3.3等式与方程 课件6(北京课改版七年级上)

说明：1．“左边”、“右边”是定义过的概念，不要简写成 “左”、“右”，也不要写成“左端”、“右端”． 2．注意检验格式，体现出验证推理的过程，有些同学喜欢 这样写过程(以(2)小题为例) “把y=3分别代入方程的左边和右边， 得：3×3-5=10-2×3 4=4 ∴ y=3是方程3y-5=10-2y的解．” 上面的表达法实际上已经事先承认“左边等于右边”，这样 的验证过程是不能成立的，也是碰巧，若以(l)小题为例，就 会出现矛盾的表达方式． “把y=-l分别代入方程的左边和右边， 得：3×(-1)-5＝10-2×(-1) -8=12” “-8=12”显然是错误的，所以在学习过程中要格外留心这些 地方．
方程同解原理 1: 方程两边都加上 ( 或减去 ) 同 一个数或同一个整式，所得的方程与原方 程是同解方程．
方程同解原理 2: 方程两边都乘以 ( 或除以 ) 同 一个不等于0的数，所得方程与原方程是同 解方程．
例5、根据方程同解原理，说明下列两个方程是同 解方程． x （1）3x-5=x+11 （2） 1 0 8 解：方程(1)两边都减去x， 即2x-5=11(同解原理1) 方程两边都减去11， 得：2x-16=0(同解原理1) x 方程两边都除以16，即 1 0 （同解原理2） 8 从而得到了方程(2)， 所以方程(1)和(2)是同解方程．
1、什么叫等式？等式有多少种类型？ 课本通过我们熟悉的式子： 1+2=3． a+b=b+a， S=a+b 4+x=7． 告诉我们：像这种用等号“=”来 表示相等关系的式子，叫做等式．
(1)恒等式：如1+2=3，a+b=b+a，在字母 允许的取值范围内，不论等式中的字 母取任何数值，等式两边的值都相同 的等式．我们把它叫做恒等式． 一般的用字母表示的运算法则，公 式均属于这一类，如乘法分配律 m(a+b)=ma+mb， 去 括 号 法 则 a(b+c)=a-b-c等等．
2、检验下列各小题括号里的数是不是它 前面的方程的解：
1 2 (1)3 x x 4, (x -2, x - ) 2 3
( 2) x x 6 0, (x -2, x 3)
2
3、已知-1是关于x的方程x+3|a|=5-9x 的解，求a的值，并解出此时的方程 加以验证．
m m ( m 0)
2 1 1 [例2] 如何从等式 x 12 x 得 3 4 2
到x=-30
例 3 、运用等式的性质，求出下列等式中 字母x的值．
（1）5x-7=8 （2） 1 x 3 6 2
相同点：等式两边都是施以同一种运算， 等式两边都加上 ( 或减去 ) 、都乘以 ( 或 除以)同一个数． 不同点：①性质 1 等式两边可以都加同一 整式，而性质2不能实施； ②在等式两边只能乘、除同一个 数，而且此数不能等于零，性质 1 不受 零的限制．
定义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫 做方程的解。 ⑴“方程的解”和“解方程”中的“解”字有什么不 同？ “方程的解”中的“解”字是名词，表示能使 方程左右两边的值相等的未知数所取的数值．这样 的值可能有一个或多个，也可能没有，所以方程可 能有一解或多解也可能无解 ．而“解方程”中的 “解”字是动词，表示寻求方程的解或判定方程无 解的过程．
⑵“根”与“解”有什么关系？ 使方程左右两边的值相等的未知数的数值， 叫方程的解；只含有一个未知数的方程的解也 叫方程的根． ⑶同解方程和方程同解原理 如果两个方程的解相同，那么这两个方程，就叫 做同解方程． 例如：方程2x+1=19的解是x=9 方程2x=18的解也是x=9 那么这两个方程就是同解方程．
例4、下列各式中哪些是方程？是方程的指出 未知数． (l)2x-3=0； (2)35-27=5+3；
(3)15x2-7x+2； (4)3(x+y)=4；
1 2 （5）3x-1>0； （6） x 2 x 7 2 x 2 3 x 2
2 （7） 5 x
（8）y-1=1-y.
分析： 要判定一个式子是不是方程，主要从 以下两点入手：一是先看看是不是等式，第 二再看看等式中是否含有未知数． 解：(l)是方程，其中x是未知数； (2)不是方程； (3)不是方程； (4)是方程，其中x、y是未知数； (5)不是方程； (6)是方程，其中x是未知数； (7)是方程，其中x是未知数； (8)是方程，其中y是未知数．
(2) 条件等式．它只是在等式中的字母取 某些数值时才成立的等式．如 4+x=7， 只有当 x=3 时，等式左、右两边的值才 相等．这种等式我们把它叫做条件等 式． (3) 矛盾等式．它是指无论等式中的字母 取任何数值，等式的左、右两边的值都 不相等． 如a2+4=1，我们把它叫做矛盾等式．
（1）为什么不定义“用符号连结两个代数式所得 到的式子叫做等式”ห้องสมุดไป่ตู้？ 因为这是一个形式定义，它没有反映出等式 的实质。例如， x+1 是“绝对大于” x 的，但如 果承认“ x+1=x” 是等式或“矛盾等式”，逻辑 上是不合理的。再说，等式A=B的两边可以不是 代数式，比方可以是超越式、矩阵、命题等。 另外，“两个代数式”中的“两个”也不妥， 这样就会排除像“ a=b=c” 这样的连等式。而事 实上，所谓等式的“左端”“右端”，正是在 连等式中才有意义，例如上面连等式中，左端 为a，右端为c。
解：①、③、⑤、⑥是等式， ②、④是代数式． 说明：等式和代数式既有区别，又有 联系．首先等号是关系符号，而代 数式中只有运算符号，所以代数式 不是等式，但等式的左边和右边都 是代数式．
注意： ⑴等式与代数式不能混同．代数式不含 有等号，等式的左右两边才是代数式 (或其它式子)． ⑵代数式没有等号，所以公式和等式都 不是代数式；公式和等式有等号，它 们的两边是两个代数式；公式是等式， 但等式不一定是公式，如 3-5=-2 就是 等式，而非公式．
例9、根据下列条件，列出方程： (1)x的4倍加上3等于x的一半减去6； (2)y的 1 1 倍比它的相反数的 3 还多 3； 4 5 4 (3)x的20%与x的差比x的 2 少3.
