绝对值不等式的证明

a a.
综上可知： a a a .
定理1： 如果a,b是实数，则 a b a b 当且仅当 ab 0 时，等号成立. （1）从向量的角度看： a, b 不共线时，
b a
ab a b
a, b 共线时，
ab a b
推论2
a b a b a b
试一试
（5）|a+b|-|a-b| ≤
|a+b|-|a-b|
≤
2|a| |a+b|+|a-b| 2|b| ≤ |a+b|+|a-b|
≤
1.若|a-c|<h , |b-c| <h ,则下列不等式一定成立的是（ A）
(A) |a-b|<2h
(B) |a-b|>h
D. x a b x x a b 3x
提示：
｜x-a｜+ | b-x|+|x-a-b|≥|x-a-b+x+x+a+b|=3|x|
定理应用
例1. 已知 x

3 6 求证 x 2 y 3z
,y

,z

9
,
例2 设
m, 0, x a

D. x y C. x y 2 2.若 a, b, c R ，则下列不等式一定成立的是 A. x a b x x a b 3 x
A
B. x a b x x a b 3 x C. x a b x x a b 3 x
课题：含有绝对值的不等式
问题
绝对值的定义:
a a 0 ; a 当 a R 时，则有： 0 a 0 ; a a 0 .
那么 a 与 a 及 a 的大小关系怎样？
问题
这需要讨论：
当 a 0时， a, a a ； a 当 a 0时， a a a ； 当 a 0时， a
[-1，1]
2.函数y=|x|-|x+3|的值域是 3.函数y=|x-2|-|x-3|的值域是
小结
本节课我们主要学习了以下主要内容 1.绝对值不等式基本定理以及其2个推论.
2.绝对值不等式基本定理的主要应用，特 别是在解决某些函数值域时更显优越性.
知识的建构
绝对值不 等式定理 绝对值不等式定理 的两个重要的推论 应用(证明不 等式,求值域
(C) |a-b|<h
(D) |a-b|>h
2. 已知 |a-c|<1 , 求证 |a|< |c|+1
提示：|a|= |a-c+c|≤|a-c|+|c|<1+|c|
推论：如果a,b,c是实数， 那么
a c a b b c
练习：1.若 x m , y m ,下列不等式中一定成立 的是（B ） B. x y 2 A. x y
︱|a|-|b|︱≤|a+b|≤|a|+|b|
推论 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 1 1 2 3
推抡1还可推广到 N , n 2的情形 n
a1 a2 a3 an a1 a2 a3 an
把定理中的b换为-b可变形为 |a|-|-b|≤|a-b| ≤|a|+|-b|
2
, y b

2
, a m, y m
求证： xy ab m
例2 已知函数y=|x|-|x-3| ,求函数的值域
解法1 :
利用函数法
3, y 2 x 3, 3,
x0 0 x3
y
3
x3
0
-3
3
x
通过图像观察函数的值域为[-3，3]
解法2
利用不等式法
2 2
2
ab
a b 2 a b
2 2
2 ab 0, ab ab , 则
a b a b 2ab

a b 2 a b
2 2
a b
2
ab
所以，a b a b ，当且仅当 ab 0
时，等号成立.
能否根据定理1的研究思想，探究
（1） a b 与 a b 之间的关系.
（2） a , b , a b 之间的关系.
定理2 如果a,b是实数，则
a b a b a b
前一个等号成立条件： ab
0
ab 后一个等号成立条件： 0
几何意义：三角形两边和大于第三边， 两边差小于第三边.
定理变式
｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜ 变形: 把定理中的a换为b,b换为a,定理可变式为 |b|-|a|≤|a+b| ≤|a|+|b| 变形:结合定理和变形又可变式为
由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其中 的不等式为绝对值不等式.
（2）从代数的角度进行证明：
a b (a b) 2 a 2 b 2 2ab
2
1 ab 0, ab ab , 则
a b a b 2ab
2 2
a b 2 a b
2 2

a b
由 | |x|-|x-3| |≤| x-(x-3) | =3得： -3≤|x|-|x-3|≤3
∴-3≤y≤3, 即y∈[-3,3]
1. A a

2
, B b

2
, 来自百度文库比较大小
＜ ＜
(1) ( A B) (a b)
(2) ( A B) (a b)

[-3，3]