概率性。 在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关。
1.4主要应用范围
蒙特卡罗方法所特有的优点，使得它的应用范围越来越广。它的主
要应用范围包括：粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空
技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面。随着科学技术的发 展，其应用范围将更加广泛。
蒙特卡罗方法在粒子输运问题中的应用范围主要包括：实验
核物理，反应堆物理，高能物理等方面。 蒙特卡罗方法在实验核物理中的应用范围主要包括：通量及 反应率，中子探测效率，光子探测效率，光子能量沉积谱及响应函 数，气体正比计数管反冲质子谱，多次散射与通量衰减修正等方面。
程序实现：指派问题（0-1规划）——————例6 蒙特卡洛算法——————求面积
（2）原线性规划有可行解但不是整数，则整数规划无可行解 例1. 原线性规划为
min z x1 x2 , s.t.2 x1 4 x2 5, x1 0, x2 0. 5 5 其最优实数解为x1 0, x2 , min z , 而对应的整数规划无可行解。 4 4
（3）原线性规划有可行解且存在整数，则整数规划有可行解，但最优解值变 差
引入0-1变量
1, 第i人做第j项工作 xij 0, 第i人不做第j项工作
上述指派问题的数学模型为
min c ij xij ,
i 1 j 1 n n
n xij 1, i 1, …, n, j 1 n s, t , xij 1, j 1, …, n, i 1 xij 0或1, i, j 1, …, n.
在这个问题中，所求解均是整数，初看起来，似
乎只要把已得到的带有分数或者小数的解的经过
舍入化整就可以了，实际上这常常是不行的，因
为化解后不见得是可行解，或虽是可行解但不一 定是最优解。这种求最优整数规划的问题就是整 数规划。
整数规划解的特点：
（1）原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致
二、整数规划的一般模型
max(min) Z c j x j
j 1 n
s.t.
a
j 1
n
ij
x j (, )bi
xj 0
i=1,2,……n j=1,2……m X1,x2……xn中部分或全部取整数
例题：设某企业有n个生产车间需要m 种资源，对于第i个生产车间分别利用 第j种资源 xij 进行生产,单位资源可以 获得利润为 rij（i=1,2……n;j=1,2……m). 若第j种资源的单位价格为 a j （j=1,2……m),该企业现有资金M元 。
分支定界法
1.1分支定界法的基本思想
max(min) z c j x j
j 1
n
max(min) z c j x j
j 1
n
n aij x j (, )bi (i 1, 2, …, m) j 1 x 0, x 为整数 (j=1,2,? ,n) j j
到问题B中，构成两个新的子问题B1和B2，求B1和B2的解
定界：对每一个子问题的求解结果，找出最优值最小者为新
的上界 ，从所有符合整数得约束条件的分枝中找出目标函 数值最大的为新下限
4）比较与剪枝：各分支问题的最优值同
比较，如
果其值小于 ，则这个分枝可以减掉，以后不再考虑。
如果其值大于
，且又不是A的可行解，则继续分枝，
j 1 n
n aij x j (, )bi (i 1, 2, …, m) j 1 x 0或1( j 1, 2, …, n) j
2、指派（或分配）问题
在生产管理上，总希望把人员最佳分配，以发挥其最大工作效率， 创造最大的价值。
例如：拟分配n人去做n项工作，每人做且仅做一项工作，若分 配第i人去做第j项工作，需花费 cij 单位时间，问应如何分配工作才能 使工人花费的总时间最少？ 容易看出，只需给出矩阵C=（ cij ），C为指派问题的系数矩阵。
*
返回（3），直到最后得到最优解使 z
z ，即
x j ( j 1, 2,…, n)
为最优解
四、0-1整数规划
1、0-1整数规划模型
如果整数线性规划问题的所有决策变量
xj
仅限于取0或1两
个值，则称此问题为0-1线性规划，简称为0-1规划。 0-1规划一般模型： max(min) z c j x j
上述指派问题的可行解可以用一个矩阵表示，其每行每 列均有且只有一个元素为一，其余元素均为0.
例：
百度文库
五、蒙特卡洛法—求解各种类型规划
1.1概论
蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，
由于科学技术的发展和电子计算机的发明 ，这种方法作为一种独立
的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙 特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。
min z x1 x2 ,
s.t.2 x1 4 x2 6, x1 0, x2 0. 3 3 其最优实数解为x1 0, x2 , min z 。 2 2 若限制为整数，得x1 =1，x2 1， min z 2.
