第9章信号分析与处理及其应用
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4.结构与设备的振动监测与故障诊断
利用谱分析技术，可以对各种结构和设备的振动进行状态监测与控制，并对设备进行故障诊断。在此，我们主要列举以下几个例子:
a.查找电机噪声源
b.监视机器的工作状态或作故障诊断
通过谱分析，可以对各种结构和设备的振动进行监视和控制，并对设备进行故障诊断。
5.查找各种振动源和噪声源
（3）故障诊断
用相关分析确定水管漏水部位。
二、谱分析的工程应用
近年来谱分析技术有了飞速的发展，越来越广泛地应用在各个工程领域中。下面介绍谱分析技术的应用情况.
1.各阶固有频率的识别
通过对结构物激振、冲击或工作状态测得的结构振动信号，经过功率谱或幅值谱分析，由谱图中的尖峰分量鉴别分析，可以求得结构自振频率。例如，通过对桥梁的梁和墩台的振动信号的谱分析，识别其自振频率。
实测与计算相结合，谱分析技术为结构动力学分析开辟了一条新的途径，为结构动力优化设计提供了有利条件。它在航天、航空、汽车和机床等领域已广泛应用，大大缩短了设计周期和提高了产品的可靠性。
一、相关分析及其应用
1．相关函数的数字估计
相关函数的数字估计有两种方法，一种是按样本的时间序列直接计算，另一种是先用FFT计算出样本函数的功率谱密度函数，再对功率谱密度作FFT逆变换，间接计算出相关函数。在此，介绍直接计算法。
时序 （n=0,1,2,…,N-1）在时间位移 处的自相关函数
时序 和 （n=0,1,2,…,N-1）在时间位移 处的互相关函数
X(n)表示在离散频率点f=nf0处的采样值，即X(n)=X(nf0), n=0,1,2,…(N-1)。n为频域离散值的序列号。
DFT对（式（9-5）和（9-6））可写成如下形式：
式中
式（9-10）的含义是：N个时域点与N个频域点相对应，每一频域点都要有N个时域点来求得。
DFT对（式（9-10）和（9-11））也可写成矩阵表示式。
3.机械系统和基础振动传递特性的分析
通过对机械系统或支承基础的幅、相频特性以及输入输出的相关函数分析，可以得到机械系统或支撑基础振动的传递特性，评定它们减振性能，为结构动力学分析提供依据。
旋转机械，如纸浆机，要求其基础必须有较好的减振作用，不使振动传给地面。通过传递函数分析，就可找出纸浆机工作时，由于基础的衰减作用，纸浆机各种频率的振动被基础衰减的程度。
所谓卷积定理，指的是：
设
则有
二．离散傅里叶变换的推导
推导图解见P225图9-2.
参看周期函数的复指数形式的傅里叶级数展开，
有（DFT）：
IDFT：
Ts为时域采样间隔；f0为频率分辨力，f0=1/T0；T0为时域截断长度，T0=NTs。信号被截断后再延拓为周期函数，周期为T0。
x(k)表示在离散时间点t=kTs处的采样值，即x(k)=x(kTs), k=0,1,2,…(N-1)。k为时域离散值的序列号。
信号分析方法有两大类：模拟量分析法（计算机时代以前用的多）
数字量分析法（计算机时代以来广泛采用）
例：模拟法相关。
20世纪信号分析领域最重大的进展：FFT(1965年)；小波分析。
FFT是1965年由美国人库利和图基提出的DFT的巧妙的快速算法。
§9-2离散傅里叶变换（DFT）
一．卷积定理
卷积：
可证明：
2.振型分析
求结构振型时，首先要在结构上合理地布置测点，然后通过对各测点振动位移的幅值谱，或功率谱和互谱分析，可获得结构振动的各阶振型。幅值谱或功率谱可以给出每个测点在各频率点上相应的幅值大小，而通过互谱则可建立起各测点与某特定参考点间相对的相位关系（也是各测点间的相对相位关系），这样就确定了结构在各阶振动频率下的振型，即各阶振型。
二、随机信号的自功率谱密度分析
自功率谱密度函数 是随机信号 在频域统计特性的一种描述。FFT只能取有限长的 来计算，因此 只是 的估计。对 的一段子样 ，其功率密度函数的估计值：
——式中 的共轭复数。
由单个子样 所得 估计的随机误差为100%，这是不容许的。为减少估计的随机误差，可用多段采样平滑的方法，该方法在 上取q个等长子样，分别对每段子样计算，得各 ，再相加后作平均，平均后的随机误差 。对某些要求较高的功率谱密度分析，子样数q需上百个。
值表示在 这一频率上， 对 的线性相关程度。
在 频率分量上:
