第讲指数式与指数函数

【互动探究】
3．对于函数 f(x)的定义域中任意的 x1，x2(x1≠x2)，有如下结 论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③fxx11－ －fx2x2<0； ④fx1x1－1<0x1≠0；⑤f(－x1)＝f1x1.当 f(x)＝12x 时，上述结论中正 确结论的序号是____________.
1.
a6b6
由于幂的运算性质都是以指数式的形式给出的， 所以对既有根式又有指数式的代数式进行化简时，要先将根式化
成指数式的形式，依据为 a
n m
＝m
an；如果题目是以根式的形式
给出的，则结果用根式的形式表示；如果题目是以分数指数幂的
形式给出的，则结果用分数指数幂的形式表示；结果不要同时含
有根号和分数指数幂．
答案：C
【互动探究】 2．函数 y＝x|xa|x(0<a<1)的图象的大致形状是( D )
考点 3 指数函数的性质及应用
例 3：函数 f(x)＝12(ax＋a－x)(a>0 且 a≠1)的图象经过点2，491. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明 f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
解析：(1)∵f(x)的图象过点2，491， ∴12(a2＋a－2)＝491，即 9a4－82a2＋9＝0. 解得 a2＝9 或 a2＝19. ∵a>0 且 a≠1，∴a＝3 或 a＝13. 当 a＝3 时，f(x)＝12(3x＋3－x)． 当 a＝13时，f(x)＝1213x＋13－x＝12(3x＋3－x)． ∴所求解析式为 f(x)＝12(3x＋3－x)．
【互动探究】
1．若
x>0，则(2x
1 4
＋3
3 2
)(2x
1 4
－3
3 2
)－4x
1 2
(x－x
1 2
)＝_－__2_3_.
考点2 指数函数的图象
例 2：偶函数 f(x)满足 f(x－1)＝f(x＋1)，且在 x∈[0,1]时，f(x)
＝x2，则关于
x
的方程
f(x)＝
1 10
x
在0，130上根的个数是(
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
4．指数函数的图象与性质 y＝ax(a>1)
图象
y＝ax(0<a<1)
定义域 值域
性质
R
(0，＋∞)
过点(0,1)，即 x＝0 时，y＝1
在 R 上是增函数
在 R 上是减函数
1．已知集合 M＝{－1,1}，N＝x∈Z12<2x＋1<4 ，则 M∩N
C．
(a
3 5
)
1 3
1
a5
13
1
D．(a3 )5 a5
4．方程 4x＋2x－2＝0 的解是___x=__0.
5．已知实数
x
满足
x
1 2
－
1
x2
＝1，则
x＋1x＝__3_.
考点1 指数幂运算
例1：计算：
2
(1)1.5
1 3
×－760＋80.25×
4
2＋(3
2×
3)6－
2 3
3
；
2
(a 3
b
)
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：由f(x－1)＝f(x＋1)知f(x)是周期为2 的偶函数，故当 x[－1,1]时，f(x)＝x2.
图D4
由周期为2可以画出图象如图D4，结合y＝
百度文库
1
x
10
的图象可
知，方程f(x)＝
1 x 10
在x∈
0，130
上有三个根，要注意在
x∈3，130内无解．
1
)
1 2
1
a2
1
b3
(2)
.
6 a b5
解题思路：根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算．
1
1
解析：(1)原式＝
2 3
3
×1＋(23)
1 4
×2
1 4
＋(2
1 3
×3
1 2
)6－
2 3
3
＝2
＋4×27＝110.
1 1 1 1
(2)原式＝ a
3b2 a2b3
15
＝a111 326
115
b2 3 6
＝( B ) A．{－1,1} C．{0}
B．{－1} D．{－1,0}
2．函数 y＝ax＋1(a＞0 且 a≠1)的图象必经过点( D )
A．(0,1)
B．(1,0)
C．(2,1)
D．(0,2)
3．对任意实数 a，下列等式正确的是( D )
21
1
A．(a 3 )2 a3
12
1
B．(a 2 )3 a3
∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．
因此 f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
我们所要研究的函数都是将一次函数、二次函数、 反比例函数、指数函数等通过加减乘除或者复合而成的． f(x)＝ 3x＋23－x可以看做 y＝32x与 y＝32－x相加而得到；也可通过 y＝12t＋1t ， t＝3x 复合而成．因此可利用复合函数的单调性判断 f(x)＝3x＋23－x的 单调区间．
(2)设 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝ 3x1
3 x1 2
3x2
3 x2 2
＝12(
3x1
－
3x2
)＋12·33xx21
3x1 3x2
＝12(
3x1
－
3x2
)
3x1 x2 3x1
x2
1
.
由 0≤x1<x2,3x1 －3x2 <0 且3x1x2 >1，
2．(1)正数的正分数指数幂的意义
a
m n
＝
n
am(a>0，m，n∈N*，且
n>1)．
(2)正数的负分数指数幂的意义
m
an
＝
1
m
an
＝ 1 (a>0，m，n∈N*，且 n am
n>1)．
(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．
3．有理指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
f(－x1)＝
1 2
x1
2
x1
＝ 1 ，故⑤成立． fx1
答案：①③④⑤
思想与方法
1．运用分类讨论的思想讨论指数函数的单调性 例题：(2011年上海)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a， b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0，判断函数 f(x)的单调性； (2)若 ab<0，求 f(x＋1)>f(x)时 x 的取值范围．
解析：因为
f(x)＝
1 2
x，f(x1＋x2)＝
1 2
x1 x2
＝
1 2
x1
·1 2
x2
＝f(x1)·f(x2)，
所以①成立，②不成立；
显然函数
f(x)＝
1 2
x
单调递减，即fxx11－ －fx2x2<0，故③成立；
当 x1<0 时，f(x1)>1，fx1x1－1<0，
当 x1>0 时，0<f(x1)<1，fx1x1－1<0，故④成立；
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
第1讲 指数式与指数函数
②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们是互为相反
数，这时，a 的 n 次方根可记作±n a；
③(n a)n＝a；
④当为奇数时，n an＝a；
当为偶数时，n an＝|a|＝a－a
a≥0 a<0 .
⑤0 的任何次方根仍是 0，记作n 0＝0； ⑥负数没有偶次方根．