第7讲 高斯光束的聚焦和准直

0 ' 0
高斯光束经过均匀介质块后，光束发散角 不发生变化。
例题
入射高斯光束在介质块左侧界面处q参 数为q1：
0 2 q1 i l1
经过平面介质界面折射的传输矩阵为：
1 0 则进入介质块左侧界面的q 参数q2为： 2 1 0 q2 q1 i 0 l1
高斯光束束腰的变换关系式
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
束腰位置
(l F ) F 2 l' F 2 (l F )2 20 /
束腰半径
1 1 l 2 1 0 2 2 1 2 2 ' 0 0 F F
因此当l=0（即物方高斯光束的束腰位于透镜表面）时有 最小值： 0 0 '0 2 2 1 0 / 1 f / F
此时像方高斯光束束腰位置： 而束腰放大率：
F2 F l' F 1 F 2 20 / 2 1 F / f 2 F
0
0
2 f 1 F
0
F
l
7.2 高斯光束的聚焦
• 2、l一定时，ω’0随F的变化情况 由薄透镜变换公式： 1 1 l 2 1 0 2 1 l 2 1 f 2 1 2 2 1 2 ' 20 20 F F 0 F 0F 若要求ω0= ω’0，则
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
高斯光束束腰的变换规律
1 2 2 RC , Re 0 l ( F l ) 0 / qC 0 lC F 2 2 2 ( F l ) 0 / F 2 20 / q i 2 2 2 C ( F l ) / 0
7.2 高斯光束的聚焦
'0 • C、当 l=F 时，ω’0有极大值： F F 0 0 f
而且可以得出：l’= F，从ω’0的公式可以看出，只有在 F<f 时，才 有聚焦的作用。 • 综合以上三点的讨论，我们可以用下图来总结F为定值时ω’0随l变化 0 ' 的规律：
F 0
激光原理与技术·原理部分
第7讲 高斯光束的聚焦、准直
例题
– 如图，假设一高斯光束垂直入射到折射率为n的介质块 上，试问： – 1、在左图情况下，出射光束发散角为多大？ – 2、若将介质块的位置左移，使其左端面移至z=-l1处 （右图），若介质块足够长，使光束的光腰位于介质 块内，此时束腰大小和位置是多少？
2 0 2 2 0
0
L
0 '
l
q(0)
B lC q(A) q(B)
A
C q(C)
• 当C面取在像方束腰处，此时 页的方程联立可以求出：
1 RC , Re 0 qC
，由上一
l ( F l ) 20 / 2 0 lC F 2 2 2 ( F l ) 0 / 2 2 F 0 / q i 2 2 2 C ( F l ) / 0
1 1 0 2 l 2 f 2 1 l 2 l 2 2 1 2 2 2 2 ' 0 F f F 0 f F 0
F '0 0 l
可以得出结论，当物方高斯光束束腰远离透镜时， 距离l的增加以及焦距F的减小都会引起像方高斯 光束束腰半径的减小，即聚焦效果的增强。以上 的讨论都没有考虑透镜孔径引起的衍射效应。
– 在A面处： q( A) q 0 l
– 在C面处： q(C) q( B) lC
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
方法二：矩阵运算
0
L
0 '
C
l
q(0)
A
B
lC
C q(C)
q(A) q(B)
Aq1 B q2 Cq1 D
2 20 2 2 0 l(F l) F qC lC F i 2 20 2 20 2 (F l) (F l)
'0 1 k 1 2 0 1 f / F
7.2 高斯光束的聚焦
当l=0时，不论F为何值，都可以对高斯光束进行聚焦，且像 方束腰位置在其焦点以内；
F2 F l' F 1 F 2 20 / 2 1 F / f 2 F
1 1 l 2 1 0 2 2 1 2 2 ' 0 0 F F
7.2 高斯光束的聚焦
A、当l<F时，ω’0将随着l的减小而减小，
1 1 l 2 1 0 2 2 1 2 2 ' 0 0 F F
例题
入射高斯光束束腰位置处 q参数为q0，经过自由空间 l1后的q参数为q1，经过介 质块后出射的q参数为q2。
q1 q0 l1
故：
l 1 折射率为n的介质块的光纤传输矩阵为： 0 1
q2 q1
L