若 完全由 所引起，则
若 与 完全线性无关，则
若 部分由 所致，则
相干函数必须用多段采样平滑计算，否则， 将全都为1
(参考：Wuyan)
9-5相关分析和谱分析的工程应用
相关分析和谱分析是当前工程测试中最广泛使用的工具之一，本节简要介绍它们在机电工程中的一些应用。
第九章信号分析与处理及其应用
§9-1概述
信号分析通常是指分析信号的类别、构成以及特征参数，主要涉及信号的表示和性质。本书的第三章（信号及其描述）即属于信号分析的内容。信号分析中的一个最基本的方法是：把频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析。信号的处理是指对信号进行某种加工变换或运算，如滤波、变换、调制/解调、增强、压缩、估计、识别等加工处理。广义的信号处理也把信号分析包括在内。
目前实现FFT主要有软件和硬件两种方法。FFT是功率谱、互谱、频率响应函数、相干函数等经典频域分析和许多相关分析方法的基础。
FFT的参数选择:
对一个连续信号作FFT，一般按以下步骤选取参数：
（1）估计 的截止频率 或按所需的最高频率对 作低通滤波。
（2）估计所需的频率分辨率 。由FFT得到的是离散频谱，相邻两谱线间的频率间隔 （即上节的频率分辨率 ）必须小于 ，才能分辨出 中相邻的两频率峰值。
6.谱分析技术在系统分析和响应计算中的应用
用系统输入与输出的互谱 和输入自谱 之比可得到系统的频率特性。
输入 经FFT分析可得到输入谱，用系统频率特性与输入谱相乘就得到输出响应谱，再经IFFT还可求得系统的时间响应。
同样，系统的频率特性 经IFFT得到脉冲响应函数 ，将 与输入信号 作卷积计算，即求得输出函数 。
（1）检测混有周期性确定信号的随机信号
（2）相关测速
利用互相关函数的性质，在间隔L处各放置一只传感器，同时记录某一状态的信号，将所测得的两个信号进行相关分析，确定互相关函数最大值时的 值，即可计算出运动物体的速度=L/ 。在不便直接测定运动物体速度的地方，如飞机、船舶、流体和气体等的运动速度，常用此分析方法测定运动速度。
复习提纲
9-4基于FFT的谱分析方法
实际的测试信号多为实函数。对实时序 ，其 对称于 这条谱线（ 为时间域采样间隔）。若只作谱分析（即不用 的结果作FFT逆变换），仅需取N条离散谱线的前一半即可。如N=1024个 ，其各类谱值的谱线数仅为512根，即k=0，1，…， 。
本节将讨论以下几种最常用的谱分析方法：
上两式中 --时移数。
相关函数离散值序列长度（m）要比原离散信号长度N短的多（一般短1/3）才有估计质量的意义。
2．相关分析的工程应用
相关分析可了解两个信号或同一信号在时移前后的关系。近二、三十年来，相关分析在力学、光学、声学、电子学、地震学、地质学和神经生理学等领域，都得到广泛的应用。下面介绍一些典型示例。
*本章的9-3，9-4，9-5节对检测技术、测试技术、信号分析与处理等专业人员来说很重要，是用计算机作数字信号处理和编程的基础，请对本学科感兴趣的同学参照第三章（信号及其描述）的知识和“信号分析与处理”或“数字信号分析与处理”类参考书进一步自学。
§9-3快速傅里叶变换（FFT）
DFT方法计算量太大，限制了应用。直到1965年，美国的Cooly和Turkey提出了一种快速计算DFT的算法。例如：由N个 计Байду номын сангаас出N个 ,当N=1024时，DFT的复数乘法次数约为105万次，Cooly和Turkey的复数乘法次数5120次，仅为DFT的1/200。人们称这种快速算法为快速傅里叶变换（FFT）。算法中，规定N取2的整数次幂，因此也称基2型FFT。
总结：
1.若难以估计 的截止频率 及所需的频率分辨率 ，可用较小的采样间隔 及较大的采样长度,先作FFT，按作出的FFT再修正 及N。
2.若 长度不够采N点数据，可在 后加零补足N点。
3.有一种细化（Zoom）FFT计算方法，可在完成FFT计算后，再将感兴趣的频段局部放大，增加该局部频段内的谱线数，提高频率分辨率。
三、互谱密度分析和频率特性分析
对采样长度N和采样间隔 都相同的两子样 和 ，它们的互谱
当 为输入， 为输出时，其频率特性
若 和 是随机信号， 和 均应是多段子样平滑后的估计值，因此 也是多段子样平滑后的估计值。
和 都是复函数，故也可用实频与虚频、幅频与相频来表示。