三、整数规划解的求解方法
1、分支定界法 2、割平面法
它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比
较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以 解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。
1.2基本思想
当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量 的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过 某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变
* *
2）将 X *代入目标函数，其值记为 z ，并用观
察法找出A的一个可行解（整数解，不妨可
取 x j 0( j 1, 2,…, n) ），求的目标函数值（下 界值），记为 z ，则A的最优解记为 z * ，既 有
zz z
*
，转下一步
3）分枝：在问题B的最优解中任选一个不满足整数约束的变 量 x j b j ，附加两个整数不等式约束：x j b j 和x j b j 1
(A)
n aij x j (, )bi (i 1, 2, …, m) j 1 x 0, ( j 1, 2, …, n) j
(B)
将原问题A中整数约束去掉变为问题B，求出B的最优解
1.2分支界定法的一般步骤
1）将原整数规划问题A去掉所有的整数约束变为线性规划问题B, 用线性规划的方法求解问题B: ①问题B无可行解，则A也无可行解，停止； ②问题B有最优解 X ，并是A的可行解，则此解就是A的最优解， 结束； ③问题B有最优解 X ，但不是A的可行解，转下一步
1 gN N
g (r )
i 1 i
N
作为积分的估计值（近似值）。
例 y=x^2,y=12-x与x轴在第一象限围成一个曲边三角形。设计一个随机试
验，求该图形面积的近似值。
解 设计的随机试验思想如下：在矩形区域 0,12 0， 9 上产生服从均
匀分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形的频数，则曲边三
量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。
这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算 积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随 机变量ｇ(r)的数学期望
g g (r ) f (r )dr
0
通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用概率语言 来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1，r2，…，rN，）， 将相应的Ｎ个随机变量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值
整数规划
• • • • • 概论 整数规划的一般模型 整数规划解的求解方法 0-1规划解的模型与求解方法 蒙特卡洛法
一、概论
1.定义：数学规划中的变量（全部或部分）限制为整数时， 称为整数规划。例如，所求的解是机器的台数、人数、车 辆船只数等。 2.整数规划的分类 ①纯整数规划：全部决策变量都必须取整数的线性规划。 ②混合整数规划：决策变量中有一部分必须取整数，另一 部分可以不取整数的线性规划 ③0-1整数规划：决策变量只能取0或1的线性规划
角形的面积近似为上述矩形的面积乘以频率。
1.3蒙特卡洛法的特点
1) 2) 3) 4) 5) 6) 优点 能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。 受几何条件限制小。 收敛速度与问题的维数无关。 具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。 误差容易确定。 程序结构简单，易于实现。
试问该企业应购买多少第j种资源（总 量为 X j ），又如何分配给所属的n个 生产车间，使得总利润最大？
解 设决策变量为 （i=1,2……n;j=1,2……m)表示分配给第i
个车间第j种资源的资源量，均为非负整数，第j种资源的 需求总量 X j(j=1,2……m)也都为整数。 问题的目标函数 为总利润求
i 1 j 1 n n
z rij xij
i 1 j 1
n
n
的最大值。
n xij X j ( j 1, 2, …，m) i 1 m s.t. a j X j M , j 1 xij 0且为整数(i 1, 2, …, n) X j 0且为整数( j 1, 2, …, m)
1) 2) 3)
缺点 收敛速度慢。 误差具有概率性。 在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关。
1.4主要应用范围
蒙特卡罗方法所特有的优点，使得它的应用范围越来越广。它的主
要应用范围包括：粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空
技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面。随着科学技术的发 展，其应用范围将更加广泛。
蒙特卡罗方法在粒子输运问题中的应用范围主要包括：实验
核物理，反应堆物理，高能物理等方面。 蒙特卡罗方法在实验核物理中的应用范围主要包括：通量及 反应率，中子探测效率，光子探测效率，光子能量沉积谱及响应函 数，气体正比计数管反冲质子谱，多次散射与通量衰减修正等方面。
程序实现：指派问题（0-1规划）——————例6 蒙特卡洛算法——————求面积
（2）原线性规划有可行解但不是整数，则整数规划无可行解 例1. 原线性规划为
min z x1 x2 , s.t.2 x1 4 x2 5, x1 0, x2 0. 5 5 其最优实数解为x1 0, x2 , min z , 而对应的整数规划无可行解。 4 4
（3）原线性规划有可行解且存在整数，则整数规划有可行解，但最优解值变 差
引入0-1变量
1, 第i人做第j项工作 xij 0, 第i人不做第j项工作
上述指派问题的数学模型为
min c ij xij ,
i 1 j 1 n n
n xij 1, i 1, …, n, j 1 n s, t , xij 1, j 1, …, n, i 1 xij 0或1, i, j 1, …, n.
在这个问题中，所求解均是整数，初看起来，似
乎只要把已得到的带有分数或者小数的解的经过
舍入化整就可以了，实际上这常常是不行的，因
为化解后不见得是可行解，或虽是可行解但不一 定是最优解。这种求最优整数规划的问题就是整 数规划。
整数规划解的特点：
（1）原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致
二、整数规划的一般模型
max(min) Z c j x j
j 1 n
s.t.
