勾股定理的方程思想.docx
【授课内容】勾股定理的方程思想
【适用年级】八年级上
【执教教师】宁波镇海蛟川书院滕丽
【教学目标】能根据勾股定理列方程，体会方程的思想方法。
【教学过程】
教学板块教师教学学生活动媒体插入揭示课题，师：同学们，我们已经学习了勾股定理。我们知道任意的一个幻灯片：明确任务直角三角形，它的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个勾股定理结论就称为勾股定理，即如果 a，b 为直角三角形的两条直角边
长， c 为斜边长，则a2b2c2。在直角三角中，如果已知
两边的长，利用勾股定理就可以求第三边的长；那么如果已知
一条边长及另两边的数量关系，能否求各边长呢？这就是今天
我们所要学习内容。
讲解例 1师：我们先来看一个简单的问题。读题思考幻灯片：
出示例1
例 1 在△ ABC 中，∠ C=Rt ∠ ,题目
(1) 如果 BC=16,AB:AC=5:3,求AB、AC的长.
(2) 如果 AC=5, AB=BC+1, 求 AB 、BC 的长 .
师：在第 (1) 小题中，已知了直角三角形ABC 的一条边BC 的
长及另两边的数量关系 : AB:AC=5:3 ，根据这个数量关系，可以
把 AB 设成 5x, AC 为 3x,根据勾股定理得BC2AC 2AB 2就
能列出含 x 的方程，从而求出 x 的值。下面我们一起来解答这个
小题。
解： (1)设 AB=5x,则AC=3x(x>0)
222
由勾股定理得16 +(3x) =(5x)
∵ x>0∴ x=4
∴AB=20,AC=12.
师:下面我们来看第 (2)小题 ,同学们你们会求吗 ?(停顿 )
师:是的。我们可以从 AB=BC+1 这个数量关系入手，设 BC= x,则 AB=x+1 ，根据勾股定理列方程。下面我们一起来解答这个出示解答过程
出示解答过程
小题。
(2) 设 BC= x,则AB=x+1 (x>0)
由勾股定理得x2+ 52=( x+1) 2
解得：x=12
∴ BC=12,AB=13.
师：我们总结一下步骤：出示流程在直角三角形中（已知两边的数量关系）图设其中一边为x利用勾股定理列方程
——
解方程求各边长
这就是我们今天所学习的《勾股定理的方程思想求边长》，你
掌握了吗？
讲解例 2师：我们再来看一个例子。请同学们先读一下题目。读题思考幻灯片：
A 出示例 2
例 2 如图，在 Rt△ABC 中，∠ C=900, AC=1 ，题目
E
BC=3. AB 的中垂线 DE 交 BC 于点 D, 连
结 AD ，求 AD 的长 .B D C
师：首先我们来分析一下条件.已知 AB 的中垂线 DE 交 BC 于
点 D,即 D 在线段 AB 的中垂线上，则有 AD=BD. 根据 BC=3 可依次出现
得到 BD+CD=AD+CD=3. 这个时候我们来看 Rt△ ACD ， AC 的两个结论
长已知，AD 、CD 满足和等于3，那么我们不妨设AD=x, 则 CD=3-
x，根据勾股定理列方程就可以求出AD 的长 .
师：好的，同学们理清思路了吗？我们一起来完成解答过程。
解：∵ D 在线段 AB 的中垂线上出示解答∴ AD=BD过程
∵ BC=3
∴ BD+CD=AD+CD=3
设 AD=x, 则 CD=3- x ，
由勾股定理得： x2= (3-x) 2+12
5
解得 : x=
3
5
∴ AD=
3
师：从这个例题我们可以看到在许多问题中，直角三角形某两
边的数量关系并不是条件直接给出的，而是通过条件推理得
到，在这种情况下，同学们要仔细分析条件，把数量关系都集
中到一个直角三角形中，就可以转化成例 1 中的类型了。
讲解例 3师：我们最后来看一个课本中的练习题，请同学们先读题目。读题思考幻灯片：
出示例 3例 3 在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方一题目
丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，始与岸齐，问水深、
葭长各几何？”这道题的意思是说：有一个边长为 1 丈的正方形
水池，在池的正中央长着一根
芦苇，芦苇露出水面 1 尺。若
将芦苇拉到池边中点处，芦苇
的顶端恰好到达水面。问水有
多深？芦苇多长？请解这道
题。
——
师：首先我们根据题意画出示意图。芦苇可以用线段示，其中 BD 表示露出水面的部分，拉动
D 芦苇后的位置用线段 AC 来表示。根据拉
动后芦苇的顶端恰好到达水面可以知B 道，若连结 BC，则有 BC⊥ AD. 根据题
意， BD=1 尺，BC=0.5 丈 =5 尺，特别地，
在芦苇拉动过程中长度不改变，即
AC=AD. 这个时候我们来看Rt△ ABC ，
BC 的长已知， AC 比 AB 长 1 尺，那么
A 我们不妨设 AB=x 尺 ,则 AC=(x+1) 尺，
根据勾股定理列方程就可以求出x 的值 .AD 来表
C出示示意
图
师：好的，同学们理清思路了吗？我们一起来完成解答过程。出示解答
解：设水深有 x 尺，则芦苇长 (x+1)尺。由题意，得过程x2+5 2=(x+1) 2
解得： x=12
答：水深 12 尺，芦苇长13 尺。
随堂解题师：刚才老师举了几个例子，同学们是否都掌握了呢？下面请
大家做一个随堂练习。
练习如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，学生读题出示练习
BC=8cm, 现将直角边沿直线AD 折叠，使点 C 落在斜边 AB解题
上的点 E，求 CD 的长 .
C
D
B E
A
师：请同学们先独立思考完成。（停顿）学生读题
解题
师：好 ,我们简单理一下思路：由折叠可知，AE ＝ AC ＝ 6cm，
CD ＝ DE, ∠ C= ∠AED=90 °。在Rt△ BDE 中， BE ＝ AB AE
10 6＝4cm, 而 BD+DE=BD+CD= BC=8cm, 这样我们可以从这个数量关系入手设未知数列方程。下面我们一起来看解答。
解：在 Rt△ ABC 中 , AC=6cm ， BC=8cm
∴AB=10cm
由折叠可知AE ＝AC ＝ 6cm， CD ＝DE,
∠C= ∠ AED=90 °
∴BE＝ 10-6＝ 4cm, ∠ BED=90 °
设CD ＝DE＝ xcm，则 BD ＝（ 8-x） cm
在Rt△BDE 中 ,由勾股定理可得（ 8-x ）2＝ x2+42
解得 x＝ 3出示解答过程
——∴ CD=DE=3cm
小结今天我们学习了已知直角三角形一边及另两边的数量关系求
各边长的这类问题，解决这类问题的关键是先从数量关系入手
设未知数，再根据勾股定理列方程，从而求出各边的长。同学
们你们学会了吗？