四、相干函数分析
相干函数亦称凝聚函数。对采样长度N和采样间隔 都相同的两子样 和 ，其中 为输入， 为输出，其相干函数
（3）由采样定理（ 或 ）确定采样频率 或采样间隔 。
（4）由 确定 的一个样本的最小采样点数（ ，最小采样长度 ）。计算式中， 为采样周期， 为频率分辨率。
（5）对基2型FFT（关于基2型FFT，请看参考书），按2的整数次幂( >N)圆整采样点数N，使N= 。
（6）选取适当的窗函数。
为了减少或抑制泄漏，需要用各种不同的窗函数（如矩形窗、汉宁（Hanning）窗、汉明(Hamming)窗、三角窗等）对时域信号进行加权处理。
三．离散傅里叶变换的几个重要问题
1.采样定理：对于带宽有限(频谱变化范围为0~fm)的连续信号进行采样，只有当采样频率 时，才不会在频率域产生混叠现象，才可在采样处理后仍有可能恢复其原信号波形。
2．信号经时域截断相当于乘以“矩形窗”，在频域上产生“泄漏”效应。采用适当的“窗函数”代替简单的“矩形窗”可使“泄漏”减少。
一、确定性信号的傅里叶谱
由 可知确定性信号的傅里叶谱 是复数，可以表示为如下几种形式：
1．实频特性与虚频特性
将 写成 的形式，有实频谱与虚频谱。
2．幅频特性与相频特性
将 写成 的形式。式中 和 分别为 的幅值与相位。
3.极坐标形式
将 视为极坐标中的一矢量，用该矢量端点随频率f变化的轨迹来表示 。该轨迹上各点综合反映了 的实频、虚频和幅频、相频信息。
3．时域的采样间隔决定了频域分析的频带宽度，即
时域截断长度决定了频域分析的谱线间隔——频率分辨力，即
4．为了用FFT法计算DFT,一般N取2的整数次方。
5．保持其它参数不变，增加采样点数N可提高频率分辨力。
6.由于采样、截断等固有特点，一般信号经DFT得到的频谱只能是“估计值”。存在着“混叠”、“泄漏”、“栅栏”等效应引起的误差。对随机信号而言，还存在着用“样本”去估计“总体”而必然存在的统计误差。
利用谱分析技术，可以对各种结构和设备的振动进行状态监测与控制，并对设备进行故障诊断。在此，我们主要列举以下几个例子:
a.查找电机噪声源
b.监视机器的工作状态或作故障诊断
通过谱分析，可以对各种结构和设备的振动进行监视和控制，并对设备进行故障诊断。
5.查找各种振动源和噪声源
（3）故障诊断
用相关分析确定水管漏水部位。
二、谱分析的工程应用
近年来谱分析技术有了飞速的发展，越来越广泛地应用在各个工程领域中。下面介绍谱分析技术的应用情况.
1.各阶固有频率的识别
通过对结构物激振、冲击或工作状态测得的结构振动信号，经过功率谱或幅值谱分析，由谱图中的尖峰分量鉴别分析，可以求得结构自振频率。例如，通过对桥梁的梁和墩台的振动信号的谱分析，识别其自振频率。
实测与计算相结合，谱分析技术为结构动力学分析开辟了一条新的途径，为结构动力优化设计提供了有利条件。它在航天、航空、汽车和机床等领域已广泛应用，大大缩短了设计周期和提高了产品的可靠性。
一、相关分析及其应用
1．相关函数的数字估计
相关函数的数字估计有两种方法，一种是按样本的时间序列直接计算，另一种是先用FFT计算出样本函数的功率谱密度函数，再对功率谱密度作FFT逆变换，间接计算出相关函数。在此，介绍直接计算法。
时序 （n=0,1,2,…,N-1）在时间位移 处的自相关函数
时序 和 （n=0,1,2,…,N-1）在时间位移 处的互相关函数
X(n)表示在离散频率点f=nf0处的采样值，即X(n)=X(nf0), n=0,1,2,…(N-1)。n为频域离散值的序列号。
DFT对（式（9-5）和（9-6））可写成如下形式：
式中
式（9-10）的含义是：N个时域点与N个频域点相对应，每一频域点都要有N个时域点来求得。
DFT对（式（9-10）和（9-11））也可写成矩阵表示式。
3.机械系统和基础振动传递特性的分析
通过对机械系统或支承基础的幅、相频特性以及输入输出的相关函数分析，可以得到机械系统或支撑基础振动的传递特性，评定它们减振性能，为结构动力学分析提供依据。
旋转机械，如纸浆机，要求其基础必须有较好的减振作用，不使振动传给地面。通过传递函数分析，就可找出纸浆机工作时，由于基础的衰减作用，纸浆机各种频率的振动被基础衰减的程度。
所谓卷积定理，指的是：
设
则有
二．离散傅里叶变换的推导
推导图解见P225图9-2.