a
j 1
n
ij
x j (, )bi
xj 0
i=1,2,……n j=1,2……m X1,x2……xn中部分或全部取整数
例题：设某企业有n个生产车间需要m 种资源，对于第i个生产车间分别利用 第j种资源 xij 进行生产,单位资源可以 获得利润为 rij（i=1,2……n;j=1,2……m). 若第j种资源的单位价格为 a j （j=1,2……m),该企业现有资金M元 。
分支定界法
1.1分支定界法的基本思想
max(min) z c j x j
j 1
n
max(min) z c j x j
j 1
n
n aij x j (, )bi (i 1, 2, …, m) j 1 x 0, x 为整数 (j=1,2,? ,n) j j
到问题B中，构成两个新的子问题B1和B2，求B1和B2的解
定界：对每一个子问题的求解结果，找出最优值最小者为新
的上界 ，从所有符合整数得约束条件的分枝中找出目标函 数值最大的为新下限
4）比较与剪枝：各分支问题的最优值同
比较，如
果其值小于 ，则这个分枝可以减掉，以后不再考虑。
如果其值大于
，且又不是A的可行解，则继续分枝，
j 1 n
n aij x j (, )bi (i 1, 2, …, m) j 1 x 0或1( j 1, 2, …, n) j
2、指派（或分配）问题
在生产管理上，总希望把人员最佳分配，以发挥其最大工作效率， 创造最大的价值。
例如：拟分配n人去做n项工作，每人做且仅做一项工作，若分 配第i人去做第j项工作，需花费 cij 单位时间，问应如何分配工作才能 使工人花费的总时间最少？ 容易看出，只需给出矩阵C=（ cij ），C为指派问题的系数矩阵。
*
返回（3），直到最后得到最优解使 z
z ，即
x j ( j 1, 2,…, n)
为最优解
四、0-1整数规划
1、0-1整数规划模型
如果整数线性规划问题的所有决策变量
xj
仅限于取0或1两
个值，则称此问题为0-1线性规划，简称为0-1规划。 0-1规划一般模型： max(min) z c j x j
上述指派问题的可行解可以用一个矩阵表示，其每行每 列均有且只有一个元素为一，其余元素均为0.
例：
百度文库
五、蒙特卡洛法—求解各种类型规划
1.1概论
蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，
由于科学技术的发展和电子计算机的发明 ，这种方法作为一种独立
的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙 特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。
min z x1 x2 ,
s.t.2 x1 4 x2 6, x1 0, x2 0. 3 3 其最优实数解为x1 0, x2 , min z 。 2 2 若限制为整数，得x1 =1，x2 1， min z 2.
三、整数规划解的求解方法
1、分支定界法 2、割平面法
它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比
较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以 解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。
1.2基本思想
当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量 的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过 某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变
* *
2）将 X *代入目标函数，其值记为 z ，并用观
察法找出A的一个可行解（整数解，不妨可
取 x j 0( j 1, 2,…, n) ），求的目标函数值（下 界值），记为 z ，则A的最优解记为 z * ，既 有
zz z
*
，转下一步
3）分枝：在问题B的最优解中任选一个不满足整数约束的变 量 x j b j ，附加两个整数不等式约束：x j b j 和x j b j 1
(A)
n aij x j (, )bi (i 1, 2, …, m) j 1 x 0, ( j 1, 2, …, n) j
(B)
将原问题A中整数约束去掉变为问题B，求出B的最优解
1.2分支界定法的一般步骤
1）将原整数规划问题A去掉所有的整数约束变为线性规划问题B, 用线性规划的方法求解问题B: ①问题B无可行解，则A也无可行解，停止； ②问题B有最优解 X ，并是A的可行解，则此解就是A的最优解， 结束； ③问题B有最优解 X ，但不是A的可行解，转下一步
1 gN N
g (r )
i 1 i
N
作为积分的估计值（近似值）。
例 y=x^2,y=12-x与x轴在第一象限围成一个曲边三角形。设计一个随机试
验，求该图形面积的近似值。
解 设计的随机试验思想如下：在矩形区域 0,12 0， 9 上产生服从均
匀分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形的频数，则曲边三
量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。
这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算 积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随 机变量ｇ(r)的数学期望
g g (r ) f (r )dr
0
通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用概率语言 来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1，r2，…，rN，）， 将相应的Ｎ个随机变量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值
整数规划
• • • • • 概论 整数规划的一般模型 整数规划解的求解方法 0-1规划解的模型与求解方法 蒙特卡洛法
一、概论
1.定义：数学规划中的变量（全部或部分）限制为整数时， 称为整数规划。例如，所求的解是机器的台数、人数、车 辆船只数等。 2.整数规划的分类 ①纯整数规划：全部决策变量都必须取整数的线性规划。 ②混合整数规划：决策变量中有一部分必须取整数，另一 部分可以不取整数的线性规划 ③0-1整数规划：决策变量只能取0或1的线性规划
角形的面积近似为上述矩形的面积乘以频率。
1.3蒙特卡洛法的特点
1) 2) 3) 4) 5) 6) 优点 能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。 受几何条件限制小。 收敛速度与问题的维数无关。 具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。 误差容易确定。 程序结构简单，易于实现。
试问该企业应购买多少第j种资源（总 量为 X j ），又如何分配给所属的n个 生产车间，使得总利润最大？
解 设决策变量为 （i=1,2……n;j=1,2……m)表示分配给第i
个车间第j种资源的资源量，均为非负整数，第j种资源的 需求总量 X j(j=1,2……m)也都为整数。 问题的目标函数 为总利润求