q0 l1
l2 l1

0 2 l2 l1 i l1
0
L
0 '
C F 0
q(0)
l
B C lC F q(C) q(A) q(B)
A
7.2 高斯光束的聚焦
– 高斯光束的聚焦，指的是通过适当的光学系统 减小像方高斯光束的束腰半径，从而达到对其 进行聚焦的目的。 – 1、F一定时，ω’0随着l变化的情况 我们将通过前面得到的高斯光束通过薄透镜变 换时束腰半径变换规律研究其规律：
F2 lF l' F lF lF
1 1 1 l' l F
几何光学薄透 镜成像公式
'0 F l' k 0 l F l
几何光学薄透 镜成像垂轴放 大率公式
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
不满足以上条件时，则不能套用几何光学的结论
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
透镜焦平面上的光斑大小
• 如果令 lC F ，可以利用前面的公式求出束腰的半径：
qC F (F l) F f i a ib 2 2 2 2 (F l) f (F l) f
2 2
其中：
1 a b 1 2 2 i 2 2 i 2 qC a b a b RC C
0
L
0 '
l
q(0)
B lC q(A) q(B)
A
C q(C)
(l F ) F 2 束腰位置 l ' lC F 2 2 2 ( l F ) / 0 2 2 1 1 l 1 0 Im 1/ qC 2 1 2 束腰半径 2 ' F F 0 0
传输到介质内部高斯光束束腰位置处的q参数q3：
0 2 q3 q2 l1 z i l1 l1 z
例题
由于q3是介质内部高斯光束束腰位置 处的q参数，因此：
0 '2 Im q3 i Re q 0 3
与前一页结果联立可知：
时，
'0
F 更进一步的，如果满足 l 时，有： (l )
(l F ) F 2 l' F l ' F 2 2 l 2 (l F ) 0 /
0
0 '
l F
l' F
7.2 高斯光束的聚焦
2 0 f 则： 若满足 l F 同时满足 l
0
0 '
焦距F越小，聚焦效果越好；
k
20 f 条件，则 '0 F , l ' F ，此时 如果进一步满足 F 0
'0 1 1 2 0 1 f / F
F
像方束腰位于透镜焦面上，而且聚焦效果随着F的减小而增强。
7.2 高斯光束的聚焦
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
高斯光束束腰的变换规律
2 l(F l) F qC lC F i 2 20 2 20 2 (F l) (F l)
0 '2 02 i源自文库i z 1 l 1
高斯光束入射到均匀介质中，其束腰半径不发生变化，束腰位置向右移动。
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
– 已知入射高斯光束束腰半径为ω0，束腰位置与透 镜的距离为l，透镜的焦距为F，各参数相互关系如 下图。
• 当 l F 时，可以求出 l ' F ， 此时物方、像方高斯光束 的束腰都位于焦点处。 • 当 l < F 时，l’仍为实数。 以上都与几何光学中的结论不相符。 束腰位置 束腰半径
(l F ) F 2 l ' lC F (l F )2 2 / 2 0 2 2 1 1 l 1 0 Im 1/ qC 2 1 2 2 ' F F 0 0
20 f F 2( F l ) a 2 2 ( F l ) f F2 f b 2 ( F l ) f2
1
2C
1 b f 0 2 Im 2 2 2 qC a b F F
l 2 f 2 1 1 F F
l 2 f 2 1 f 2 R(l ) F l 1 2l 2 l 2
高斯光束等相位面 曲率半径的定义
当ω0和l一定时， ω’0随F的变化规律如图所示： 1 从结果可知，l一定时，只有当满足条 件F
0
L
0 '
C
l
q(0)
A
B
lC
C q(C)
q(A) q(B)
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
方法一：分步计算
0
L
0 '
C
l
A
B
lC
C q(C)
– z=0处， – 在B面处：
q(0) q0 i 20 /
1 1 1 q( B) q( A) F
q(0)
q(A) q(B)
例题
出射高斯光束束腰位置位于 空气中z=z’处，此处q参数 为q0’ 2
0 ' q0 ' i
该高斯光束经过距离l’=l2-z’的自由空间传输到达z=l2处的q参数为：
q2 ' q0 ' l2 z '
q2 ' q2
0
0 '2 0 2
'
• B、当 l > F 时， ω0’ 随着l的增大而单调的减小，当 l F 由公式可以得出结论：
1 1 l 2 1 0 2 1 0 2 l 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 (l ) 2 ' 0 0 F F F 0 F