参看周期函数的复指数形式的傅里叶级数展开，
有（DFT）：
IDFT：
Ts为时域采样间隔；f0为频率分辨力，f0=1/T0；T0为时域截断长度，T0=NTs。信号被截断后再延拓为周期函数，周期为T0。
x(k)表示在离散时间点t=kTs处的采样值，即x(k)=x(kTs), k=0,1,2,…(N-1)。k为时域离散值的序列号。
信号分析方法有两大类：模拟量分析法（计算机时代以前用的多）
数字量分析法（计算机时代以来广泛采用）
例：模拟法相关。
20世纪信号分析领域最重大的进展：FFT(1965年)；小波分析。
FFT是1965年由美国人库利和图基提出的DFT的巧妙的快速算法。
§9-2离散傅里叶变换（DFT）
一．卷积定理
卷积：
可证明：
2.振型分析
求结构振型时，首先要在结构上合理地布置测点，然后通过对各测点振动位移的幅值谱，或功率谱和互谱分析，可获得结构振动的各阶振型。幅值谱或功率谱可以给出每个测点在各频率点上相应的幅值大小，而通过互谱则可建立起各测点与某特定参考点间相对的相位关系（也是各测点间的相对相位关系），这样就确定了结构在各阶振动频率下的振型，即各阶振型。
二、随机信号的自功率谱密度分析
自功率谱密度函数 是随机信号 在频域统计特性的一种描述。FFT只能取有限长的 来计算，因此 只是 的估计。对 的一段子样 ，其功率密度函数的估计值：
——式中 的共轭复数。
由单个子样 所得 估计的随机误差为100%，这是不容许的。为减少估计的随机误差，可用多段采样平滑的方法，该方法在 上取q个等长子样，分别对每段子样计算，得各 ，再相加后作平均，平均后的随机误差 。对某些要求较高的功率谱密度分析，子样数q需上百个。
值表示在 这一频率上， 对 的线性相关程度。
在 频率分量上:
若 完全由 所引起，则
若 与 完全线性无关，则
若 部分由 所致，则
相干函数必须用多段采样平滑计算，否则， 将全都为1
(参考：Wuyan)
9-5相关分析和谱分析的工程应用
相关分析和谱分析是当前工程测试中最广泛使用的工具之一，本节简要介绍它们在机电工程中的一些应用。
第九章信号分析与处理及其应用
§9-1概述
信号分析通常是指分析信号的类别、构成以及特征参数，主要涉及信号的表示和性质。本书的第三章（信号及其描述）即属于信号分析的内容。信号分析中的一个最基本的方法是：把频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析。信号的处理是指对信号进行某种加工变换或运算，如滤波、变换、调制/解调、增强、压缩、估计、识别等加工处理。广义的信号处理也把信号分析包括在内。
目前实现FFT主要有软件和硬件两种方法。FFT是功率谱、互谱、频率响应函数、相干函数等经典频域分析和许多相关分析方法的基础。
FFT的参数选择:
对一个连续信号作FFT，一般按以下步骤选取参数：
（1）估计 的截止频率 或按所需的最高频率对 作低通滤波。
（2）估计所需的频率分辨率 。由FFT得到的是离散频谱，相邻两谱线间的频率间隔 （即上节的频率分辨率 ）必须小于 ，才能分辨出 中相邻的两频率峰值。
6.谱分析技术在系统分析和响应计算中的应用
用系统输入与输出的互谱 和输入自谱 之比可得到系统的频率特性。
输入 经FFT分析可得到输入谱，用系统频率特性与输入谱相乘就得到输出响应谱，再经IFFT还可求得系统的时间响应。
同样，系统的频率特性 经IFFT得到脉冲响应函数 ，将 与输入信号 作卷积计算，即求得输出函数 。
（1）检测混有周期性确定信号的随机信号
（2）相关测速
利用互相关函数的性质，在间隔L处各放置一只传感器，同时记录某一状态的信号，将所测得的两个信号进行相关分析，确定互相关函数最大值时的 值，即可计算出运动物体的速度=L/ 。在不便直接测定运动物体速度的地方，如飞机、船舶、流体和气体等的运动速度，常用此分析方法测定运动速度。
复习提纲
9-4基于FFT的谱分析方法