3
例10、试根据下列条件列出方程： 3 (1)某数减去13是它的 ； 5 (2)甲、乙两数的和为12，甲数是乙数 的2倍少2．
还有其他性质．我们在初中阶段解方程或其它等式 变形中，常用的是课本上的这两个性质，同学们必须 很好地理解和掌握．但实际上，我们在后边的学习中 还会用到以下两条性质： ①若A=B，则B=A，这是等式的对称性． ②若A=B，B=C，则A=C，这是等式的传递性． 至于其它一些等式的性质，在不同的学习阶段，同 学们还要逐步学习．
(1) 方程、等式、代数式，这三者的定义是正确区分它 们的唯一标准； 表示相等关系的式子叫等式，等式的特征是式子 中含有“ =”号，而代数式不含“=”号，所以代数式 不是等式，等式可用来表示两个代数式之间的相等关 系，等式中“ = ”号两边的式子都是代数式，而代数 式是用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式 子．当不论用任何数值代替等式中的字母，其左右两 边的值总相等时，这样的等式叫恒等式，特别地，由 数字计算组成的等式都是恒等式，由此可见，等式不 一定是恒等式，但恒等式则一定是等式．
例 7 、已知： x=-4 是方程 m(x-1)=4x-m 的解，求m的值． 分析： 方程，左、右两边的值相等，所 以将x=-4代入方程后即可得到关于m 的方程，解方程即可求得m的值．
例8、填空：
1 1 （1）若方程| x m | 的解是 ，则 2 2 m=_______； (2)若方程3a+2=3(x+4)-4的解是-3， 则3a3-2a2+1的值的是______．
（2）为什么不把恒等式与等式分开定义呢？ 这是因为恒等式不一定与字母有关。
1 例如 0.5 ，实际是一个恒等式，我们也 2
不要求同学弄清这里该用“=”号还是“≡” 号。其次，如果一个恒等式中含有字母， 那么恒等概念依靠的是函数概念，显然， 对初一学生先讲函数是不合理的。所以， 在不少场合下，把“=”与“≡”两种符号 合并为“=”号，有一定的好处。
方程是含有未知数的等式．这就很 明确的说明了等式与方程的关系． 首先，方程一定是等式； 第二，方程中必须含有未知数，这两个 条件缺一不可． 也就是说，等式不一定是方程．如 1+2=3是等式，但它不是方程．
①如果方程恰是恒等式，则方程的解可以是任意的 有理数．如2x+3-x=x+3，它的解是x为任意有理数 ②如果方程恰是矛盾等式，则方程无解．如 2x2+1=0， 我们说这个方程无解． ③如果方程是条件等式，则方程的解是某个确定的 值，如4+x=7，x=3是这个方程的解．
（ 2 ）方程的解是一个数值 ( 或几个数 值)，它是使方程左、右两边的值相 等的未知数的值它是根据未知数与 已知数之间的相等关系确定的．而 解方程是指确定方程的解的过程， 是一个变形过程。
1、简答下列各题： (l)怎样从等式3a-2b=2，得到3a=2+2b？ (2)怎样从等式R+4=r+4，得到R=r？ (3) 如果 ma=mb，那么 a=b．这句话对吗？ 为什么？ (4) 如果 a=b，那么 ma=mb．这句话对吗？ 为什么？
例 6 、 检 验 下 列 各 数 是 不 是 方 程 3 y5=10-2y的解． (1)y=-1 (2)y=3 分析： 检验一个数是不是方程的解， 只要把这个数分别代入方程的左、右 两边，看看左右两边是否相等即可．
解：(1)把y=-1分别代入方程的左边和右边， 得：左边=3×(-1)-5=-8， 右边=10-2×(-1)=12 ∵ 左边≠右边 ∴ y=-1不是方程3y-5=10-2y的解 (2)把y=3分别代入方程的左边和右边， 得：左边=3×3-5=4， 右边=10-2×3=4． ∵ 左边=右边 ∴ y=3是方程3y-5=10-2y的解．
1 例1、某数的 2
比该数的
等式.
1 3
大7，列出
⑴等式有以下两条性质： 性质1：等式的两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式，所得的结果 仍是等式． 性质1:若a=b，则a+m=b+m． 性质2：等式两边都乘以(或除以)同一 个数 ( 除数不为零 ) ，所得的结果仍 是等式． 性质2 若a=b，则am=bm， . a b
1 、说出等式的意义，并能举出例子， 会区别等式与代数式；能说出等式的 两条性质，会利用它们将简单的等式 变形； 2、弄懂方程、方程的解、解方程的含义， 并会检验一个数是否是某个一元方程 的解； 3、培养观察、分析、概括的能力； 4、初步渗透特殊—一般—特殊的辩证唯 物主义思想．
指出下列式子中哪些是等式？哪些是代 数式？ ①a-b+c＝a-(b-c) ②a-b+c ③3-5=-2 ④2x-x-l ⑤2x-x-1=0 ⑥-2(x-1)=-2x+2
4、已知关于x的方程-2x2m-1+3=-5是一 元一次方程，求m的值，并解这个方 程．