实际的测试信号多为实函数。对实时序 ，其 对称于 这条谱线（ 为时间域采样间隔）。若只作谱分析（即不用 的结果作FFT逆变换），仅需取N条离散谱线的前一半即可。如N=1024个 ，其各类谱值的谱线数仅为512根，即k=0，1，…， 。
本节将讨论以下几种最常用的谱分析方法：
上两式中 --时移数。
相关函数离散值序列长度（m）要比原离散信号长度N短的多（一般短1/3）才有估计质量的意义。
2．相关分析的工程应用
相关分析可了解两个信号或同一信号在时移前后的关系。近二、三十年来，相关分析在力学、光学、声学、电子学、地震学、地质学和神经生理学等领域，都得到广泛的应用。下面介绍一些典型示例。
*本章的9-3，9-4，9-5节对检测技术、测试技术、信号分析与处理等专业人员来说很重要，是用计算机作数字信号处理和编程的基础，请对本学科感兴趣的同学参照第三章（信号及其描述）的知识和“信号分析与处理”或“数字信号分析与处理”类参考书进一步自学。
§9-3快速傅里叶变换（FFT）
DFT方法计算量太大，限制了应用。直到1965年，美国的Cooly和Turkey提出了一种快速计算DFT的算法。例如：由N个 计Байду номын сангаас出N个 ,当N=1024时，DFT的复数乘法次数约为105万次，Cooly和Turkey的复数乘法次数5120次，仅为DFT的1/200。人们称这种快速算法为快速傅里叶变换（FFT）。算法中，规定N取2的整数次幂，因此也称基2型FFT。
总结：
1.若难以估计 的截止频率 及所需的频率分辨率 ，可用较小的采样间隔 及较大的采样长度,先作FFT，按作出的FFT再修正 及N。
2.若 长度不够采N点数据，可在 后加零补足N点。
3.有一种细化（Zoom）FFT计算方法，可在完成FFT计算后，再将感兴趣的频段局部放大，增加该局部频段内的谱线数，提高频率分辨率。
三、互谱密度分析和频率特性分析
对采样长度N和采样间隔 都相同的两子样 和 ，它们的互谱
当 为输入， 为输出时，其频率特性
若 和 是随机信号， 和 均应是多段子样平滑后的估计值，因此 也是多段子样平滑后的估计值。
和 都是复函数，故也可用实频与虚频、幅频与相频来表示。
四、相干函数分析
相干函数亦称凝聚函数。对采样长度N和采样间隔 都相同的两子样 和 ，其中 为输入， 为输出，其相干函数
（3）由采样定理（ 或 ）确定采样频率 或采样间隔 。
（4）由 确定 的一个样本的最小采样点数（ ，最小采样长度 ）。计算式中， 为采样周期， 为频率分辨率。
（5）对基2型FFT（关于基2型FFT，请看参考书），按2的整数次幂( >N)圆整采样点数N，使N= 。
（6）选取适当的窗函数。
为了减少或抑制泄漏，需要用各种不同的窗函数（如矩形窗、汉宁（Hanning）窗、汉明(Hamming)窗、三角窗等）对时域信号进行加权处理。
三．离散傅里叶变换的几个重要问题
1.采样定理：对于带宽有限(频谱变化范围为0~fm)的连续信号进行采样，只有当采样频率 时，才不会在频率域产生混叠现象，才可在采样处理后仍有可能恢复其原信号波形。
2．信号经时域截断相当于乘以“矩形窗”，在频域上产生“泄漏”效应。采用适当的“窗函数”代替简单的“矩形窗”可使“泄漏”减少。
一、确定性信号的傅里叶谱
由 可知确定性信号的傅里叶谱 是复数，可以表示为如下几种形式：
1．实频特性与虚频特性
将 写成 的形式，有实频谱与虚频谱。
2．幅频特性与相频特性
将 写成 的形式。式中 和 分别为 的幅值与相位。
3.极坐标形式
将 视为极坐标中的一矢量，用该矢量端点随频率f变化的轨迹来表示 。该轨迹上各点综合反映了 的实频、虚频和幅频、相频信息。
3．时域的采样间隔决定了频域分析的频带宽度，即
时域截断长度决定了频域分析的谱线间隔——频率分辨力，即
4．为了用FFT法计算DFT,一般N取2的整数次方。
5．保持其它参数不变，增加采样点数N可提高频率分辨力。
6.由于采样、截断等固有特点，一般信号经DFT得到的频谱只能是“估计值”。存在着“混叠”、“泄漏”、“栅栏”等效应引起的误差。对随机信号而言，还存在着用“样本”去估计“总体”而必然存在的统计误差。